文档文本内容
集合中元素的性质及集合间的关系系
考点1
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专题01 集合与常用逻辑用语
4 大考点概览
考点01 集合中元素的性质及结合间的关系
考点02 集合的运算
考点03 集合新定义
考点04 命题的否定、充分必要条件
1．（2026·安徽淮北·一模）已知集合
，则
的元素个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】利用并集的运算求解.
【详解】
，
，
，
的
元素个数为
.
故选：C.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合
是绝对值小于的整数，
，则
的元素个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
是绝对值小于的整数，即满足
（
为整数），可得
，
已知
，根据并集定义，得：
因此，
共
个元素.
3．（2026·山西朔州·一模）已知
，则
中所有元
素的和为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．12
【答案】A
【详解】
，
1
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所以
，故
中所有元素的和为5.
4．（2026·广东·一模）已知集合
，若
，则
（ ）
A．－2
B．0
C．2
D．4
【答案】B
【详解】由于集合
，
，则
，故
5．（2026·山东泰安·一模）已知集合
，则
的子集个数为
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【分析】由集合的交集运算和子集计算公式即可求解.
【详解】由
，可得
，所以
，
所以
的子集个数为
，故选：B
6．（2026·湖南怀化·一模）全集
，且
，则满足条件的集合
的个数为
（ ）
A．8
B．7
C．4
D．2
【答案】A
【详解】因为全集
，且
，
所以
可能为
，共个即集合
的个数为.
7．（2026·广东广州·一模）集合
的子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】D
【详解】解不等式
得
，则集合
，有3 个元素，则集合
的子集个数
为
.
2
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8．（2026·山东菏泽·一模）已知集合
，
，若
，则m 的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【详解】因为
，
，
，所以
，可得
，解得
.
9．（2026·广东梅州·一模）已知全集
，
，则下列结论不一
定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
，
，所以
，故A 正确；
对于任意
，则
，又
，所以
，所以
，故B 正确；
若
，则
，又
，则
，则
，
与
矛盾，所以
，同理
，
，故
，故C 正确；
若
时，可得
不成立，故D 错误.
10．（2026·江苏·一模）设集合
，
，若
含有4 个元素，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可.
【详解】根据集合元素的互异性可知，
，
.
因为
含有4 个元素，所以
仅含有1 个元素，
若
，则
或
，所以
或
.
若
，则
.
结合集合元素的互异性可知
或
.
3
集合的运算
考点2
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当
时，
，
，
，符合题意.
当
时，
，
，
，不符合题意.
综上，
.
11．（2026·山东德州·一模）设集合
，若
，则
__________.
【答案】
【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.
【详解】
，
，
且
且
且
，
或
，
当
时，
且
，
，
.
当
时，解得
，
且
，
不成立.
综上可得，
.
1．（2026·辽宁抚顺·一模）设集合
，若
，则
的取值集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若
，则
，此时
，不符合题意；若
，解
得
，则
，
，此时
，符合题意.综上，
的取值集合为
.
2．（2026·山东青岛·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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【答案】B
【详解】由
可得
，即
，又
，故
.
3．（2026·湖北黄石·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解三角方程得到集合
，再根据集合交集运算法则求解．
【详解】
，
，解得
，即
，
．
4．（2026·河北保定·一模）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解集合
得：
或
，由
，则
.
5．（2026·江西南昌·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
.
6．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
5
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【分析】解出不等式，求出集合
，进而求交集即可.
【详解】由
，得
，解得
，即
.
由
，可得
，解得
，即
，所以
.
7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
所以
8．（2026·山东烟台·一模）已知集合
，
，
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用子集的定义可得答案.
【详解】由
，得：
，即
，故
，由
，得：
，又
因为
，所以
.
9．（2026·广东汕头·一模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解二次不等式得
的补集区间，再与给定集合
取交集即得结果.
6
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【详解】解不等式
，得
或
，即集合
，
则
，则
.
10．（2026·山东青岛·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因
，解得
，即
，又
，则
.
11．（2026·福建龙岩·一模）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
.
12．（2026·河北张家口·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，所以
，所以
.
13．（2026·河北衡水·一模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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【答案】A
【分析】求出集合
、
，利用交集的定义可求得集合
.
【详解】因为
，当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
，又因为
，故
.
14．（2026·广东·一模）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解出集合
，
中的元素，再由集合的并运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，因为
，
所以
，即
，所以
，所以
.
15．（2026·山东滨州·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先化简集合A，再根据并集的定义可得.
【详解】由不等式
，可得
；又因为
，因此
.又因为
，
所以
.
16．（2026·江西抚州·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因
，解得
，则
，由
，
8
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解得
，则
，
．
17．（2026·山东威海·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用对数函数的单调性求解不等式得集合
，再由并集定义计算即得.
【详解】由
可得
，解得
，即
，
因
，则
.故选：D.
18．（2026·山东淄博·一模）已知集合
，
，那么集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出集合
、
后，利用并集定义计算即可得.
【详解】由
，可得
，则
，由
，可得
，即
，即
，故
.
19．（2026·北京延庆·一模）已知集合
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合A,B，利用并集的定义可求得
.
【详解】由题意可得：根据对数函数真数大于零可得，集合
，集合
或
9
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，根据并集的定义可得
或
，即
.
20．（2026·山东聊城·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由集合
，则满足
，解得
，所以
，可得
，因为
，所以
.
21．（2026·山西大同·一模）设集合
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
，
，结合选项可知：A 选项正确.
22．（2026·江西·一模）已知集合
，
或
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，解得
，所以
，又
或
，所以
，故
．
10
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23．（2026·河北唐山·一模）已知全集U 及其两个非空真子集M，N，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图：
.
24．（2026·宁夏银川·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
，
，
，
.
25．（2026·甘肃兰州·一模）集合
，则图中阴影部分所表示的集
合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设全集为
，由图可知阴影部分可表示为
，可知
，
11
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则
26．（2026·山东济宁·一模）集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先分别解指数不等式、绝对值不等式得到集合
、
，再计算
的补集，最后求交集得到
结果.
【详解】因为指数函数
是
上的增函数，所以由
，可得
，即
；
而
，等价于
或
，解得
或
，即
或
所以
，故
.
27．（2026·天津河东·一模）已知全集
，集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
所以
或
.
28．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
12
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【分析】利用一元二次不等式和分式不等式的解法，求出集合
，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由
，得到
，所以
，
由
，即
，解得
，所以
，故
.
29．（2026·安徽安庆·一模）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
30．（2026·安徽合肥·一模）已知集合
，
，同时满足
，
，则
___________．
【答案】
或
【分析】易知
，则
，即集合
中的元素互为倒数，由题意可求出集合
，进而确定
集合
，根据并集的运算即可求出答案．
【详解】设
，若
，又
，故
，此时
，与已知
矛盾，故
，所以
，得
，所以
，
即集合
中的元素互为倒数，因为
，所以存在
，使得
且
，
解得
，又因为
，所以
或
，若
，则
，
13
集合新定义
考点3
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则
；若
，则
，则
.综上所述，
或
．
1．（多选）（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合
，定义集合
的
模为该集合中所有元素的和，记作
，即
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若集合
，则
B．若集合
，则
C．若集合
，则
D．记集合
，且
中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于
8，若
的最大值为
的最大值为
，则
【答案】AC
【分析】选项A，用裂项相消法求和；选项B，通过试根分解多项式，判断实根个数后计算集合模
长；选项C，构造函数求导分析单调性与最值，确定方程根的个数，再通过函数关系推导两根之和
的范围；选项D，找到周期内最大和规律后计算不同
值下的模长差值.
【详解】选项A，
，A 正确；
选项B，解方程得：
，
14
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二次方程
判别式
，无实根，故集合
，模
，B 错误；
C 选项，设
，求导得
，
时，
递增；
时，
递减；
最大值
，且
，因此一个零点
；
又
，因此另一个零点
，
则
，C 正确；
选项D，集合元素差为或，均小于
，因此可将
按每
个数分为一组，组间不产生符合
条件的差，只需每组取最大和即可，
时，
中，要使元素和最大，选
，满足条件，最大和
；
每组（第
组，
）的和为
，因此
时总和：
，
，D 错误.
2．（2026·安徽合肥·一模）设集合
，满足下列性质的集合称为“TB 集
合”：集合内至少含有2 个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则
的子集中有
___________个“TB 集合”.
【答案】
【分析】化简集合
，根据“
集合”的定义分2 个元素，3 个元素，4 个元素讨论求解.
【详解】解方程
，解得
，结合
，
因此：
，集合
共9 个元素.
（1）2 个元素的“
集合”：设为
，
当
时，
可取5，6，7，8，9，共5 个；
当
时，
可取6，7，8，9，共4 个；
当
时，
可取7，8，9，共3 个；
当
时，
可取8，9，共2 个；
15
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当
时，
可取9，共1 个；当
时，无满足条件的
.
则2 个元素的“
集合”总数：
.
（2）3 个元素的“
集合”：要选出3 个元素，需满足任意两个元素至少相差4.
最小的3 个满足条件的元素为1，5，9，则3 个元素的“TB 集合”仅1 个：1，5，9.
（3）若尝试选出4 个元素，最小的4 个满足条件的数为1，5，9，13，而13 超出集合A 的范围，
因此不存在4 个及以上元素的“TB 集合”.
综上，“
集合”总数
个元素的数量
个元素的数量：
.
3．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m，记
．
①已知
，
，且
，则
；
②已知
，
，则存在实数a，使得
；
③已知
，若
，则对任意
，都有
；
④已知
是等比数列
的前n 项和，
，则存在等比数列
，使得
．
其中所有不正确的命题是______．
【答案】①②③
【分析】直接计算即可判断①；分类讨论判断②；举反例判断③；举例证明④.
【详解】①：因
，则
；
，则
，解得：
或
，
①错误；②：当区间关于
对称，即
时，
，此时
，
.
当
时，
会增大，因此
的最小值为1，不存在
使得
，命题②错误
③，由题意知
，
，但
是满足
的点集，它可以是
的子集，不一定是
整个区间。例如
时，
，对于
满足题设，此时
时不满
16
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足
，③错误；④，取等比数列
，
，则
，
，
，即
，④正确。
4．（2026·北京密云·一模）已知集合
.对于
，定义
与
的差为
，
；
定义
与
之间的距离为
.
(1)若
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)证明：
三个数中至少有一个是偶数.
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据距离的定义，找出满足
的
即可；
（2）先根据
，分析
元素所满足的条件，再求
的最大值；
（3）首先讨论三个差
的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证.
【详解】（1）
，说明
与
只有个位置元素不同，
全为，因此
恰有1 个位置为
0，其余为，
17
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则所有满足条件的
为：
；
（2）已知
，
，
，
，
即
和
中恰好各有个分量为
（其余为）
设
的
的位置集合为
，
的0 的位置集合为
,则
，
则
，而
的最小值为
，
因此
的最大值为
（3）证明：对任意位置，讨论三个差
的和的奇偶性：
若
全相同：三个差都为
，和为偶数；
若两个相同一个不同：不妨设
，则三个差为
，和为
，仍是偶数；
所有位置求和得：
是偶数；
若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证.
5．（2026·湖北襄阳·一模）集合
，
，对T 中的两个不同元素
和
，若存在一个函数f：
满足：
①
，
②
，
③
，
18
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则称：X 与Y 是T 中的一对“友好元素”．
(1)当
时，若
，写出X 对应的一个“友好元素”；
(2)若
和
是T 中的一对“友好元素”，且满足
，规定：随机变量
服从分布
，当
时，试写
出
的分布列及其对应的一对“友好元素”X 与Y；
(3)当
时，若
且满足
，证明：若存在B 使得A
与B 是T 中的一对“友好元素”，则A 中有且仅有
个0．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
，
(3)证明见解析
【分析】（1）当
时，由题意，写出
满足的条件，写出函数值，即可得答
案.
（2）取
，
，写出函数值，完成分别列，求出期望即可.
（3）根据所给定义，不妨令
，讨论A 中有
个0、
个0 和小于等于
个0 三种情
况，求出B，分析讨论，综合即可得证.
【详解】（1）当
时，由
，需构造
满足
①
，
②
③
，
设
，
，
，
，
，则
满足①②③，
19
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此时
；故
满足题意．
（2）取
，
满足
且满足
，
，
，
，
，
，
的分布列为
0
2
4
6
p
0
，所以
，
（其他合理答案，同样给分，如：
，
等）．
（3）当
时，若
且满足
，不妨令
①由于
，所以
，
，…，
不可能都是0．
②若A 中有
个0，不妨设
，
，则
，此时
，
根据题意
，则
，
，
但是当
时与
矛盾，所以不成立；
当
时，
，
与
矛盾．
所以A 中不可能有
个0．
③若A 中有
个0，不妨设
，
，则
，其中
，
则存在函数f 使得：
，
，
，
，
，
，
20
命题的否定、充分必要条件
考点4
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即存在
使得A 与B 是T 中的友好元素．
④若A 中0 的个数小于等于
个，不妨设
，
其中
，
，
，
，
，…，
，则
．
假设存在B，则有两种可能：
第一种：
，其中若
，
，
则
；若
，
，则
，此时，
，
不符合题意；
第二种：
，则
．
即这两种情况都有
，矛盾．
综上可知，当
时，若存在序列B 使得A 与B 为一对“友好元素”，则A 中有
个0．
1．（2026·山东德州·一模）命题“
”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】易知命题“
”的否定为
.
2．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ）
A．菱形是矩形
B．存在一个菱形，它是矩形
C．存在菱形不是矩形
D．存在是菱形的矩形
21
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【答案】B
【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解.
【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题，所以该命题的否定是存在量词
命题，即：存在一个菱形，它是矩形.
3．（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A．
B．
C．任何实数都有算术平方根
D．任意两个无理数之和仍为无理数
【答案】A
【分析】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故
可判断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说
明即可判断.
【详解】对于A，含有全称量词，而
，所以
，故A 正确；
对于B，不含有全称量词，故B 错误；
对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C 错误；
对于D，含有全称量词，
是无理数，而
，而
是有理数，故D 错误.
故选：A
4．（2026·安徽淮南·一模）已知直线
，
，则“
”
是"
”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】两直线垂直的充要条件结合充分必要条件定义即可得解.
【详解】若“
”，则
，所以“
”是“
”的充分必要条
件.
故选：A.
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5．（2026·江苏南通·一模）“
”是“
成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用推出关系来判断即可.
【详解】当
时，如
，此时
不能成等比数列，故充分性不成立，
当
成等比数列，可以推出
，故必要性成立，所以“
”是“
成等比数列”
的必要不充分条件，
故选：B.
6．（2026·江西南昌·一模）已知圆
，
：点
在圆
外，
：直线
与
圆
有两个公共点，则
是
的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得.
【详解】由点
在圆
：
外，可得
，此时，圆心
到直线
的距离为
，即直线
与圆
相交，故充分性成立；由直线
与圆
有两个公共点，可得圆心
到直线
的距离为
，
则有
，即点
在圆
：
外，故必要性成立.故
是
的充分必要条件.
7．（2026·北京延庆·一模）设等差数列
的公差为
，其前n 项和为
，则“
”是
“
存在最小值”的（ ）．
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】化简得到
，分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
为等差数列，则
，对应的二次函数为
，故当
时，函数有最小值，对应的数列
有最小值，当数列
有
最小值时，则二次函数开口向上，所以
，故是充分必要条件．
8．（2026·辽宁抚顺·一模）已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，若
，
则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若
，
，则
，又n⊥
，所以
；反之，若
，
，则
，
又
，所以
，则“
”是“
”的充要条件.
9．（2025·四川成都·一模）已知
为非零向量，则“存在实数
，使
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可.
【详解】若存在实数
，使
，则
共线；若
，则
同向；
所以“存在实数
，使
”是“
”的必要不充分条件.
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10．（2026·湖北黄石·一模）已知平面
，两条不重合的直线
，则“存在直线
，使
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】如果
，此时也能找到
且
，但并不平行于
，而是在
内，所以充分性
不成立；根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面
，那么过作一个平面与
相交，交
线
就满足
，且
，所以必要性成立.即“存在直线
，使
”是“
”的必
要不充分条件.
11．（2026·河北邯郸·一模）“曲线
在
处的切线的倾斜角为
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
，得
．由曲线
在
处的切线的倾斜角为
，
可得
，解得
或
．故“曲线
在
处的切线的倾斜角为
”是“
”的必要不充分条件．
12．（2026·贵州贵阳·一模）设a，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过指数幂比大小和充分条件、必要条件求解.
【详解】若
，则有
，当
时，则
；当
时，则
，故
，因
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此由
可推出
，若
，不一定推出
，如
，
，所以
是
的充分不必要条件.
13．（2026·浙江·一模）对实数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可.
【详解】对实数
，当
时，
，则
，当
时，
，则
，
则“
”是“
”的充要条件.故选：C.
14．（2026·广东佛山·一模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，设甲：
为等腰三角形，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
，所以
为等腰三角形，所以
为等
腰三角形是
的必要条件；由
为等腰三角形，可得
或
或
，
所以
为等腰三角形是
的不充分条件；所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
15．（2026·安徽合肥·一模）已知空间中三条直线
与平面
分别交于不同的三点
，则
“
三点共线”是“直线
共面”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分
也不必要条件
【答案】B
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【分析】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必
要性成立.
【详解】如图所示，空间中三条直线
与平面
分别交于不同的三点
，且
三点共
线，但直线
不共面，所以“
三点共线”是“直线
共面”的不充分条件；
若直线
共面，设其为
，则
均在平面
内，也在平面
内，则
在平面
与
的
交线上，所以
三点共线，所以“
三点共线”是“直线
共面”的必要条件；所以
“
三点共线”是“直线
共面”的必要不充分条件.
故选：B.
16．（2026·内蒙古包头·一模）若
，
为非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A．必要不充分条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．充要条件
【答案】A
【分析】由向量共线用
表示出
，应用向量数量积的运算律得
，结合充分、
必要性的定义判断推出关系，即可得.
【详解】由
，
为非零向量且
知，存在实数
，使
，则
，
，当
时，
，故充分性不成立，由
，
则
，故
，所以
，
即
，故
，所以
同向共线，必要性成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
17．（2026·北京平谷·一模）若
，则“
”是“
”的（ ）
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】对
移项通分：
，
若
，则
，因此
，即
一定成立，充分性成立；
若
，不一定能推出
，举例：取
，满足
，但不满足
，因此必要性不成立；
综上，“
”是“
”的充分不必要条件.
18．（2026·江苏·一模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质化简不等式，即可根据真子集的关系判断.
【详解】由
可得
，解得
或
，
由于
是
或
的真子集，故“
”是“
”的充分不必要条件.
19．（2026·山东菏泽·一模）已知
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】取
，
，则
，但
，
，此时
，
，
，
所以
不是
的充分条件，取
，
，则
，
，
故
，但
，所以
不是
的必要条件，
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所以
是
的既不充分也不必要条件
20．（2026·山西运城·一模）已知直线
，圆
，则“
”是“直线与圆
相交”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
，得
，
因为方程表示圆，所以
，解得
.
所以圆
的圆心为
，半径为
，
所以圆心
到直线
的距离为
，
若直线与圆
相交可得
，则可得
，解得
.
所以“
”是“直线与圆
相交”的充分不必要条件.
21．（2026·甘肃·一模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若
，则
，则充分性成立；
若
，则满足
，但不满足
，故必要性不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件.
22．（2026·山东滨州·一模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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【答案】B
【详解】若
，则
，又
，所以
或
，则
，
所以当
时，“
”推不出“
”；
若
，
，则
，可得
，则
，
所以当
时，“
”可以推出
.
综上，“
”是“
”的必要不充分条件.
23．（2026·河北张家口·一模）已知l 是一条直线，
，
为两个不同平面，若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因l 是一条直线，
，
为两个不同平面，
，
当
时，可过直线作平面
与平面
交于直线
，根据线面平行的性质定理可得
，
又
，所以
，又
，所以
，故充分性成立；
当
时，当
且
时符合，但推不出
，故必要性不成立.
所以“
”是“
”的充分不必要条件．
24．（2026·山东聊城·一模）“
”是“圆
上恰有一点到坐标原点的距
离为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分
也不必要条件
【答案】A
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【分析】依题意，圆
与圆
相切，求出
的值即可判断结论.
【详解】圆
，圆心为
，半径
，
到坐标原点的距离为2 的点的轨迹是圆
，圆心
，半径
，
圆
上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆
与圆
相切，
有
，或
，
当
时，化简得
，解得
或
；
当
时，化简得
，方程无解，
则圆
上恰有一点到坐标原点的距离为2，有
或
，
所以“
”是“圆
上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条
件.
25．（2026·北京密云·一模）已知函数
，则“
”是“
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当
时，
，令
，当
时，可得
，
由正弦函数的性质，可得
在
为单调递增函数，所以当
时，函数
在区间
上单调递增，即充分性成立；反之：当
时，可得
，又由正
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弦函数
的单调递增区间为
，要使得函数
在区间
上
单调递增，则满足
，即
，且
，解得
，所以必要性
不成立，综上可得：“
”是“
在
上单调递增”的充分不必要条件.
26．（2026·天津河东·一模）已知函数
（
），将函数
的图象向右
平移
个单位长度后得到函数
的图象，下列选项中，p 是q 的充分不必要条件的为（ ）
A．p：函数
的最小正周期为
，q：
B．p：
，
，q：函数
C．p：
，
，q：函数
的值域为
D．p：
，
，q：
是函数
的一个对称中心
【答案】D
【分析】由题设结合充分与必要条件定义可得答案.
【详解】A，当
的最小正周期为
，又
，则
，
从而
；又
时，可得
的最小正周期为
，则
.
从而
是
的充要条件，故A 错误；
B，当
，
时，
，
则由
不能得到
，从而
不是
的充分条件，故B 错误；
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C，当
，
时，
，
，
因
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
，
从而此时
值域为
，则由
不能得到
，从而
不是
的充分条件，故C 错误；
D，当
，
时，由B 分析可得
，
令
，得
，从而
的对称中心为
，
取
，得
，则
；
由题
，
若其对称中心为
，则
，取
，易得
不是方程
的唯一解（例如
也是该方程的一组解），
则
不能得到
，从而
是
的充分不必要条件，故D 正确.
27．（2026·湖南常德·一模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】借助对数函数与指数函数的图象与性质以及不等式性质，然后根据充分条件、必要条件判
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断即可.
【详解】令
，因为
，所以
，且
，
充分性：当
时，画出函数
的图象，如图所示：
由图可知：
，此时
，所以
，故充分性成立；
必要性：若
，由
可得：
，此时
不满足题意，
若
，由函数
在
上单调递增，则
，由
，则
，又函
数
在
上单调递增，所以
，即
，
当
时， 由
，如图所示：
由图可知
，此时
，则
，不满足题意，
当
时，由图可知
，此时
，满足题意，所以必要性成立，
所以当
时， “
”是“
”的充要条件，
故选：A.
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