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§1.2 常用逻辑用语
课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、
数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p ⇒
q 且
q
p
p 是q 的必要不充分条件
p
q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p
q 且q
p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x，p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃ x ∈
M
，
¬ p ( x )
∀ x ∈
M
，
¬ p ( x )
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p 是q 的充分条件时，q 是p 的必要条件.( √ )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.( √ )
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.( √ )
(4)命题“∃x∈R，sin2x
2+cos2 x
2=1
2”是真命题.( × )
2.(2025·南通模拟)命题“∀x∈R，2x2-3x+4>0”的否定为( )
A.∀x∈R，2x2-3x+4≤0
B.∃x∈R，2x2-3x+4>0
C.∃x∉R，2x2-3x+4≤0
D.∃x∈R，2x2-3x+4≤0
答案 D
解析 命题“∀x∈R，2x2-3x+4>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是“∃x∈R，2x2-3x+4≤0”.
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
4.设p：1≤x≤4，q：x<m，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是 .
答案 (4，+∞)
解析 由p 是q 的充分条件，且p：1≤x≤4，q：x<m，
可得{x|1≤x≤4}是{x|x<m}的子集，
所以m>4.
1.谨记两个常用结论
(1)p 是q 的充分不必要条件，等价于¬q 是¬p 的充分不必要条件.
(2)命题p 和¬p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系
“A 的充分不必要条件是B”是指B 能推出A，且A 不能推出B；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A
能推出B，而B 不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)(2025·福州模拟)设直线l1：(a+1)x+a2y-3=0，l2：2x+ay-2a-1=0，则“a=0”是“l1∥l2”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为l1∥l2，则a(a+1)=2a2，解得a=0 或a=1.
若a=0，则l1：x-3=0，l2：2x-1=0，两直线平行，符合题意；
若a=1，则l1：2x+y-3=0，l2：2x+y-3=0，两直线重合，不符合题意.
综上所述，l1∥l2等价于a=0.
所以“a=0”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)(2024·北京)设a，b 是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b 或a=b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由(a+b)·(a-b)=0，
得a2-b2=0，
即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|，
当a=(1，1)，b=(-1，1)时，
|a|=|b|，但a≠b 且a≠-b，
故充分性不成立；
当a=-b 或a=b 时，
(a+b)·(a-b)=0，
故必要性成立.
所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b 或a=b”的必要不充分条件.
思维升华 充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立
为止.
跟踪训练1 (1)(2024·海口市海南中学模拟)“θ=π
4 +2kπ(k ∈Z)”是“cos θ=√2
2 ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若θ=π
4 +2kπ(k ∈Z)，则cos θ=cos(
π
4 +2k π)=cos π
4 =√2
2 ，k∈Z，充分性成立；
若cos θ=√2
2 ，则θ=π
4 +2kπ 或θ=-π
4 +2kπ，k∈Z，必要性不成立，所以“θ=π
4 +2kπ(k ∈Z)”是“cos θ=√2
2
”的充分不必要条件.
(2)(2024·山东联考)已知等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn.设甲：d>0；乙：{Sn}是递增数列，
则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若公差d>0，如数列-10，-9，-8，-7，…，0，1，2，…，则数列的前n 项和Sn先减后增；
若{Sn}是递增数列，如Sn=n，则an=1，{an}为常数列也为等差数列，且d=0；
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
题型二 充分、必要条件的应用
例2 (1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是
；若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是 .
答案 (-∞，1) (-∞，1]
解析 因为p：x≤1，q：x≤a，
若p 是q 的必要不充分条件，则(-∞，a]
(-∞，1]，因此a<1，
即实数a 的取值范围是(-∞，1).
若p 是q 的必要条件，则(-∞，a]⊆(-∞，1]，
因此a≤1，即实数a 的取值范围是(-∞，1].
(2)已知p：x>1 或x<-3，q：x>a(a 为实数).若¬q 的一个充分不必要条件是¬p，则实数a 的取值范围
是 .
答案 [1，+∞)
解析 由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a.
设A={x|-3≤x≤1}，B={x|x≤a}，
若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q
¬p，
所以集合A={x|-3≤x≤1}是集合B={x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
思维升华 求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不
等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练2 (1)已知p：1
x >1，q：x>m，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )
A.[0，+∞)
B.[1，+∞)
C.(-∞，0]
D.(-∞，1]
答案 C
解析 由1
x >1 可得x(x-1)<0，解得0<x<1，
记A={x|0<x<1}，B={x|x>m}，
若p 是q 的充分条件，
则A 是B 的子集，所以m≤0，
所以实数m 的取值范围是(-∞，0].
(2)设p：0≤x≤2，q：m-1≤x≤m+2.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是
.
答案 [0，1]
解析 p：0≤x≤2，q：m-1≤x≤m+2.若p 是q 的充分不必要条件，则{
m-1≤0，
m+2≥2，
且两等号不能同时取到，解得0≤m≤1.
题型三 全称量词与存在量词
命题点1 含量词的命题的否定
例3 (多选)下列说法正确的是( )
A.“菱形是正方形”是全称量词命题
B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”
C.命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“有一个奇数能被3 整除”
D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件
答案 AB
解析 对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A 正确；
对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B 正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“所有的奇数都能被3 整除”，故C 错误；
对于D，因为A=B 时，sin A=sin B 成立，而sin A=sin B 时，A=B 不一定成立，如A=π
3 ，B=2π
3 ，故
“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件，故D 错误.
命题点2 含量词的命题的真假判断
例4 (多选)下列命题中，为真命题的是( )
A.∀x∈R，2x-1>0
B.∃x∈R，x2+1<2x
C.∀xy>0，x+y≥2√xy
D.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y
答案 AD
解析 对于A 项，∀x∈R，2
x-1>0，A 项正确；
对于B 项，∵x2+1-2x=(x-1)2≥0，∴x2+1≥2x，B 项错误；
对于C 项，当x<0，y<0 时，x+y<0<2√xy，C 项错误；
对于D 项，取x=y=0，则sin(x+y)=sin 0=0=sin 0+sin 0=sin x+sin y，D 项正确.
命题点3 含量词的命题的应用
例5 (2025·台州模拟)若命题“∀x∈R，x2-x-m≠0”是假命题，则实数m 的取值范围是 .
答案 [- 1
4 ，+∞)
解析 方法一 原命题的否定“∃x∈R，x2-x-m=0”为真命题，
∴Δ=1+4m≥0，解得m≥-1
4 ，
∴实数m 的取值范围是[- 1
4 ，+∞).
方法二 若命题“∀x∈R，x2-x-m≠0”是真命题，
则Δ=1+4m<0，解得m<-1
4 ，
故当原命题为假命题时，m≥-1
4 ，
∴实数m 的取值范围是[- 1
4 ，+∞).
思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.
当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
跟踪训练3 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则( )
A.p 和q 都是真命题
B.¬p 和q 都是真命题
C.p 和¬q 都是真命题
D.¬p 和¬q 都是真命题
答案 B
解析 对于命题p，取x=-1，
则有|x+1|=0<1，
故p 是假命题，¬p 是真命题，
对于命题q，取x=1，
则有x3=13=1=x，
故q 是真命题，¬q 是假命题，
综上，¬p 和q 都是真命题.
(2)已知命题“∃x∈[-1，2]，x2-3x+a>0”是假命题，则实数a 的取值范围是 .
答案 (-∞，-4]
解析 由题意得，“∀x∈[-1，2]，x2-3x+a≤0”是真命题，则a≤-x2+3x 对∀x∈[-1，2]恒成立，在区间
[-1，2]上，-x2+3x 的最小值为-(-1)2+3×(-1)=-4，所以a≤(-x2+3x)min=-4，即a 的取值范围是(-∞，-4].
课时精练
(分值：73 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.“x<0”是“√x
2=-x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 √x
2=-x⇔x≤0，因为x<0⇒x≤0，但x≤0
x<0，所以“x<0”是“√x
2=-x”的充分不必要条件.
2.(2024·天津模拟)命题“∃m∈N，√m
2+1∈N”的否定是( )
A.∀m∈N，√m
2+1∈N
B.∀m∉N，√m
2+1∉N
C.∃m∈N，√m
2+1∉N
D.∀m∈N，√m
2+1∉N
答案 D
解析 由命题否定的定义得存在量词命题“∃m∈N，√m
2+1∈N”的否定是“∀m∈N，√m
2+1∉N”，故
D 正确.
3.“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若棱柱的相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分
性；若棱柱为直棱柱，则棱柱的相邻两个侧面是矩形，满足必要性.故“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是
“该棱柱为直棱柱”的充要条件.
4.下列叙述错误的是( )
A.命题“∃x∈R，x2-1≤-1”的否定是“∀x∈R，x2-1>-1”
B.若幂函数y=(m2-2m-2)x2-4m在(0，+∞)上单调递增，则实数m 的值为-1
C.∀x∈(0，+∞)，2x>log2x
D.设a∈R，则“a2>3”是“a>√3”的充分不必要条件
答案 D
解析 对于A，命题“∃x∈R，x2-1≤-1”的否定是“∀x∈R，x2-1>-1”，A 正确；
对于B，由{
m
2-2m-2=1，
2- 4 m>0，
解得m=-1，B 正确；
对于C，当x>0 时，函数y=2x的图象在直线y=x 上方，函数y=log2x 的图象在直线y=x 下方，则2x>log2x，C
正确；
对于D，由a2>3，得a<-√3或a>√3，因此“a2>3”是“a>√3”的必要不充分条件，D 错误.
5.(2024·玉林统考)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2+ax-2>0，则命题p 的一个必要不充分条件是( )
A.a<-1
B.a>-2
C.a>1
D.a>2
答案 B
解析 因为∀x∈[1，2]，x2+ax-2>0，所以a>-x+2
x 在x∈[1，2]上恒成立，
只需y=-x+2
x 在[1，2]上的最大值小于a，
因为y=-x+2
x 在[1，2]上单调递减，故当x=1 时，y=-x+2
x 在[1，2]上取最大值1，所以a>1.则结合选项可得
命题p 的一个必要不充分条件是a>-2.
6.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n 项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{
Sn
n }为等差数列，则(
)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 C
解析 方法一 甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn=na1+n(n-1)
2
d，Sn
n =a1+n-1
2
d=d
2 n+a1-d
2 ，Sn+1
n+1-Sn
n =d
2 ，
因此{
Sn
n }为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
Sn
n }为等差数列，
即Sn+1
n+1-Sn
n =n Sn+1-(n+1)Sn
n(n+1)
=nan+1- Sn
n(n+1) 为常数，设为t，即nan+1- Sn
n(n+1) =t，
则Sn=nan+1-t·n(n+1)，
有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)，n≥2，
两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn，
即an+1-an=2t，对n=1 也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
方法二 甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn=na1+n(n-1)
2
d，
则Sn
n =a1+n-1
2
d=d
2 n+a1-d
2 ，
因此{
Sn
n }为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
Sn
n }为等差数列，
设数列{
Sn
n }的公差为D，
则Sn+1
n+1-Sn
n =D，Sn
n =S1+(n-1)D，
即Sn=nS1+n(n-1)D，
当n≥2 时，Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D，
上边两式相减得Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，
所以an=a1+2(n-1)D，
当n=1 时，上式成立，
又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D 为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
7.下列既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.∃x∈R，|x|<0
B.∃x∈Z，cos π
2 x=-1
C.至少有一个x∈Z，使x 能同时被3 和5 整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
答案 BC
解析 选项A 为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，即|x|≥0，所以A 是假命题；
选项B 为存在量词命题，当x=2 时，满足cos(
π
2 ·2)=cos π=-1，所以B 既是存在量词命题又是真命题；
选项C 为存在量词命题，15 能同时被3 和5 整除，所以C 既是存在量词命题又是真命题；
选项D 是全称量词命题，所以D 不符合题意.
8.下列说法正确的是( )
A.命题“∃x≥1，x2>1”的否定是“∀x<1，x2≤1”
B.“a>0 且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0 的解集为R”的充要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”
答案 BC
解析 对于A，命题的否定是“∀x≥1，x2≤1”，故A 错误；
对于B，若a>0 且Δ=b2-4ac≤0，则不等式的解集为R，充分性成立，若不等式的解集为R，则a>0 且
Δ=b2-4ac≤0，即必要性成立，故B 正确；
对于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a=1
2，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，
故C 正确；
对于D，例如a=b=0，可以推出|a+b|=|a|+|b|，即|a+b|=|a|+|b|不可以推出ab>0，故D 错误.
9.下列说法正确的为( )
A.“∀x>0，ln x>0”为真命题
B.若“∃x∈R，sin x<a”为真命题，则实数a 的取值范围为(-1，+∞)
C.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是
a>4
D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为m≥6
答案 BCD
解析 对于A，当0<x<1 时，ln x<0，A 不正确；
对于B，“∃x∈R，sin x<a”为真命题，则(sin x)min<a，所以a>-1，故B 正确；
对于C，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A 真包含于集合B，所以a
2>2，即a>4，C 正确；
对于D，由p 是q 的充分条件得p⇒q，即∀x∈(0，1]，4x+2x-m≤0 恒成立，令t=2x，t∈(1，2]，则m≥t2+t
对于t∈(1，2]恒成立，又y=t2+t=(t + 1
2)
2
-1
4 ∈(2，6]，则m≥6，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
10.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明： .
答案 存在一个素数不是奇数
解析 因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为
了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
11.(2025·连云港模拟)已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={x|x≥b-a}，若“a=2”是“A∩B=A”的充分条件，则实
数b 的取值范围为 .
答案 (-∞，1]
解析 若A∩B=A，则A⊆B，则b-a≤-1，即b≤a-1，
要使“a=2”是“A∩B=A”的充分条件，只需b≤2-1=1，所以实数b 的取值范围为(-∞，1].
12.已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是 .
答案 [0，4)
解析 由题意得原命题的否定“∀x∈R，ax2-ax+1>0”为真命题，
即不等式ax2-ax+1>0 对x∈R 恒成立.
①当a=0 时，不等式1>0 在R 上恒成立，符合题意；
②当a≠0 时，若不等式ax2-ax+1>0 对x∈R 恒成立，则{
a>0，
Δ=a
2- 4 a<0，解得0<a<4.
综上，实数a 的取值范围是[0，4).
每小题5 分，共10 分
13.(2025·秦皇岛模拟)下列说法正确的是( )
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
B.命题“∀x∈(0，+∞)，x+1
x >1”的否定是“∀x∈(0，+∞)，x+1
x ≤1”
C.“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件
D.“cos2α+sin2β=1”的充要条件是“α=β”
答案 C
解析 对于A，“若a>b，则a2>b2”是假命题，
例如1>-2，而12<(-2)2，
“若a2>b2，则a>b”是假命题，例如(-2)2>12，而-2<1，即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，
A 错误；
对于B，命题“∀x∈(0，+∞)，x+1
x >1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，因此它的否定是
“∃x∈(0，+∞)，x+1
x ≤1”，B 错误；
对于D，当α=π
3 ，β=2π
3 时，cos2α+sin2β=1 成立，因此cos2α+sin2β=1 成立，不一定有α=β，D 错误；
对于C，当ω=π 时，函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2，
当函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2 时，ω=π 或ω=-π.
所以“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C 正确.
14.(2024·河南省学校联盟联考)已知p：
4
10- x ≥1，q：x>1，r：a<x<2a.若r 是p 的必要不充分条件，且r 是
q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 .
答案 [5，6)
解析 由
4
10- x ≥1 得x -6
10- x ≥0，
解得6≤x<10，即p：6≤x<10.
记p，q，r 中x 的取值构成的集合分别为A，B，C，则A={x|6≤x<10}，B={x|x>1}，C={x|a<x<2a}，
由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则A 是C 的真子集，C 是B 的真子集，则
{
2a>a，
a≥1，
a<6，
2a≥10，
解得5≤a<6，
即实数a 的取值范围是[5，6).
课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、
数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p ⇒
q 且
q
p
p 是q 的必要不充分条件
p
q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p
q 且q
p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x，p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃ x ∈
M
，
¬ p ( x )
∀ x ∈
M
，
¬ p ( x )
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p 是q 的充分条件时，q 是p 的必要条件.( √ )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.( √ )
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.( √ )
(4)命题“∃x∈R，sin2x
2+cos2 x
2=1
2”是真命题.( × )
2.(2025·南通模拟)命题“∀x∈R，2x2-3x+4>0”的否定为( )
A.∀x∈R，2x2-3x+4≤0
B.∃x∈R，2x2-3x+4>0
C.∃x∉R，2x2-3x+4≤0
D.∃x∈R，2x2-3x+4≤0
答案 D
解析 命题“∀x∈R，2x2-3x+4>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是“∃x∈R，2x2-3x+4≤0”.
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
4.设p：1≤x≤4，q：x<m，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是 .
答案 (4，+∞)
解析 由p 是q 的充分条件，且p：1≤x≤4，q：x<m，
可得{x|1≤x≤4}是{x|x<m}的子集，
所以m>4.
1.谨记两个常用结论
(1)p 是q 的充分不必要条件，等价于¬q 是¬p 的充分不必要条件.
(2)命题p 和¬p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系
“A 的充分不必要条件是B”是指B 能推出A，且A 不能推出B；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A
能推出B，而B 不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)(2025·福州模拟)设直线l1：(a+1)x+a2y-3=0，l2：2x+ay-2a-1=0，则“a=0”是“l1∥l2”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为l1∥l2，则a(a+1)=2a2，解得a=0 或a=1.
若a=0，则l1：x-3=0，l2：2x-1=0，两直线平行，符合题意；
若a=1，则l1：2x+y-3=0，l2：2x+y-3=0，两直线重合，不符合题意.
综上所述，l1∥l2等价于a=0.
所以“a=0”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)(2024·北京)设a，b 是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b 或a=b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由(a+b)·(a-b)=0，
得a2-b2=0，
即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|，
当a=(1，1)，b=(-1，1)时，
|a|=|b|，但a≠b 且a≠-b，
故充分性不成立；
当a=-b 或a=b 时，
(a+b)·(a-b)=0，
故必要性成立.
所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b 或a=b”的必要不充分条件.
思维升华 充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立
为止.
跟踪训练1 (1)(2024·海口市海南中学模拟)“θ=π
4 +2kπ(k ∈Z)”是“cos θ=√2
2 ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若θ=π
4 +2kπ(k ∈Z)，则cos θ=cos(
π
4 +2k π)=cos π
4 =√2
2 ，k∈Z，充分性成立；
若cos θ=√2
2 ，则θ=π
4 +2kπ 或θ=-π
4 +2kπ，k∈Z，必要性不成立，所以“θ=π
4 +2kπ(k ∈Z)”是“cos θ=√2
2
”的充分不必要条件.
(2)(2024·山东联考)已知等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn.设甲：d>0；乙：{Sn}是递增数列，
则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若公差d>0，如数列-10，-9，-8，-7，…，0，1，2，…，则数列的前n 项和Sn先减后增；
若{Sn}是递增数列，如Sn=n，则an=1，{an}为常数列也为等差数列，且d=0；
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
题型二 充分、必要条件的应用
例2 (1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是
；若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是 .
答案 (-∞，1) (-∞，1]
解析 因为p：x≤1，q：x≤a，
若p 是q 的必要不充分条件，则(-∞，a]
(-∞，1]，因此a<1，
即实数a 的取值范围是(-∞，1).
若p 是q 的必要条件，则(-∞，a]⊆(-∞，1]，
因此a≤1，即实数a 的取值范围是(-∞，1].
(2)已知p：x>1 或x<-3，q：x>a(a 为实数).若¬q 的一个充分不必要条件是¬p，则实数a 的取值范围
是 .
答案 [1，+∞)
解析 由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a.
设A={x|-3≤x≤1}，B={x|x≤a}，
若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q
¬p，
所以集合A={x|-3≤x≤1}是集合B={x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
思维升华 求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不
等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练2 (1)已知p：1
x >1，q：x>m，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )
A.[0，+∞)
B.[1，+∞)
C.(-∞，0]
D.(-∞，1]
答案 C
解析 由1
x >1 可得x(x-1)<0，解得0<x<1，
记A={x|0<x<1}，B={x|x>m}，
若p 是q 的充分条件，
则A 是B 的子集，所以m≤0，
所以实数m 的取值范围是(-∞，0].
(2)设p：0≤x≤2，q：m-1≤x≤m+2.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是
.
答案 [0，1]
解析 p：0≤x≤2，q：m-1≤x≤m+2.若p 是q 的充分不必要条件，则{
m-1≤0，
m+2≥2，
且两等号不能同时取到，解得0≤m≤1.
题型三 全称量词与存在量词
命题点1 含量词的命题的否定
例3 (多选)下列说法正确的是( )
A.“菱形是正方形”是全称命题
B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”
C.命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“有一个奇数能被3 整除”
D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件
答案 AB
解析 对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称命题，故A 正确；
对于B，由全称命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B 正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“所有的奇数都能被3 整除”，故C 错误；
对于D，因为A=B 时，sin A=sin B 成立，而sin A=sin B 时，A=B 不一定成立，如A=π
3 ，B=2π
3 ，故
“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件，故D 错误.
命题点2 含量词的命题的真假判断
例4 (多选)下列命题中，为真命题的是( )
A.∀x∈R，2x-1>0
B.∃x∈R，x2+1<2x
C.∀xy>0，x+y≥2√xy
D.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y
答案 AD
解析 对于A 项，∀x∈R，2
x-1>0，A 项正确；
对于B 项，∵x2+1-2x=(x-1)2≥0，∴x2+1≥2x，B 项错误；
对于C 项，当x<0，y<0 时，x+y<0<2√xy，C 项错误；
对于D 项，取x=y=0，则sin(x+y)=sin 0=0=sin 0+sin 0=sin x+sin y，D 项正确.
命题点3 含量词的命题的应用
例5 (2025·台州模拟)若命题“∀x∈R，x2-x-m≠0”是假命题，则实数m 的取值范围是 .
答案 [- 1
4 ，+∞)
解析 方法一 原命题的否定“∃x∈R，x2-x-m=0”为真命题，
∴Δ=1+4m≥0，解得m≥-1
4 ，
∴实数m 的取值范围是[- 1
4 ，+∞).
方法二 若命题“∀x∈R，x2-x-m≠0”是真命题，
则Δ=1+4m<0，解得m<-1
4 ，
故当原命题为假命题时，m≥-1
4 ，
∴实数m 的取值范围是[- 1
4 ，+∞).
思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.
当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
跟踪训练3 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则( )
A.p 和q 都是真命题
B.¬p 和q 都是真命题
C.p 和¬q 都是真命题
D.¬p 和¬q 都是真命题
答案 B
解析 对于命题p，取x=-1，
则有|x+1|=0<1，
故p 是假命题，¬p 是真命题，
对于命题q，取x=1，
则有x3=13=1=x，
故q 是真命题，¬q 是假命题，
综上，¬p 和q 都是真命题.
(2)已知命题“∃x∈[-1，2]，x2-3x+a>0”是假命题，则实数a 的取值范围是 .
答案 (-∞，-4]
解析 由题意得，“∀x∈[-1，2]，x2-3x+a≤0”是真命题，则a≤-x2+3x 对∀x∈[-1，2]恒成立，在区间
[-1，2]上，-x2+3x 的最小值为-(-1)2+3×(-1)=-4，所以a≤(-x2+3x)min=-4，即a 的取值范围是(-∞，-4].
课时精练
(分值：73 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.“x<0”是“√x
2=-x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 √x
2=-x⇔x≤0，因为x<0⇒x≤0，但x≤0
x<0，所以“x<0”是“√x
2=-x”的充分不必要条件.
2.(2024·天津模拟)命题“∃m∈N，√m
2+1∈N”的否定是( )
A.∀m∈N，√m
2+1∈N
B.∀m∉N，√m
2+1∉N
C.∃m∈N，√m
2+1∉N
D.∀m∈N，√m
2+1∉N
答案 D
解析 由命题否定的定义得存在量词命题“∃m∈N，√m
2+1∈N”的否定是“∀m∈N，√m
2+1∉N”，故
D 正确.
3.“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若棱柱的相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，满足充分
性；若棱柱为直棱柱，则棱柱的相邻两个侧面是矩形，满足必要性.故“棱柱的相邻两个侧面是矩形”是
“该棱柱为直棱柱”的充要条件.
4.下列叙述错误的是( )
A.命题“∃x∈R，x2-1≤-1”的否定是“∀x∈R，x2-1>-1”
B.若幂函数y=(m2-2m-2)x2-4m在(0，+∞)上单调递增，则实数m 的值为-1
C.∀x∈(0，+∞)，2x>log2x
D.设a∈R，则“a2>3”是“a>√3”的充分不必要条件
答案 D
解析 对于A，命题“∃x∈R，x2-1≤-1”的否定是“∀x∈R，x2-1>-1”，A 正确；
对于B，由{
m
2-2m-2=1，
2- 4 m>0，
解得m=-1，B 正确；
对于C，当x>0 时，函数y=2x的图象在直线y=x 上方，函数y=log2x 的图象在直线y=x 下方，则2x>log2x，C
正确；
对于D，由a2>3，得a<-√3或a>√3，因此“a2>3”是“a>√3”的必要不充分条件，D 错误.
5.(2024·玉林统考)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2+ax-2>0，则命题p 的一个必要不充分条件是( )
A.a<-1
B.a>-2
C.a>1
D.a>2
答案 B
解析 因为∀x∈[1，2]，x2+ax-2>0，所以a>-x+2
x 在x∈[1，2]上恒成立，
只需y=-x+2
x 在[1，2]上的最大值小于a，
因为y=-x+2
x 在[1，2]上单调递减，故当x=1 时，y=-x+2
x 在[1，2]上取最大值1，所以a>1.则结合选项可得
命题p 的一个必要不充分条件是a>-2.
6.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n 项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{
Sn
n }为等差数列，则(
)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 C
解析 方法一 甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn=na1+n(n-1)
2
d，Sn
n =a1+n-1
2
d=d
2 n+a1-d
2 ，Sn+1
n+1-Sn
n =d
2 ，
因此{
Sn
n }为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
Sn
n }为等差数列，
即Sn+1
n+1-Sn
n =n Sn+1-(n+1)Sn
n(n+1)
=nan+1- Sn
n(n+1) 为常数，设为t，即nan+1- Sn
n(n+1) =t，
则Sn=nan+1-t·n(n+1)，
有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)，n≥2，
两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn，
即an+1-an=2t，对n=1 也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
方法二 甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn=na1+n(n-1)
2
d，
则Sn
n =a1+n-1
2
d=d
2 n+a1-d
2 ，
因此{
Sn
n }为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
Sn
n }为等差数列，
设数列{
Sn
n }的公差为D，
则Sn+1
n+1-Sn
n =D，Sn
n =S1+(n-1)D，
即Sn=nS1+n(n-1)D，
当n≥2 时，Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D，
上边两式相减得Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D，
所以an=a1+2(n-1)D，
当n=1 时，上式成立，
又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D 为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
7.下列既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.∃x∈R，|x|<0
B.∃x∈Z，cos π
2 x=-1
C.至少有一个x∈Z，使x 能同时被3 和5 整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
答案 BC
解析 选项A 为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，即|x|≥0，所以A 是假命题；
选项B 为存在量词命题，当x=2 时，满足cos(
π
2 ·2)=cos π=-1，所以B 既是存在量词命题又是真命题；
选项C 为存在量词命题，15 能同时被3 和5 整除，所以C 既是存在量词命题又是真命题；
选项D 是全称量词命题，所以D 不符合题意.
8.下列说法正确的是( )
A.命题“∃x≥1，x2>1”的否定是“∀x<1，x2≤1”
B.“a>0 且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0 的解集为R”的充要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”
答案 BC
解析 对于A，命题的否定是“∀x≥1，x2≤1”，故A 错误；
对于B，若a>0 且Δ=b2-4ac≤0，则不等式的解集为R，充分性成立，若不等式的解集为R，则a>0 且
Δ=b2-4ac≤0，即必要性成立，故B 正确；
对于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a=1
2，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，
故C 正确；
对于D，例如a=b=0，可以推出|a+b|=|a|+|b|，即|a+b|=|a|+|b|不可以推出ab>0，故D 错误.
9.下列说法正确的为( )
A.“∀x>0，ln x>0”为真命题
B.若“∃x∈R，sin x<a”为真命题，则实数a 的取值范围为(-1，+∞)
C.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是
a>4
D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为m≥6
答案 BCD
解析 对于A，当0<x<1 时，ln x<0，A 不正确；
对于B，“∃x∈R，sin x<a”为真命题，则(sin x)min<a，所以a>-1，故B 正确；
对于C，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A 真包含于集合B，所以a
2>2，即a>4，C 正确；
对于D，由p 是q 的充分条件得p⇒q，即∀x∈(0，1]，4x+2x-m≤0 恒成立，令t=2x，t∈(1，2]，则m≥t2+t
对于t∈(1，2]恒成立，又y=t2+t=(t + 1
2)
2
-1
4 ∈(2，6]，则m≥6，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
10.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明： .
答案 存在一个素数不是奇数
解析 因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为
了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
11.(2025·连云港模拟)已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={x|x≥b-a}，若“a=2”是“A∩B=A”的充分条件，则实
数b 的取值范围为 .
答案 (-∞，1]
解析 若A∩B=A，则A⊆B，则b-a≤-1，即b≤a-1，
要使“a=2”是“A∩B=A”的充分条件，只需b≤2-1=1，所以实数b 的取值范围为(-∞，1].
12.已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是 .
答案 [0，4)
解析 由题意得原命题的否定“∀x∈R，ax2-ax+1>0”为真命题，
即不等式ax2-ax+1>0 对x∈R 恒成立.
①当a=0 时，不等式1>0 在R 上恒成立，符合题意；
②当a≠0 时，若不等式ax2-ax+1>0 对x∈R 恒成立，则{
a>0，
Δ=a
2- 4 a<0，解得0<a<4.
综上，实数a 的取值范围是[0，4).
每小题5 分，共10 分
13.(2025·秦皇岛模拟)下列说法正确的是( )
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
B.命题“∀x∈(0，+∞)，x+1
x >1”的否定是“∀x∈(0，+∞)，x+1
x ≤1”
C.“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件
D.“cos2α+sin2β=1”的充要条件是“α=β”
答案 C
解析 对于A，“若a>b，则a2>b2”是假命题，
例如1>-2，而12<(-2)2，
“若a2>b2，则a>b”是假命题，例如(-2)2>12，而-2<1，即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，
A 错误；
对于B，命题“∀x∈(0，+∞)，x+1
x >1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，因此它的否定是
“∃x∈(0，+∞)，x+1
x ≤1”，B 错误；
对于D，当α=π
3 ，β=2π
3 时，cos2α+sin2β=1 成立，因此cos2α+sin2β=1 成立，不一定有α=β，D 错误；
对于C，当ω=π 时，函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2，
当函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2 时，ω=π 或ω=-π.
所以“ω=π”是“函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C 正确.
14.(2024·河南省学校联盟联考)已知p：
4
10- x ≥1，q：x>1，r：a<x<2a.若r 是p 的必要不充分条件，且r 是
q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 .
答案 [5，6)
解析 由
4
10- x ≥1 得x -6
10- x ≥0，
解得6≤x<10，即p：6≤x<10.
记p，q，r 中x 的取值构成的集合分别为A，B，C，则A={x|6≤x<10}，B={x|x>1}，C={x|a<x<2a}，
由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则A 是C 的真子集，C 是B 的真子集，则
{
2a>a，
a≥1，
a<6，
2a≥10，
解得5≤a<6，
即实数a 的取值范围是[5，6).
