文档文本内容
第 02 讲 用样本估计总体
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................4
高频考点一：百分位数的估计..........................................................................4
高频考点二：总体集中趋势的估计（样本的数字特征）.................................6
高频考点三：总体集中趋势的估计（频率分布直方图中的数字特征）........10
高频考点四：总体离散程度的估计.................................................................15
第一部分：基础知识
知识点一：总体百分位数的估计
（1）第 百分位数的定义
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这
个值,且至少有 的数据大于或等于这个值.
（2）计算一组 个数据的第 百分位数的步骤：
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算 .
第3步,若 不是整数,而大于 的比邻整数为 ,则第 百分位数为第 项数据;若 是整数,则第 百分位
数为第 项与第 项数据的平均数.
知识点二：样本的数字特征
（1）众数一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.
（2）中位数
一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或
最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.
（3）平均数
一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据 ， ， ， 的平均数为
（4）标准差与方差
如 果 有 个 数 据 ， ， ， 那 么 平 均 数 ， 标 准 差 为 ：
，方差：
知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值
(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数;
(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的;
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横
坐标之和.
知识点四：平均数，方差的线性关系：
数据 平均数 方差
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅱ卷））某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水
稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产 [900， [950， [1000， [1050， [1100， [1150，
量 950） 1000） 1050） 1100） 1150） 1200）
频数 6 12 18 30 24 10根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计
算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, ,
所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于 的频数为 ，
所以低于 的稻田占比为 ，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为 ，最小为 ，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，平均值为
，故D错误.
故选；C.
2．（2023·全国·高考真题（新课标Ⅰ卷））有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，
则（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数
C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
【答案】BD
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设 的平均数为 ， 的平均数为 ，
则 ，
因为没有确定 的大小关系，所以无法判断 的大小，
例如： ，可得 ；例如 ，可得 ；
例如 ，可得 ；故A错误；
对于选项B：不妨设 ，
可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B正确；
对于选项C：因为 是最小值， 是最大值，
则 的波动性不大于 的波动性，即 的标准差不大于 的标准差，
例如： ，则平均数 ，
标准差 ，
，则平均数 ，
标准差 ，
显然 ，即 ；故C错误；
对于选项D：不妨设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：百分位数的估计
典型例题
例题1．（23-24高一下·新疆·期末）已知小王4次月考的数学成绩分别为125，116，120，131，则这些成
绩的第75百分位数是（ ）
A．122.5 B．125 C．128 D．131
【答案】C
【知识点】总体百分位数的估计【分析】利用百分位数的概念先排序再求相应位置的分位数即可.
【详解】将这些成绩从小到大排列为 .
因为 ，所以这些成绩的第75百分位数是 .
故选：C.
例题2．（23-24高一下·天津南开·期末）一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百
分位数与第60百分位数的差为3，则 （ ）．
A．58或64 B．58 C．59或64 D．59
【答案】A
【知识点】总体百分位数的估计
【分析】先对数据从小到大排序，分 ， ， 三种情况，舍去不合要求的情况，列出方
程，求出答案,
【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．
若 ，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；
若 ，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；
若 ，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则 ，
解得 或
故选：A
例题3．（24-25高三上·四川·开学考试）已知一组数据： 的平均数为6，则该组数据的第40百分
位数为 .
【答案】
【知识点】根据平均数求参数、总体百分位数的估计
【分析】由平均数的定义算出 ，再由百分位数的定义即可求解.
【详解】依题意， ，解得 ，
将数据从小到大排列可得： ，
又 ，则 分位数为 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩
两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
A．36 B．41 C．46 D．51
【答案】C
【知识点】总体百分位数的估计【分析】根据第十名成绩为该班级成绩的第80百分位数，列出不等式组求解即可.
【详解】设班级的人数为 ，
由题意 ，解得 ，又 .
故选：C.
2．（2024高三上·江苏南京·学业考试）某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段
中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数
据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（ ）
A．79 B．80 C．81 D．82
【答案】B
【知识点】计算几个数的平均数、总体百分位数的估计
【分析】计算位置指数 ，代入数据可得位置，根据已知可求得.
【详解】由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即 ，
解之得 ，
所以该名考生面试的平均得分为 .
故选：B.
3．（2024高一·全国·专题练习）某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是
，设该组数据的平均数为 ，第 百分位数为 ，则有（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数的平均数
【分析】把数据从小到大排列得出平均数，再求解第 百分位数即可.
【详解】把该组数据按从小到大排序，可得 ，
故平均数 ，
因为 ，所以第50百分位数 ，故D正确.
故选：D．
高频考点二：总体集中趋势的估计（样本的数字特征）
典型例题
例题1．（23-24高二下·湖南·期末）某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优
秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（ ）
A．诗经组中位数为3，众数为2
B．论语组平均数为3，方差为1
C．春秋组平均数为3，众数为2
D．礼记组中位数为3，极差为4
【答案】B
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方
差、标准差
【分析】举出相应反例计算可得A、C、D错误，借助反证法及方差计算公式可得B.
【详解】对于A，数据为： 时，满足中位数为3，众数为2，
但不满足每位选手的失分不超过6分，故A错误；
对于B，假设有一位同学失7分，则方差 ，与方差为1矛盾，
假设不成立，故B正确；
对于C，数据为：1，2，2，2，2， 时，满足平均数为3，众数为2，
但是不满足每位选手失分不超过6分，故C错误；
对于D，数据为： ，满足中位数为3，极差为4，
但最大值超过6分，故D错误.
故选：B.
例题2．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子 次，分别记录每次骰子
出现的点数 根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数 的是（ ）
A．甲：平均数为 ，中位数为 B．乙：中位数为 ，众数为
C．丙：平均数为 ，方差为 D．丁：中位数为 ，方差为
【答案】C
【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数、计算几个
数的众数
【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C．
【详解】若甲的5个点数分别是 ，满足选项A；
若乙的5个点数分别是 ，满足选项B；
若丁的5个点数分别是 ，平均数为4，其方差为
，满足选项D；
若丙的平均数为2，又有点数6，则方差 ，不可能满足C，因此丙不会出现点数6，故选：C．
例题3．（多选）（2025·广东·模拟预测）已知样本数据 ，则这组数据的（ ）
A．众数为 B．平均数为
C．上四分位数为 D．方差为
【答案】ACD
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位
数的估计
【分析】利用众数，平均数，方差，上四分位数公式逐个选项分析求解即可.
【详解】首先，我们把数据从小到大排列，得到 ，
对于A：观察得数据 出现的次数最多，所以众数为 ，故A正确；
对于B：平均数为 ，故B错误；
对于C：因为一共有 个数据，且 ，
所以上四分位数为第 个数，故上四分位数为 ，故C正确；
对于D：方差为 ，
，故D正确.
故选：ACD.
例题4．（23-24高一下·云南·期末）1992年，公安部发出通知，将每年的11月9日定为“119消防宣传
日”.通过消防宣传日的设立，旨在提醒全民关注消防安全，学习消防知识，提高自救互救能力，减少火灾
事故的发生.某高中学校为增强学生的消防安全意识，组织本校高一､高二共800名学生参加“消防安全，
在我心中”的知识竞赛，现从每个年级分别随机抽取10名学生的竞赛成绩如下：
高一： 90 85 82 85 97 83 88 95 90 85
高二： 83 90 97 88 95 85 95 85 80 82
(1)请根据以上20个数据，估计此次参赛学生成绩的第60百分位数､众数和平均数；
(2)若规定95分及以上为一等奖，从一等奖的学生中任选2人作为宣讲代表，则这2人中至少有1人来自高
一年级的概率是多少？
【答案】(1)第60百分位数为89，众数为 85，平均数为88；
(2) .
【知识点】总体百分位数的估计、计算古典概型问题的概率、计算几个数的平均数、计算几个数的众数
【分析】（1）把给定的20个数据由小到大排列，按第60百分位数､众数和平均数的意义分别计算即得.
（2）利用列举法求出所求概率.
【详解】（1）把20个数据由小到大排列为80，82，82，83，83，85，85，85，85，85，88，88，90，90，90，95，95，95，97，97，
由 ，得估计此次参赛学生成绩的第60百分位数为 ；
估计此次参赛学生成绩的众数为85；
平均数为 .
（2）成绩在95分及以上的有5人，来自高一年级的有2人，记为 ，来自高二年级的3人记为 ，
从5人中任选2人的样本空间 ，共10个样本点，
2人中至少有1人来自高一年级的事件 ，共7个样本点，
所以这2人中至少有1人来自高一年级的概率 .
练透核心考点
1．（2024·安徽合肥·模拟预测）某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是
10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和
为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．32
【答案】D
【知识点】等差中项的应用、计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数
【分析】根据已知条件，结合平均数公式，中位数，众数的定义，即可求解.
【详解】设丢失的数据为 ，则平均数为： ，
众数是 ，
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得： （舍去），
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得： ，
若 ，则中位数为 ，此时 ，解得： ，
所有可能的值为 ，其和为 .
故选：D.
2．（2024高二下·湖南·学业考试）样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（ ）
A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5
【答案】B
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数
【分析】根据众数、中位数的概念求解.
【详解】由小到大排列：1，2，4，5，6，6，8，15，所以中位数为 ，众数为 ，
故选：B
3．（多选）（24-25高三上·江西·阶段练习）某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，
22，78，32，26，20，22，则（ ）
A．众数是22
B．前4个数据的方差比最后4个数据的方差大
C．平均数是30
D．80百分位数是28
【答案】AC
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位
数的估计
【分析】将数据按升序排列，根据统计知识逐项分析判断.
【详解】将数据按升序排列可得：20，22，22，22，24，26，26，28，32，78，
对于A：22出现的次数最多，众数是22，故A正确；
对于C：平均数 ，故C正确；
对于D：因为 ，所以第80百分位数是 ，故D错误；
对于B：前4个数据是26，28，22，24，
其平均数是 ，
方差为 ，
后4个数据是32，26，20，22，
平均数是 ，
方差为 ，
因为 ，所以前4个数据的方差比最后4个数据的方差小，故B错误.
故选：AC.
高频考点三：总体集中趋势的估计（频率分布直方图中的数字特征）
典型例题
例题1．（23-24高二下·浙江舟山·期末）某高中为了调查学生对手机的使用情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，他们一周内使用手机的时间（小时）频率分布直方图如下图所示，则参与调查
的学生每周平均使用手机的时间约为 小时.（同一组数据用该组数据的中点值作代表）
【答案】4
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数
【分析】根据频率和为1求得 ，再结合平均数的计算公式分析求解.
【详解】由题意可知：每组的频率依次为 ，
则 ，解得 ，
可得平均数 （小时），
所以平均使用手机的时间约为4小时.
故答案为：4.
例题2．（2024·四川成都·模拟预测）某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取
个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中
位数为 .（结果保留整数）
【答案】
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数
【分析】由概率之和为 计算出 后，结合中位数的定义计算即可得.
【详解】 ，解得 ，
由 ， ，
设中位数为 ，则 ，
有 ，解得 .故答案为： .
例题3．（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种
物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示，则该物质含量的众数的估计值为 ，平均
数的估计值为 .
【答案】 85 84
【知识点】由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数
【分析】根据频率分布直方图中最高小矩形得出众数落在第三组，从而求出众数的值，再根据每个小组的
频率以及中间值求出频率分布直方图的平均数．
【详解】根据频率分布直方图得出众数落在第三组 内，所以众数为 .
含量在 之间的频率为0.1；含量在 之间的频率为0.2；
含量在 之间的频率为0.4，根据概率和为1，
可得含量在 之间的频率为0.3，所以频率分布直方图的平均数为 .
.
故答案为：85；84.
例题4．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100
名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方
图．
(1)估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；
(2)估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
(3)估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．
【答案】(1)(2)20； 20.32
(3)23.86
【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布
直方图估计平均数、总体百分位数的估计
【分析】（1）用频率估计概率可得；
（2）根据频率分布直方图求出 的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；
（3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可.
【详解】（1）由志愿者服务时间低于18小时的频率为 ，
，
所以估计志愿者服务时间不低于18小时的概率为 .
（2）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；
由 ，解得 ，
估计平均数为 ；
（3） ， ，
由 ，
第75百分位数位于 之间，设上四分位数为 ，
则 ，解得 ．
估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为 .
练透核心考点
1．（23-24高一下·山东·阶段练习）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成
绩（均为整数）的频率分布直方图，如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为 、中位数约为
．（结果不能整除的精确到0.1）
【答案】
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数
【分析】由已知，利用频率分布直方图可以直接求解出平均数，设出中位数，根据题意，列出等量关系，
即可求解.
【详解】由已知，根据频率分布直方图可得，这次测试中数学成绩的平均分为：分，
设中位数为 ，则 ，解得 .
故答案为： ， .
2．（23-24高一下·陕西商洛·期末）某校随机调查了100名学生，记录他们在某一天各自体育锻炼时间的
数据，得到的频率分布直方图如图所示，则这100名学生这一天每人的体育锻炼时间的中位数是
.(精确到0.01)
【答案】0.87
【知识点】由频率分布直方图估计中位数
【分析】分析得到中位数在第三组，设中位数为 ，解方程 即得解.
【详解】因为 ，
，
所以中位数在第三组，设中位数为 ，
则 ，
解得 .
故答案为：0.87
3．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）某校组织高二学生参加了历史学科的学业水平考试，某班成绩的
频率分布直方图如下图所示，则 ，并估计该班学生此次考试成绩的众数为 .
【答案】 0.015/ 70
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、根据频率分布直方图计算众数
【分析】根据所有的频率之和等于1，便可求出a的值；根据频率分布直方图可知，人数最多的组为，即可得出众数.
【详解】因为所有的频率之和等于1，所以 ，解得： ；
根据频率分布直方图可知，人数最多的组为 ，所以众数为 .
故答案为： ； .
4．（23-24高一·江苏·课后作业）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五
组，绘制成如图所示的频率直方图，已知图中从左到右的第一､二､三､四､五小组的频率分别是0.30，
0.40，0.15，0.10，0.05.
则估计高一参赛学生的成绩的众数､中位数分别为 .
【答案】65，65
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、根据频率分布直方图计算众数
【分析】频率分布直方图中最高矩形的中点横坐标即为众数，利用平分矩形面积可得中位数．
【详解】由题图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60+x，则0.3+x×0.04=0.5，得x=5，
∴中位数为60+5=65.
故答案为：65，65
高频考点四：总体离散程度的估计
典型例题
例题1．（23-24高一下·湖南长沙·期末）已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差
为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为.
【答案】 /
【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】设前10次射击的命中环数分别为 ，由题意先算出12次射击的命中环数的平均数，然
后由方差的计算公式求解即可.
【详解】设前10次射击的命中环数分别为 ，则
即 ，由方差为 ，得 ，
即 ，
所以增加两次射击后，这12次射击的命中环数的
平均数为： ，
所以这12次射击的命中环数的方差为：
.
故答案为：
例题2．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红
楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为
不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100)，并作出如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值.
(2)求样本数据的第62百分位数.
(3)已知样本数据落在[50,60)的平均数是52，方差是6；落在[60,70)的平均数是64，方差是3.求这两组数
据的总平均数 和总方差 .
【答案】(1)
(2) 分
(3) ，
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计
【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解；
（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；
（3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.
【详解】（1）由 ，
解得 ；
（2）因为 ，
，
所以样本数据的第62百分位数在 内，
可得 ，
所以样本数据的第62百分位数为 分；
（3）样本数据落在[50,60)的个数为 ，
落在[60,70)的个数为 ，
，
总方差 .
例题3．（21-22高一下·江苏南京·期末）某市为了解人们对冬奥会的认知程度，举办了一次冬奥会知识竞
赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了 人，按年龄分成5组，得到如图所
示的频率分布直方图，已知第一组有6人．
(1)求 ；
(2)求抽取的 人的年龄的中位数（结果四舍五入保留整数）；
(3)从年龄在 和 的参赛者中各选取5名参加知识竞赛，分别代表相应年龄组的成绩，年龄组
的成绩为93，96，97，94，90，年龄组 的成绩为93，98，94，95，90.
①分别求两组成绩的平均数和方差；
②以上述数据为依据，评价两个年龄组对冬奥会的认知程度，并谈谈你的感想．【答案】(1)120
(2)32
(3)① 组平均数94，方差6， 组平均数94，方差6.8；②答案见解析
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、计
算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】（1）根据频率分布直方图求出第一组的频率，再结合第一组的频数可求出 ；
（2）先判断中位数的位置，再列方程求解即可；
（3）①利用平均数和方差的定义直接求解即可，②由于平均数相同，所以根据方差进行判断.
【详解】（1）根据频率分布直方图得第1组的频率为 ，
所以 ；
（2）因为前2组的频率和为 ，前3组的频率为 ，
所以中位数在第3 组，设中位数为 ，
则 ，
所以 ，则中位数为32；
（3）①年龄在 组的成绩的平均数为 ，
方差 ，
年龄在 组的成绩的平均数为 ，
方差
②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看 年龄组内差异较大，
故年龄在 组的认知程度更好.
例题4．（23-24高一下·北京大兴·期末）某学校为了解本校历史选科，物理选科学生的学业水平模拟测试
数学成绩情况，从历史选科的学生中随机抽取 人的成绩得到样本甲，从物理选科的学生中随机抽取60人
的成绩得到样本乙，分别得到如下频率分布直方图：已知样本甲中数据在 的有20个．
(1)求 和样本甲的频率分布直方图中 的值；
(2)试估计该校历史选科的学生本次模拟测试数学成绩的中位数；
(3)设该校历史与物理选科的学生本次模拟测试数学成绩的平均值分别为 ， 方差分别为 ， ，试估
计 与 ， 与 的大小（只需写出结论）．
【答案】(1) ；
(2)82
(3) ，
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、用
平均数的代表意义解决实际问题、估计总体的方差、标准差
【分析】（1）样本甲中数据在 的有20个可求出 ，根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和
为1可求出 的值；（2）根据中位数的定义求解；（3）根据平均数和方差的实际意义即可判断.
【详解】（1）由直方图可知，样本甲中数据在 的频率为 ，
又因为样本甲中数据在 的有20个，所以 ，解得： ，
由样本甲数据的直方图可知， ，解得
（2）因为 ，
，
所以样本甲数据的中位数在第4组，设中位数为 ，
则 ，解得：
（3）结论是： ， ，
方法一：因为样本甲数据主要集中在70分到90分之间，样本乙数据主要集中在80到100分之间，所以
；
因为样本甲数据更加集中，样本数据乙的数据更加分散，所以
方法二：由直方图可得： ，
所以 ；
，
，
所以
练透核心考点
1．（23-24高一下·四川眉山·期末）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为12
的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9.84；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均
数为6，方差为15.64.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为20的样本，则合在一起后的
样本方差为 .
【答案】12.4
【知识点】估计总体的方差、标准差
【分析】由分层抽样的方差公式求解．
【详解】甲同学抽取的样本占总样本的比例为 ，
乙同学抽取的样本占总样本的比例为 ，
总平均数为 ，
总方差为： ，
故答案为：
2．（24-25高三上·全国·单元测试）某网络公司为了提升服务质量，从会员库中随机抽取n名会员进行线
上问卷调查，将会员的评分（满分10分）从低到高分为四个等级：
会员评
分
满意等
不满意 一般 满意 非常满意
级
并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在 的会员数为40人．
(1)求样本容量n及频率分布直方图中的t值．
(2)若该公司以抽取的样本为参考，每组数据以该组评分的区间中点值为代表进行评估：
（ⅰ）若会员满意度评分的均值x低于8分，则需要提升公司产品的体验感，否则全力开发新产品．根据
所学的统计知识，判断该公司应采用的运营策略，并说明理由．
（ⅱ）记会员评分的样本标准差为s，试估计会员总体在区间 的人数的百分比．（参考数据：）
【答案】(1) ，
(2)（ⅰ）该公司应全力开发新产品，理由见解析；（ⅱ）
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计
算频率分布直方图中的方差、标准差
【分析】（1）利用频率、频数、样本容量三者的关系，结合频率分布直方图中所有小长方形的面积之和
为 即可求解；
（2）（ⅰ）根据已知条件及频率分布直方图中平均数的求法即可求解；
（ⅱ）根据已知条件及（ⅰ）的结论，利用频率分布直方图中频率和方差的求法，结合标准差的公式即可
求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，评分在 的频率 ，
故样本容量 ．
又 ，故 ．
（2）各组评分的区间中点值分别为4.5，5.5，6.5，7.5，8.5，9.5．
（ⅰ）会员满意度评分的均值 ，
故该公司应全力开发新产品．
（ⅱ）因为方差
，则 ，
故 ．
区间 内评分不小于6.67的频率 满足 ，解得 ，
区间 内评分不大于9.33的频率 满足 ，即 ，
所以样本在区间 的频率为 ，
因此用样本估计总体知，所有会员在区间 的人数的百分比约为 ．
3．（23-24高一下·青海海南·期末）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如
下（单位：分）：
甲组：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85
(1)试分别计算两组数据的极差和方差；
(2)试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？
【答案】(1)甲组数据的极差为30（分），方差为104；乙组数据的极差为30（分），方差为75.25
(2)乙组的成绩较稳定．
【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动程度
【分析】（1）根据公式直接求极差、平均数、方差即可；
（2）根据（1）的结果可得答案．
【详解】（1）甲组最高分为95分，最低分为65分，极差为 ，
平均数为 ，
方差为
，
乙组最高分为95分，最低分为65分，极差为 ，
平均数为 ，
方差为
；
（2）由于甲乙两组极差相同，但乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定．
4．（23-24高一下·广东东莞·期末）某快捷超市计划通过停车收费推动快速购物进而提升顾客流量，在制
定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了100个停车时间的数据（单位： ），
按 分成5组，其频率分布直方图如下.
(1)如果该超市计划奖励 的快速购物顾客不收取其停车费，那么应该允许免费停车多长时间？
(2)记 ，其中 为样本平均数， 为样本标准差.如果该超市计划对停车时长超过 的客户征收更高
的停车费，求 （精确到个位）.（注：假设频率分布直方图中每组数据在组内均匀分布，参考数据：
）
【答案】(1)40分钟
(2)74
【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准
差、总体百分位数的估计
【分析】（1）根据题意，求出 ，利用百分位数的概念求出第35百分位数得解；（2）根据频率分布直方图求出 ， 得解.
【详解】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积和等于1，则
，解得 ，
设第35百分位数为 ，则 ，
解得 ，
所以可以允许车辆免费停车40分钟不收费.
（2）车辆平均停车时间为
，
，
，
所以.
