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补上一课 数列中的子数列、新情境问题
题型分析 1.在一个数列中通过插项、提项或提取两个数列的公共项重构一个新
的数列叫做子数列问题.2.数列的创新问题是指新定义数列，利用图表表示数列等.
题型一 子数列问题
角度1 公共项
例1 (2024·嘉兴模拟)已知{a }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b }满足
n n
b ＝4，b ＝3b －2n＋1.
1 n＋1 n
(1)证明{b －n}是等比数列，并求{a }，{b }的通项公式；
n n n
(2)若数列{a }与{b }中有公共项，即存在 k，m∈N*，使得a ＝b 成立.按照从小
n n k m
到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{c }，求c ＋c ＋…＋
n 1 2
c .
n
解 (1)由题意可得a ＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
n
而b ＝4，b ＝3b －2n＋1，
1 n＋1 n
变形可得b －(n＋1)＝3b －3n＝3(b －n)，
n＋1 n n
b －1＝3，
1
故{b －n}是首项为3，公比为3的等比数列，
n
从而b －n＝3n，即b ＝3n＋n(n∈N*).
n n
(2)由题意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)，
因为3k，3m是3的倍数，
所以m＋1也为3的倍数，令m＋1＝3n，则m＝3n－1(n∈N*)，
则3k－1＝33n－1＋3n－1＝3(33n－2＋n)－1，此时满足条件，
即当m＝2，5，8，…，3n－1时为公共项，
所以c ＋c ＋…＋c ＝b ＋b ＋…＋b
1 2 n 2 5 3n－1
＝32＋35＋…＋33n－1＋(2＋5＋…＋3n－1)
＝＋(n∈N*).
角度2 插项、提项
例2 已知数列{a }的前n项和为S ，且S ＝2n＋1.
n n n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)保持{a }中各项先后顺序不变，在 a 与a 之间插入k个1，使它们和原数列
n k k＋1
的项构成一个新的数列{b }，记{b }的前n项和为T ，求T 的值(用数字作答).
n n n 100
解 (1)由数列{a }的前n项和为S ，且S ＝2n＋1，
n n n
当n≥2时，S ＝2n－1＋1，
n－1
所以a ＝S －S ＝2n－2n－1＝2n－1，n≥2，
n n n－1
当n＝1时，a ＝S ＝21＋1＝3，不符合上式，
1 1
所以数列{a }的通项公式为a ＝
n n
(2)保持数列{a }中各项先后顺序不变，在 a 与a (k＝1，2，…)之间插入k个
n k k＋1
1，
则新数列{b }的前100项为3，1，21，1，1，22，1，1，1，23，1，1，1，1，
n24，…，212，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
则T ＝[3＋(21＋22＋…＋212)]＋[(1＋2＋3＋…＋12)＋9]
100
＝90＋213－2＝88＋213＝8 192＋88＝8 280.
感悟提升 1.两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列，且公差(比)是两等差
(比)数列公差(比)的最小公倍数，一个等差与一个等比数列的公共项，则要通过
其项数之间的关系来确定.
2.数列的插项、提项问题可通过研究前 n次的变化探究出一般性规律，从而确定
新数列的首项、项数、公差(或公比)、末项等信息.
训练1 (2024·济南模拟)已知等差数列{a }和等比数列{b }满足a ＝4，b ＝2，a
n n 1 1 2
＝2b －1，a ＝b ＋2.
2 3 3
(1)求{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)数列{a }和{b }中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到
n n
大依次排列构成一个新数列{c }，求数列{c }的前60项和S .
n n 60
解 (1)设等差数列{a }的公差为d，等比数列{b }的公比为q，
n n
由∴
∴q＝2，d＝3，∴a ＝3n＋1，b ＝2n.
n n
(2)当{c }的前60项中含有{b }的前6项时，
n n
令3n＋1<27＝128，∴n<，
此时至多有41＋6＝47项，不符合题意.
当{c }的前60项中含有{b }的前7项时，
n n
令3n＋1<28＝256，∴n<85，且22，24，26是{a }和{b }的公共项，
n n
则{c }的前60项中含有{b }的前7项且含有{a }的前56项，再减去公共的三项.
n n n
∴S ＝＋2＋23＋25＋27＝4 844＋170＝5 014.
60
题型二 新情境、新定义问题
例3 (2024·长沙调研)将数列{a }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成
n
下表：
a
1
a a
2 3
a a a
4 5 6
a a a a
7 8 9 10
……
记表中的第一列数a ，a ，a ，a ……构成的数列为{b }，b ＝a ＝1，S 为数列
1 2 4 7 n 1 1 n
{b }的前n项和，且满足＝1(n≥2).
n
(1)证明数列成等差数列，并求数列{b }的通项公式；
n
(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列，且
公比为同一个正数，当a ＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和.
81
解 (1)当n≥2时，＝1，
＝1，
＝1，－＝，
又S ＝b ＝a ＝1，
1 1 1
所以数列是首项为1，公差为的等差数列.
＝1＋(n－1)＝(n＋1)，S ＝，
n
所以n≥2时，b ＝S －S ＝－＝－，
n n n－1
因此b ＝
n
(2)设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0，
表中到12行尾共含数列{a }的前78项，a 是表中第13行第三列，
n 81
a ＝b q2＝－，b ＝－，q＝2.
81 13 13
记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，
则S＝＝－×
＝(1－2k)(k≥3).
感悟提升 新情境下的数列问题的求解策略
(1)深入理解新情境，建立数列模型；
(2)利用新定义，求解数列模型，将新定义和原有知识相联系，利用数列的通项、
求和求解.
训练2 (2024·汕头模拟)设数列{a }的前n项和为S ，若≤≤2(n∈N*)，则称{a }
n n n
是“紧密数列”.
(1)若a ＝，判断{a }是否是“紧密数列”，并说明理由；
n n
(2)若数列{a }前n项和为S ＝(n2＋3n)，判断{a }是否是“紧密数列”，并说明理
n n n
由；
(3)设数列{a }是公比为q的等比数列.若数列{a }与{S }都是“紧密数列”，求q
n n n
的取值范围.
解 (1)a ＝，a ＝，a ＝，
1 2 3
∴＝<，
所以{a }不是“紧密数列”.
n(2)数列{a }为“紧密数列”，理由如下：
n
数列{a }的前n项和S ＝(n2＋3n)，
n n
当n＝1时，a ＝S ＝×(1＋3)＝1；
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝n＋，
n n n－1
又a ＝1满足a ＝n＋，
1 n
因此a ＝n＋(n∈N*)，
n
所以对任意n∈N*，
＝＝＝1＋，
所以<＝1＋<2，
因此数列{a }为“紧密数列”.
n
(3)因为数列{a }是公比为q的等比数列，前n项和为S ，
n n
当q＝1时，有a ＝a ，S ＝na ，
n 1 n 1
所以≤＝1≤2，≤＝＝1＋≤2，满足题意；
当q≠1时，a ＝a qn－1，S ＝，
n 1 n
因为{a }为“紧密数列”，
n
所以≤＝q≤2，
即≤q<1或1<q≤2，
当≤q<1时，＝>＝1，＝<＝
＝1＋qn<2，
所以≤＝≤2，满足{S }为“紧密数列”；
n
当1<q≤2时，＝＝1＋q>2，不满足{S }为“紧密”数列；
n
综上，实数q的取值范围是.
【A级 基础巩固】
1.已知{a }为等比数列，a ，a ，a 分别是下表第一、二、三行中的数，且 a ，
n 1 2 3 1
a ，a 中的任何两个数都不在同一列，{b }为等差数列，其前n项和为S ，且a
2 3 n n 1
＝b －2b ，S ＝7a .
3 1 7 3
第一列 第二列 第三列
第一行 1 5 2
第二行 4 3 10
第三行 9 8 20
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
(2)若c ＝[lg b ]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg 2]＝0，
n n
[lg 98]＝1，求数列{c }的前100项的和T .
n 100
解 (1)由题意知a ＝2，a ＝4，a ＝8，
1 2 3
所以等比数列{a }的公比q＝2，
n
a ＝a qn－1＝2n.
n 1
设等差数列{b }的公差为d，则
n
2＝b －2b ＝2d－b ，
3 1 1S ＝＝7b ＝7a ，
7 4 3
所以b ＝8＝b ＋3d，所以b ＝2，d＝2，b ＝2n.
4 1 1 n
(2)因为b ＝2n，所以c ＝[lg(2n)].
n n
所以T ＝c ＋c ＋…＋c ＝[lg 2]＋[lg 4]＋…＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋[lg
100 1 2 100
100]＋…＋[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.
2.(2024·宁波调研)已知数列{a }的前n项和S ＝，{b }的前n项之积T ＝2(n∈N*).
n n n n
(1)求{a }与{b }的通项公式；
n n
(2)把数列{a }和{b }的公共项由小到大排成的数列称为{c }，求c ＋c ＋…＋c
n n n 1 2 20
的值.
解 (1)由S ＝，
n
当n＝1时，a ＝S ＝2，
1 1
当n≥2时，a ＝S －S ＝3n－1，
n n n－1
当n＝1时，上式也成立，
所以a ＝3n－1，
n
由T ＝2，
n
当n＝1时，b ＝T ＝2，
1 1
当n≥2时，b ＝＝2n，
n
当n＝1时，上式也成立，
所以b ＝2n.
n
(2)设3n－1＝2m＝(3－1)m
＝C·3m(－1)0＋C·3m－1(－1)1＋…＋C×3×(－1)m－1＋C30·(－1)m＝3M＋(－1)m，m∈N*，M为3的正整数倍，
故当m为奇数时，n＝M，
故公共项为m＝1，3，5，7，…，
∴21，23，25，27，…，构成首项为2，公比为4的等比数列，c ＝2·4n－1，
n
则c ＋c ＋…＋c ＝＝(420－1).
1 2 20
3.定义：若数列{a }对任意的正整数n，都有|a |＋|a |＝d(d为常数)，则称{a }
n n＋1 n n
为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”.已知“绝对和数列”{a }中，a ＝2，
n 1
绝对公和为3，求数列{a }前2 025项和S 的最小值.
n 2 025
解 依题意，要使S 的值最小，只需每一项的值都取最小值即可.
2 025
因为a ＝2，绝对公和d＝3，
1
所以a ＝－1或a ＝1(舍去)，
2 2
所以a ＝－2或a ＝2(舍去)，
3 3
所以a ＝－1或a ＝1(舍去)，…，
4 4
所以满足条件的数列{a }的通项公式
n
a ＝
n
所以S ＝a ＋(a ＋a )＋(a ＋a )＋…＋(a ＋a )
2 025 1 2 3 4 5 2 024 2 025
＝2＋(－1－2)×＝－3 034.
【B级 能力提升】
4.(2024·西安调研)已知各项均为正数的数列{a }满足 a ＝1，a－2S ＝n＋
n 1 n
1(n∈N*)，其中S 是数列{a }的前n项和.
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)在a 和a (k∈N*)中插入k个相同的数(－1)k＋1·k，构成一个新数列{b }：a ，
k k＋1 n 1
1，a ，－2，－2，a ，3，3，3，a ，…，求{b }的前100项和T .
2 3 4 n 100解 (1)当n＝1时，a ＝2，
2
当n≥2时，递推得a－2S ＝n，
n－1
两式相减得a－a＝2a ＋1，
n
a＝a＋2a ＋1＝(a ＋1)2，
n n
因为数列{a }各项均为正数，所以a －a ＝1，
n n＋1 n
又∵a －a ＝1，
2 1
∴数列{a }为等差数列，故a ＝a ＋n－1＝n.
n n 1
(2)设a 和插入的k个数(－1)k＋1·k构成一组数，则前k组共有k＋＝个数，
k
令≤100，又k∈N*，解得k≤12；
当k＝12时，＝90<100，
∴{b }的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，
n
∴T ＝(a ＋1)＋(a －22)＋(a ＋32)＋…＋(a ＋112)＋(a －122)＋(a ＋13×9)
100 1 2 3 11 12 13
＝(a ＋a ＋…＋a )＋(1－22＋32－42＋…＋112－122)＋117
1 2 13
＝－(3＋7＋11＋…＋23)＋117
＝91－＋117＝91－78＋117＝130.
