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培优点4 帕德近似
[分值：42 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共25 分)
1.(2024·安康模拟)已知a=e0.2-1，b=ln 1.2，c=1
6，则( )
A.a<c<b
B.b<a<c
C.b<c<a
D.c<b<a
2.若a=sin 1
16，b=2ln 3-3ln 2，c=√3
32 ，则( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.c<a<b
D.a<c<b
3.(2024·威海模拟)设a= 1
10，b=ln 1.21，c=10sin 1
100，则( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
D.c>b>a
4.已知a=tan1
2，b=4
7 ，c=2.023
4
e
2.023
4 ，则( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.a>c>b
5.已知a= 1
10cos1
4 ，b=ln10
9 ，c=0.09e0.09，则( )
A.c>a>b
B.b>c>a
C.a>b>c
D.a>c>b
二、解答题(共17 分)
6.(17 分)(2024·绍兴模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两
个正整数m，n，函数f(x)在x=0 处的[m，n]阶帕德近似定义为R(x)=
a0+a1 x +…+am x
m
1+b1 x +…+bn x
n ，且满足
f(0)=R(0)，f'(0)=R'(0)，f″(0)=R″(0)，…，f (m+n)(0)=R(m+n)(0).已知f(x)=ex在x=0 处的[1，1]阶帕德近似为R(x)=
1+ax
1+bx .
(注：f″(x)=[f'(x)]'，f'''(x)=[f″(x)]'，f(4)(x)=[f'''(x)]'，f (5)(x)=[f (4)(x)]'，…)
(1)求实数a，b 的值；(4 分)
(2)当x∈(0，1)时，试比较f(x)与R(x)的大小；(5 分)
(3)定义数列{an}：a1=1
2，ane
an+1=e
an-1，求证：1
2
n≤an< 1
2
n-1.(8 分)
答案精析
1.D [由帕德近似公式得
a=e0.2-1≈0.2
2+6×0.2+12
0.2
2-6×0.2+12
-1≈0.221 4，
b=ln 1.2=ln(1+0.2)≈3×0.2
2+6×0.2
0.2
2+6×0.2+6
≈0.182 3，
c=1
6≈0.166 7，故c<b<a.]
2.C [由帕德近似公式得
a=sin 1
16≈
6× 1
16
6+(
1
16)
2=
96
1 537≈0.062 5，
b=2ln 3-3ln 2=ln 9-ln 8=ln9
8=ln(1+ 1
8)≈
3× 1
64 +6× 1
8
1
64 +6× 1
8 +6
= 51
433≈0.117 8，
c=√3
32 ≈1.732
32 ≈0.054 1，
∴c<a<b.]
3.B [b=ln 1.21=ln 1.12=2ln 1.1≈2×3×0.1
2+6×0.1
0.1
2+6×0.1+6
=2×0.63
6.61≈0.190 6，
c=10sin 1
100≈10× 6×0.01
6+0.01
2=10×
0.06
6.000 1=
0.6
6.000 1<0.1，
a= 1
10=0.1，故b>a>c.]
4.B [a=tan1
2≈
3× 1
2
3- 1
4
= 6
11≈0.545 5，
b=4
7 ≈0.571 4，
c=2.023
4
e
2.023
4 ≈2.023
4
×(
2.023
4 )
2
+6× 2.023
4
+12
(
2.023
4 )
2
-6× 2.023
4
+12
≈0.838 6，∴c>b>a.]
5.B [由cos x，ln(x+1)，ex的帕德近似公式：
cos x≈-5 x
2+12
x
2+12
，
ln(x+1)≈3 x
2+6 x
x
2+6 x +6
，
ex≈x
2+6 x +12
x
2-6 x +12
得，
a= 1
10cos1
4 ≈1
10×-5×0.25
2+12
0.25
2+12
≈0.096 89，b=ln10
9
≈
3× 1
81 +6× 1
9
1
81 +6× 1
9 +6
≈0.105 36，
c=0.09e0.09≈0.09×0.09
2+6×0.09+12
0.09
2-6×0.09+12
≈0.098 48，∴b>c>a.]
6.(1)解 由题意得
R'(x)=a(1+bx)-b(1+ax)
(1+bx)
2
=
a-b
(1+bx)
2，
R″(x)=-2b(a-b)
(1+bx)
3 ，
f(0)=f'(0)=f″(0)=1，
故R'(0)=a-b=1，
R″(0)=-2b(a-b)=1，
解得a=1
2，b=-1
2.
(2)解 由上可得R(x)=
1+ x
2
1- x
2
=2+ x
2- x ，要比较f(x)与R(x)的大小，只需比较ex与2+ x
2- x 的大小，
只需比较1 与2+ x
2- x e-x的大小，
令g(x)=2+ x
2- x e-x，x∈(0，1)，
g'(x)=[
4
(2- x)
2 - 2+ x
2- x]e-x
=
x
2
(2- x)
2e-x>0，
所以g(x)在(0，1)上单调递增，
所以g(x)>g(0)=1，即2+ x
2- x >ex，
所以f(x)<R(x).
(3)证明 设u(x)=ex-x-1，
u'(x)=ex-1，
当x<0 时，u'(x)<0，
u(x)在(-∞，0)上单调递减，
当x>0 时，u'(x)>0，
u(x)在(0，+∞)上单调递增，
故u(x)≥u(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0 时，等号成立.
由题意知a1=1
2，ane
an+1=e
an-1，an≠0，
则e
an+1=e
an-1
an
>
an+1-1
an
=1，
故可得an>0；
e
an+1-e
an=e
an-1
an
-e
an
=(1-an)e
an-1
an
，
令m(x)=(1-x)ex，x>0，m'(x)=-xex<0，
故m(x)在(0，+∞)上单调递减，
又当x→0+时，y=(1- x)e
x -1
x
→0-，
故可得e
an+1-e
an<0，
即an+1<an，可得0<an≤1
2；
一方面，由(2)可得
e
an+1=e
an-1
an
<
2+an
2-an
-1
an
=
2
2-an
，
又因为e
an+1>an+1+1，
所以可得an+1+1<
2
2-an
，
即an+1<
an
2-an
，即1
an+1
> 2
an
-1，
即1
an+1
-1>2(
1
an
-1)，
故1
an
-1>2n-1(
1
a1
-1)=2n-1，
即1
an
>2n-1，所以an< 1
2
n-1.
另一方面，当n=1 时，a1=1
2，要证an≥1
2
n，即证an+1≥1
2an≥1
2
n+1，
令g(x)=e
x
2-e
- x
2-x，x>0，
g'(x)=1
2 e
x
2+1
2 e
- x
2-1>0，
所以g(x)在(0，1
2]上单调递增，
所以g(an)>g(0)=0，
即e
an
2 -e
- an
2 -an>0⇒e
an-1
an
>e
an
2
⇒e
an+1>e
an
2 ⇒an+1>1
2an，得证.
