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§8.5 圆与圆的位置关系
课标要求 1.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.能根据圆与圆的位置关系求公共弦方程、公共弦长、
切线等一些简单问题.
圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
外切
相交
内切
内含
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(3)若两圆相切，则两圆有三条公切线.( )
(4)若两圆C1，C2相交于A，B 两点，则线段C1C2与线段AB 互相垂直平分.( )
2.圆C1：x2+y2＝4 与圆C2：x2+y2－8x－6y+16＝0 的位置关系是( )
A.外切
B.相交
C.外离
D.内切
3.设a>0，若圆(x－a)2+y2＝1 与圆x2+y2＝25 有公共点，则a 的取值范围为( )
A.(0，4)
B.{4}
C.(4，6)
D.[4，6]
4.(2024·哈尔滨模拟)已知圆C1：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2－4x－4y+4＝0，两圆的公共弦所在的直线方程为
.
灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1＝0 与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2＝0 相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在的直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
题型一 圆与圆的位置关系的判断
例1 (1)(多选)(2024·合肥模拟)已知圆O：x2+y2＝1，圆C：(x－a)2+(y－1)2＝4，a∈R，则( )
A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B.若圆O 与圆C 相切，则a＝±2√2
C.若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则－2√2<a<2√2且a≠0
D.若a＝√15，且P，Q 分别是圆O 和圆C 上的动点，则|PQ|的取值范围是[1，7]
(2)圆C1：x2+y2+8x－2y+9＝0 和圆C2：x2+y2+6x－4y+11＝0 的公切线方程是( )
A.y＝－x+1
B.y＝－x+1 或y＝x+5
C.y＝－x+5
D.y＝x+1 或y＝2x+5
思维升华 判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d 与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关
系，这是解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
跟踪训练1 (2024·聊城模拟)若圆C1：x2+y2＝1 与圆C2：(x－a)2+(y－b)2＝4 恰有一条公切线，则下列直
线一定不经过点(a，b)的是( )
A.2x+y－√2＝0
B.2x－y+2＝0
C.x+y－√2＝0
D.x－y+2＝0
题型二 公共弦问题
例2 (多选)(2024·白城模拟)已知圆O：x2+y2＝4 与圆C：(x－3)2+(y－2)2＝9 交于A，B 两点，则下列说
法正确的是( )
A.线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为2x－3y＝0
B.直线AB 的方程为3x+2y－4＝0
C.|AB|＝6√13
13
D.若点P 是圆O 上的一点，则△PAB 面积的最大值为24 +12√13
13
思维升华 (1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1＝0 与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2＝0 相交，则两圆公共弦所在的直
线方程为(D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定
理求解.
跟踪训练2 (多选)若圆O：x2+y2＝4 与圆C1：(x－m)2+(y－n)2＝4 的公共弦AB 的长度为2√3，则下列
结论正确的有( )
A.m2+n2＝4
B.直线AB 的方程为mx+ny－2＝0
C.线段AB 中点的轨迹方程为x2+y2＝3
D.四边形AOBC1的面积为√3
隐 圆
隐圆是指条件中某些点或点的轨迹在某个圆上，常见的隐圆形式有：
(1)阿氏圆：平面上两定点A，B，则平面上所有满足| PA |
| PB| ＝λ(λ>0 且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直
线AB 上，半径为|
λ
1- λ
2|·|AB|的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.
(2)直角顶点在以斜边为直径的圆上：在△PAB 中，若PA⊥PB，则点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆(除
去A，B 两点).
典例 (多选)(2024·铜仁模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到
两个定点A，B 的距离之比为定值m(m>0 且m≠1)的点的轨迹是圆”.人们将这个圆以他的名字命名为阿波
罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系Oxy 中，A(－2，0)，B(4，0)，点P 满足| PA |
| PB| ＝1
2.设点P 的轨
迹为曲线C，则下列结论正确的是( )
A.曲线C 的方程为(x+4)2+y2＝16
B.|PB|的最大值为12
C.曲线C 上总存在两个点到点A 的距离为1
D.过点B 作曲线C 的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN 的方程为x＝－2
答案精析
落实主干知识
d>r1+r2 d＝r1+r2
|r1－r2|<d<r1+r2
d＝|r1－r2| d<|r1－r2|
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.A [圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
圆C2可化为(x－4)2+(y－3)2＝9，
∴圆心C2(4，3)，半径r2＝3，
∴|C1C2|＝√(4 -0)
2+(3-0)
2＝5＝r1+r2，
故两圆外切.]
3.D [圆(x－a)2+y2＝1，圆心为(a，0)，半径为1，圆x2+y2＝25，圆心为(0，0)，半径为5，若圆(x－a)2+y2
＝1 与圆x2+y2＝25 有公共点，则4≤|a|≤6，又a>0，所以4≤a≤6.]
4.x+y－2＝0
解析 由圆C1：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2－4x－4y+4＝0，两式作差得，4x+4y－4＝4，即x+y－2＝0，所以两
圆的公共弦所在的直线方程是x+y－2＝0.
探究核心题型
例1 (1)ACD [根据题意，可得圆O：x2+y2＝1 的圆心为O(0，0)，半径r＝1，圆C：(x－a)2+(y－1)2＝4
的圆心为C(a，1)，半径R＝2，因为两圆的圆心距d＝|OC|＝√a
2+1≥1，所以A 项正确；
当两圆内切时，圆心距d＝|OC|＝R－r＝1，即√a
2+1＝1，解得a＝0；当两圆外切时，圆心距d＝|OC|＝
R+r＝3，即√a
2+1＝3，解得a＝±2√2.综上所述，若两圆相切，则a＝0 或a＝±2√2，故B 项不正确；
若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则两圆相交，d＝|OC|∈(R－r，R+r)，即√a
2+1∈(1，3)，可得1<√a
2+1
<3，解得－2√2<a<2√2且a≠0，故C 项正确；
当a＝√15时，两圆的圆心距d＝|OC|＝4>R+r，故两圆外离，则|OC|－R－r≤|PQ|≤|OC|+R+r，即1≤|PQ|
≤7，故D 项正确.]
(2)A [圆C1：(x+4)2+(y－1)2＝8，圆心C1(－4，1)，
半径r1＝2√2，
圆C2：(x+3)2+(y－2)2＝2，
圆心C2(－3，2)，
半径r2＝√2，
因为|C1C2|＝√2＝r1－r2，
所以两圆内切，公切线只有一条，
因为两圆圆心连线与切线相互垂直，且kC1C2＝1，
所以切线的斜率为－1，
由方程组
{
x
2+ y
2+8 x -2 y +9＝0,
x
2+ y
2+6 x - 4 y +11＝0,
解得{
x＝-2,
y ＝3,
故圆C1与圆C2的切点坐标为
(－2，3)，
故公切线方程为y－3＝－(x+2)，
即y＝－x+1.]
跟踪训练1 D [圆C1：x2+y2＝1 的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－a)2+(y－b)2＝4 的圆心C2(a，
b)，半径r2＝2，若圆C1与圆C2恰有一条公切线，则两圆内切，所以|C1C2|＝|r1－r2|，即√a
2+b
2＝1，所以
点(a，b)的轨迹为圆x2+y2＝1.圆心(0，0)到直线2x+y－√2＝0 的距离为|0+0-√2|
√5
＝√10
5 <1，则该直线可
能过点(a，b)，故A 不符合；
圆心(0，0)到直线2x－y+2＝0 的距离为|0-0+2|
√5
＝2√5
5
<1，则该直线可能过点(a，b)，故B 不符合；
圆心(0，0)到直线x+y－√2＝0 的距离为|0+0-√2|
√2
＝1，则该直线可能过点(a，b)，故C 不符合；
圆心(0，0)到直线x－y+2＝0 的距离为|0-0+2|
√2
＝√2>1，则该直线一定不过点(a，b)，故D 符合.]
例2 ABD [由圆C：(x－3)2+(y－2)2＝9 知圆心为C(3，2)，所以直线OC 的方程为y＝2
3x，即2x－3y＝
0，所以线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为2x－3y＝0，故A 正确；
因为圆O：x2+y2＝4 与圆C：(x－3)2+(y－2)2＝9，两圆的方程作差，可得直线AB 的方程为3x+2y－4＝0，
故B 正确；
点O 到直线AB 的距离
d＝|- 4|
√3
2+2
2 ＝4√13
13
，又圆O 的半径r＝2，所以|AB|＝2√r
2-d
2＝2√
4 -(
4√13
13 )
2
＝12√13
13
，
故C 错误；
点P 到直线AB 的距离的最大值为d+r＝4√13
13
+2，则△PAB 面积的最大值为
1
2×12√13
13
×(
4√13
13
+2)
＝24+12√13
13
，故D 正确.]
跟踪训练2 AB [两圆的方程相减可得直线AB 的方程为2mx+2ny－m2－n2＝0，因为圆O 的圆心为O(0，
0)，半径为2，且公共弦AB 的长度为2√3，则O(0，0)到直线2mx+2ny－m2－n2＝0 的距离为1，所以
m
2+n
2
√4(m
2+n
2)＝1，解得m2+n2＝4，所以直线AB 的方程为mx+ny－2＝0，故A，B 正确；
由圆的性质可知直线OC1垂直平分线段AB，所以O(0，0)到直线mx+ny－2＝0 的距离即为线段AB 的中点
与点O 的距离，设线段AB 中点的坐标为(x，y)，
则√( x -0)
2+( y -0)
2＝1，
即x2+y2＝1，故C 错误；
易得四边形AOBC1为菱形，且|AB|＝2√3，|OC1|＝2，则四边形AOBC1的面积为1
2×2√3×2＝2√3，故D 错
误.]
微拓展
典例 ABD [如图，因为在平面直角坐标系Oxy 中，A(－2，0)，B(4，0)，点P 满足| PA |
| PB| ＝1
2.
设P(x，y)，则√( x +2)
2+ y
2
√( x - 4)
2+ y
2 ＝1
2，化简可得(x+4)2+y2＝16，故选项A 正确；
由(x+4)2+y2＝16 可得圆心C(－4，0)，半径r1＝4，所以|PB|max＝|BC|+r1＝12，故选项B 正确；
到点A 的距离为1 的点在以A 为圆心，半径r2＝1 的圆上，即圆A：(x+2)2+y2＝1，又|AC|＝2<|r2－r1|＝3，
所以圆C 与圆A 内含，故曲线C 上不存在点到点A 的距离为1，所以选项C 错误；依题意，在四边形
CMBN 中，∠BMC＝∠BNC＝90°，所以C，M，B，N 四点共圆，且直径为BC，该圆的方程为x2+y2＝16，
故MN 为圆C 与圆x2+y2＝16 的公共弦，其方程为x＝－2，所以选项D 正确.]
