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专题01 集合与常用逻辑用语（十大题型七大易错题）
【题型1】 集合的含义和表示
1．（2025 届江西省华大联盟高三联考（三模）三模数学试题）已知集合
A ={0,a,a
2},B = {a−1,3a−2},a∈R，则A ∪B中的元素个数至少为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】先根据A求出a≠0且a≠1，再根据a
2−a+1=(a−1
2)
2
+ 3
4 >0可得a−1与
0,a,a
2均互异，结合特例可得正确的选项.
【详解】由A中元素的互异性可得a≠0,a≠a
2，故a≠0且a≠1，
而a
2−a+1=(a−1
2)
2
+ 3
4 >0，故当a≠0且a≠1时，a−1与0,a,a
2均互异，
故A ∪B中至少有4元素，取a=2，此时A = {0,2,4},B = {1,4}，
此时A ∪B有4 个元素，故A ∪B中的元素个数至少为4 个，
故选：C.
2．（2020·新疆喀什·二模）已知集合A ={1,2}，B ={2,4 }，则C ={xy ∣x∈A , y ∈B}
的元素个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出集合C即可.
【详解】集合A ={1,2},B ={2,4}，则C ={xy ∣x∈A , y ∈B}={2,4,8}，
所以集合C 的元素个数为3 个.
故选：C
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知
{a,b}⊆{−1,0,1,2,3,4 },(a,b)∈{( x , y)| x
2+ y
2≤4 }，则(a,b)可能的取值的个数
1
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为（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】D
【分析】根据题意，分a=−1，a=0和a=1，三种情况讨论，结合x
2+ y
2≤4，得到
(a,b)得情况，即可得到答案.
【详解】当a=−1时，由(a,b)∈{( x , y)| x
2+ y
2≤4}，可得b∈{0,1}，所以(a,b)
为(−1,0)或(−1,1)；当a=0时，由(a,b)∈{( x , y)| x
2+ y
2≤4 }，可得
b∈{−1,1,2}，
所以(a,b)为(0,−1)或(0,1)或(0,2)；
当a=1时，由(a,b)∈{( x , y)| x
2+ y
2≤4 }知，b∈{−1,0}，
所以(a,b)为(1,−1)或(1,0)；
当a=2，则b=0，所以(a,b)为(2,0)综上，共有8 种取值．
故选：D．
4．（2025·河南·模拟预测）已知集合A = {0,1}，B = {0,a+1,a−1}，若A ⊆B，则a=
（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．−2或2
【答案】C
【分析】分a+1=1和a−1=1两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当a+1=1时，解得a=0，此时B = {0,1,−1}，满足题意，
②当a−1=1时，解得a=2，此时B = {0,3,1}，满足题意，
故选：C.
5．多选题（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M 具有如下性质：①若x , y ∈M，则
x
y ∈M；②若x , y ∈M，则x + y ∈M.下列说法中正确的有（ ）.
A．−1∈M.
B．2025∈M.
C．若x , y ∈M，则xy ∈M.
D．若x , y ∈M，则x−y ∈M.
【答案】BC
【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B.
2
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【详解】对于A，若−1∈M，令x = y =−1，则x
y =1∈M , x + y =−2∈M，令
x =−1, y =1，则x
y =−1∈M , x + y =0∈M，令x =1, y =0，不存在x
y ，即y ≠0，
矛盾，所以−1∉M，故A错误，
对于B，由于集合M非空，取任意元素x∈M，根据性质①，得x
x =1∈M，再根据
性质②，得1+1=2∈M，进而1+2=3∈M ,⋯,2024∈M ,2025∈M，故B正确，
对于C，因为1∈M , x∈M，所以1
x ∈M，因为y ∈M , 1
x ∈M，所以
y
1
x
= xy ∈M
，故C正确，
对于D，若x =1, y =2，则x−y =−1∉M，故D错误，
故选：BC.
6．多选题（25-26 高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，y ∈M，都有
x + y ∈M，且x−y ∈M，则称集合M 为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合M =¿为闭集合
D．若集合M 1，M 2为闭集合，则M 1∪M 2也为闭集合
【答案】ABD
【详解】取x =1，y =2，则x−y =−1∉N，故A 错误；取x =√2，y =√2，则
x−y =0，0 不是无理数，故B 错误；设x =3k1(k1∈Z)，y =3k2(k2∈Z)，则
x + y =3(k1+k2)∈M，x−y =3(k1−k2)∈M，故C 正确；取M 1=¿，M 2=¿，由C
选项可知M 1是闭集合，同理可证M 2也是闭集合，则M 1∪M 2为被2 整除或被3 整除
的全体整数集，取x =2，y =3，则x + y =5，5 不能被2 或3 整除，即5∉(M 1∪M 2)，
故D 错误.
3
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【题型2】 集合的基本关系
1．（2025·江苏南京·一模）设集合A ={x ∣x
2−4≤0},B = {x ∣x +a≤0}.若A ⊆B，则实数
a的取值范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,2]
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−2]
【答案】D
【分析】直接解不等式确定集合A ,B，再根据集合的基本关系确定参数范围即可.
【详解】由x
2−4≤0可得A =[−2,2]，由x +a≤0可得B =(−∞,−a]，
又A ⊆B，所以2≤−a，即a≤−2，故D 正确.
故选：D
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知A ={x|−2≤x ≤5}，B ={x|m+1≤x ≤2m−1}，
B⊆A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2
B．m<2
C．m≤3
D．2<m≤3
【答案】C
【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可.
【详解】因为B⊆A，所以当m+1>2m−1，即m<2时，B = ∅，满足B⊆A，即
m<2；
当m+1=2m−1，即m=2时，B = {3}，满足B⊆A，即m=2；
当m+1<2m−1，即m>2时，由B⊆A，得m+1≥−2，2m−1≤5，即2<m≤3；
综上，m≤3．
故选：C．
3．（24-25 高三上·山东青岛·期末）设集合A = {0,1}，B = {1,a,a+1}，若A ⊆B，则a=
（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．−1或0
【答案】A
【分析】根据集合的包含关系以及集合中元素的互异性解方程即可求得.
【详解】由A ⊆B可知a=0或a+1=0，
解得a=0或a=−1；
又因为a=0时，集合B中的元素不满足互异性，舍去；
所以a=−1.
4
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故选：A
4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合A = {1,3,5,7}，集合B = {1,2,3,4,5,6,7}，若集合M
满足A⫋M ⊆B，则这样的集合M共有 个.
【答案】7
【分析】结合子集和真子集的概念求解即可.
【详解】由A⫋M ⊆B，则集合M中一定有元素1,3,5,7，
且至少含有2,4,6其中一个元素，
则这样的集合M共有2
3−1=7个.
故答案为：7.
【题型3】 集合的运算
1．（2025·山东威海·三模）已知集合A ={1,2,√m},B ={1,m}，若A ∩B = B，则m=
（ ）
A．0
B．0 或2
C．1 或2
D．0 或1
【答案】B
【分析】由A ∩B = B得集合A，B之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可
求解.
【详解】由A ∩B = B，得B⊆A，
因为B = {1,m}，所以m≠1，
因为集合A ={1,2,√m}，
所以m=2或m=√m，解得m=2或m=0（m=1不合题意舍去），
所以m=0或2.
故选：B.
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合M =¿，N = {−2,−1,0,1,2,3}，则M ∩N =
（ ）
A．{−1,0,1,2}
B．{−2,−1,0,1}
C．{0,1,2,3}
D．{1,2,3}
【答案】C
【分析】先求集合M，利用集合的交集运算即可求解.
【详解】因为M =¿，N = {−2,−1,0,1,2,3}，
所以M ∩N = {0,1,2,3}.
故选：C.
5
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3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合A ={2025, z(1+i)}，B ={2,2024 }，且
A ∩B ={2}，则|z−2 z|=（ ）
A．√7
B．3
C．√10
D．2√3
【答案】C
【分析】根据集合交集的运算方法和复数除法的运算公式,求出复数,根据共轭复数概率
和复数加减计算公式,求出模长即可.
【详解】由题意知z(1+i)=2，所以z =
2(1−i)
(1+i)(1−i) =1−i，故z =1+i，故
|z−2 z|=|−1−3i| =√10.
故选:C.
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知全集U = Z，集合A =¿，B = {0,1,2,3,4}，则
(∁U A)∪B =（ ）
A．¿或x ≥0, x∈Z}
B．¿或x>0, x∈Z}
C．{x|x ≥0, x∈Z}
D．{x|x>0, x∈Z}
【答案】A
【分析】先求出集合A的补集，再利用并集运算求解即可.
【详解】由题可得∁U A =¿或x ≥2, x∈Z}，则(∁U A)∪B =¿或x ≥0, x∈Z}．
故选：A.
5．（2024·山西太原·一模）已知全集U = R，集合A = {0,1,2,3}，B = {−2,−1,0,1}，则图
中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{−2,−1,0,1,2,3}
B．{0,1}
C．{2,3} D．
{−2,−1}
【答案】D
【分析】由阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，即可得到结论.
6
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【详解】阴影部分对应的集合为B∩(∁U A)，
∵全集U = R，集合A = {0,1,2,3}，B = {−2,−1,0,1},
∴B∩(∁U A)= {−2,−1}.
故选：D.
6．（2025·福建南平·三模）若A =¿，则A ∩B =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【答案】B
【分析】先化简集合A ,B，再利用集合的交集运算法则即可.
【详解】A =¿，
由(x−1)
2<4得，−2< x−1<2，即−1< x<3，则B =¿，
故A ∩B =¿.
故选：B
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合A ={x∣log2 x ≤2}，B ={x∣
4
x−5 ≤−1}，则
A ∩B =（ ）
A．(0,1]
B．[1,4]
C．(1,4]
D．[0,5]
【答案】B
【分析】先解对数不等式得出集合A，再计算分式不等式得出集合B，即可求解交集.
【详解】集合A ={x ∣log2 x ≤2}= {x ∣0< x ≤4}，
B ={x∣
4
x−5 ≤−1}={x∣x−1
x−5 ≤0}= {x∣1≤x<5}，
则A ∩B =[1,4].
故选：B.
【题型4】 集合中的求参问题
1．（2025·湖南长沙·一模）已知集合A ={−1,0,2,m
2},B ={x∈Z ∣x
2≤3}，若
7
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A ∩B = {−1,0,1}，则m=（ ）
A．1
B．−1
C．±1
D．0
【答案】C
【分析】先求得集合B，再根据交集定义列式计算即可.
【详解】集合B = {−1,0,1}，因此m
2=1,m=±1.
故选：C.
2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合P ={x||x +1|<2}，Q ={x| x
2−(a+1)x +a<0}．
若P∪Q = P，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−3,1)
B．[−3,1]
C．(1,3]
D．(−∞,1)
【答案】B
【分析】解绝对值不等式求出集合P，由P∪Q = P，得Q⊆P，由此能求出实数a的
取值范围.
【详解】由|x +1|<2，解得−3< x<1，所以集合P = {x|−3< x<1} ，
由x
2−(a+1)x +a<0，可得(x−1)(x−a)<0，所以Q ={x|(x−1)(x−a)<0}，
因为P∪Q = P，所以Q⊆P，
当a>1时，不符合题意，
所以Q = {x|a< x<1}，因为Q⊆P，所以−3≤a≤1，
即实数a的取值范围是[−3,1]．
故选：B．
3．（2024·山西临汾·三模）已知集合A =¿，B =¿，且A ∪∁R B = R，则实数a的取值范围
是（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【答案】A
【分析】根据补集运算求出∁R B，然后利用数轴分析可得.
【详解】因为B =¿，所以∁R B =¿或x>2}，
又A ∪∁R B = R，所以a≤1.
故选：A
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4．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知集合A ={x∈Z|−1< x<3}，B ={x|3 x−a<0}，
且A ∩(∁R B)= {1,2}，则a的取值范围为（ ）
A．(0,4)
B．(0,4]
C．(0,3]
D．(0,3)
【答案】C
【分析】先求得A ={0,1,2},B ={x| x< a
3 }，得到∁R B ={x| x ≥a
3 }，结合题意得到
不等式0< a
3 ≤1，即可求解.
【详解】由集合A ={x∈Z|−1< x<3}={0,1,2}，B ={x|3 x−a<0}={x| x< a
3 }，
可得∁R B ={x| x ≥a
3 }，
因为A ∩(∁R B)= {1,2}，所以0< a
3 ≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0,3].
故选：C.
5．（2024·河北·二模）已知集合A ={x | x
2−4 x −5<0}，B ={x|(x−m)[x−(m+2)]>0}，
若A ∪B = R，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−1,+∞)
B．(−∞,3]
C．(−1,3)
D．[−1,3]
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合A，B，再根据并集的结果得到¿，解得即可.
【详解】由x
2−4 x−5<0，即(x +1)(x−5)<0，解得−1< x<5，
所以A ={x∣x
2−4 x−5<0}=(−1,5)，
由(x−m)[x−(m+2)]>0，显然m+2>m，解得x>m+2或x<m，
所以B ={x ∣(x −m)[x −(m+2)]>0}=(−∞,m)∪(m+2,+ ∞)，
若A ∪B = R，则¿，解得−1<m<3，即实数m的取值范围是(−1,3).
故选：C.
6．（2025·河南·模拟预测）已知集合A =¿，非空集合B =¿，若A ∩B = B，则b的取值范围
是 ．
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【答案】[0, 1
2)
【分析】结合题意确定集合B非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数
范围即可.
【详解】由题意得B≠∅，又因为A ∩B = B⇔B⊆A，
所以0≤b<1−b≤1，解得0≤b< 1
2．
故答案为：[0, 1
2).
7．（2024·江苏常州·三模）集合A =¿，B =¿，若A ∪B = A，则实数m 的取值范围为
．
【答案】(−∞,−2]∪[−1,2]
【分析】结合B 是否为空集进行分类讨论可求m的范围．
【详解】由A ∪B = A ⇒ B⊆A，且A ={x|−2≤x ≤5}，
当B =∅时，B⊆A，则m−1≥2m+1，即m≤−2，
当B≠∅时，若B⊆A，则¿，解得−1≤m≤2，
综上，实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[−1,2]．
故答案为：(−∞,−2]∪[−1,2]．
【题型5】 集合语言的运用
1．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上
或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10 0
0的学生第
二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15 0
0的学生第二天
会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700
B．800
C．900
D．1000
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为x，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为1500−x，
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原本在楼上食堂且留下的学生：占比1−10 0
0 =90 0
0，即0.9 x，
从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的15 0
0，即0.15(1500−x)，
所以x =0.9 x +0.15(1500−x)，解得x =900.
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为900.
故选：C
2．多选题（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12 名同学参加100
米、400 米、1500 米三个项目，其中有8 人参加“100 米比赛”，有7 人参加“400 米
比赛”，有5 人参加“1500 米比赛”，“100 米和400 米”都参加的有4 人，“100 米
和1500 米”都参加的有3 人，“400 米和1500 米”都参加的有3 人，则下列说法正确
的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2 人
B．只参加100 米比赛的有3 人
C．只参加400 米比赛的有3 人
D．只参加1500 米比赛的有1 人
【答案】ABD
【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定
各选项.
【详解】根据题意，设A ={x|x是参加100 米的同学}，
B ={x|x是参加400 米的同学}，
C ={x|x是参加1500 米的同学}，
则card( A)=8,card(B)=7 ,card(C)=5,
且card( A ∩B)= 4 ,card( A ∩C)=3,card(B∩C)=3,
则card( A ∩B∩C)=12−[(8+7+5)−(4+3+3)]=2，
所以三项比赛都参加的有2 人，只参加100 米比赛的有3 人，
只参加400 米比赛的有2 人，只参加1500 米比赛的有1 人.
故选：ABD
【题型6】 充分条件与必要条件的判断
1．（2025·湖北·模拟预测）已知实数x , y ∈(0,π)，则“x> y”是“sin x>sin y”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由充分条件和必要条件的概念及正弦函数的图象性质可得结果.
【详解】取x = 3π
4 ，y =π
2 ，此时x> y，但sin 3π
4 <sinπ
2 ，充分性不成立；
取x =π
2 ，y = 3π
4 ，此时sin x>sin y，但x< y，必要性也不成立．
故“x> y”是“sin x>sin y”的既不充分也不必要条件.
故选：D．
2．（24-25 高三下·广东·阶段练习）已知集合A ={x ∈R| x
2=m}，
B ={x ∈R| x
2+ x ≤m+2}，则“−2∈A”是“A ∩B = A”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】令−2∈A代入集合，通过解一元二次不等式得到充分性成立，令m=0可得
必要性不成立.
【详解】若−2∈A，则m= 4，则A = {2,−2}，B ={x ∈R| x
2+ x ≤6}=[−3,2]，此
时A ∩B = A，
当m=0时，也能得到A ∩B = A，
所以“−2∈A”是“A ∩B = A”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2025·天津红桥·二模）已知命题 p:a>b>0，命题q:2
a>2
b，则命题p是命题q的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论.
【详解】根据题意由指数函数y =2
x的单调性可知p:a>b>0能推出q:2
a>2
b，
即充分性成立；
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由q:2
a>2
b可推出a>b，不能推出p:a>b>0，即必要性不成立；
因此命题p是命题q的充分不必要条件.
故选：A
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知{⃗a,⃗b}是同一平面内所有向量的一个基底，则“⃗
a⋅⃗b<0”是“⃗a,⃗b的夹角是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先根据{⃗a,⃗b}是平面向量的基底，确定⃗a,⃗b的关系，再结合数量积的定义进行
判断.
【详解】因为{⃗a,⃗b}是同一平面内所有向量的一个基底，所以⃗a,⃗b不共线.
所以由⃗a⋅⃗b<0 ⇒ |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos⟨⃗a,⃗b⟩<0，因为⃗a,⃗b不共线，所以cos⟨⃗a,⃗b⟩<0且
cos⟨⃗a,⃗b⟩≠−1，即⟨⃗a,⃗b⟩为钝角.所以“⃗a⋅⃗b<0”是“⃗a,⃗b的夹角是钝角”的充分条
件；
由⃗a,⃗b的夹角是钝角⇒ ⃗a⋅⃗b=|⃗a|⋅|⃗b|⋅cos⟨⃗a,⃗b⟩<0，所以“⃗a⋅⃗b<0”是“⃗a,⃗b的夹
角是钝角”的必要条件.
综上可得：在{⃗a,⃗b}是同一平面内所有向量的一个基底时，“⃗a⋅⃗b<0”是“⃗a,⃗b的夹
角是钝角”的充要条件.
故选：B
5．（2025·湖北·模拟预测）已知⃗m，⃗n，⃗l是同一个平面内的三个向量，则“⃗
m⋅(⃗n⋅⃗l)=(⃗m⋅⃗n)⋅⃗l”是“⃗m∥⃗l”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】取特例可判断充分性，利用共线向量的性质及向量数量积的运算可判断必要
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性.
【详解】当⃗n=⃗0时，⃗m，⃗l可以是任意向量，因此是不充分条件；
当⃗m∥⃗l时，若⃗l =⃗0，显然⃗m⋅(⃗n⋅⃗l)=(⃗m⋅⃗n)⋅⃗l成立；
当⃗l≠⃗0，因为⃗m∥⃗l，所以⃗m=k⃗l，
因此⃗m⋅(⃗n⋅⃗l)=k⃗l⋅(⃗n⋅⃗l)=k (⃗n⋅⃗l)⃗l，(⃗m⋅⃗n)⋅⃗l =(k⃗l⋅⃗n)⃗l =k (⃗l⋅⃗n)⃗l，
因此⃗m⋅(⃗n⋅⃗l)=(⃗m⋅⃗n)⋅⃗l成立.
故“⃗m⋅(⃗n⋅⃗l)=(⃗m⋅⃗n)⋅⃗l”是“⃗m∥⃗l”的必要条件.
故选：C
6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线C :
x
2
m−1 +
y
2
3−m =1，则“1<m<3”是“曲线C表
示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程，曲线C表示椭圆求解m的取值范围，再根据充分条件、
必要条件进行判断即可.
【详解】若曲线C :
x
2
m−1 +
y
2
3−m =1表示椭圆，则¿，解得1<m<2或2<m<3，
则“1<m<3”是“曲线C表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
7．（2025·河南·二模）设甲：1
a > 1
b >0；乙：2
a>2
b，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既
不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性化简甲乙两个命题，即可结合充分和
必要条件的定义求解.
【详解】由1
a > 1
b >0可得0<a<b，由2
a>2
b可得a>b，
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所以由1
a > 1
b >0推不出2
a>2
b，即充分性不成立；
由2
a>2
b也推不出1
a > 1
b >0，即必要性不成立.
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选:D.
8．（2025·四川·三模）已知向量⃗a=(cosα ,1),⃗b=(sinα ,√3)，则“α =π
3 ”是“向量⃗
a,⃗b共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既
不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件判断即可.
【详解】当α =π
3 时，向量⃗a=(
1
2 ,1),⃗b=(
√3
2 ,√3)，因为⃗b=√3⃗a，所以向量⃗a,⃗b共
线成立；
由向量⃗a=(cosα ,1)，⃗b=(sinα ,√3)共线，有sinα =√3cosα，此时
α =k π+π
3 ,k ∈Z，
所以“α =π
3 ”是“向量⃗a,⃗b共线”的充分不必要条件．
故选：A
9．（2025·福建三明·三模）已知a，b∈R，则“|a|+|b|≤1”是“a
2+b
2≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】依次分析充分性和必要性即可得解.
【详解】若|a|+|b|≤1，则a
2+b
2≤a
2+b
2+2|a||b|=(|a|+|b|)
2≤1，充分性成立；
设a=b= √2
2 ，则有a
2+b
2=(
√2
2 )
2
+(
√2
2 )
2
=1满足a
2+b
2≤1，
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此时有|a|+|b|=√2>1，不满足|a|+|b|≤1，故必要性不成立，
综上所述，“|a|+|b|≤1”是“a
2+b
2≤1”的充分不必要条件.
故选：A.
【题型7】充分条件与必要条件的应用
1．（2025·福建泉州·模拟预测）设A =¿，B =¿，若x∈A是x∈B的充分条件，则
（ ）
A．0<a<2
B．1<a<2
C．a=2
D．a≥2
【答案】D
【分析】根据充分条件在集合中的表示方法，判断集合A ,B的包含关系即可.
【详解】由题意，得A =[0,2]，因为x∈A是x∈B的充分条件，
所以A ⊆B即∀x∈[0,2], x
2−ax ≤0，
已知二次函数y = x
2−ax = x( x −a)，开口向上，与x轴交于(0,0),(a,0)，
仅当a≥2满足∀x∈[0,2], x
2−ax ≤0．
故选：D．
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知p:“x
2−(2m+3) x +m
2+3m>0”是q：“
x
2−x−6≤0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A．¿
B．(−∞,−5)∪(3,+ ∞)
C．(−5,3)
D．[−5,3]
【答案】B
【分析】解二次不等式分别求出p和q的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求
解即可.
【详解】因为p:( x−m)
2>3(x−m)，即(x−m)(x−m−3)>0，
则x<m或x>m+3,q: x
2−x−6≤0，即−2≤x ≤3，
又p是q的必要不充分条件，则m>3或m+3<−2，即m>3或m<−5.
则m的取值范围为(−∞,−5)∪(3,+∞).
故选：B
3．（23-24 高三下·河南周口·开学考试）若“x>a”是“x>1”的必要不充分条件，则实
数a的取值范围为（ ）
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A．(−∞,1)
B．(−∞,1]
C．(1,+∞)
D．[1,+∞)
【答案】A
【分析】由题意可得¿⫋¿，再根据集合的包含关系求参即可.
【详解】因为“x>a”是“x>1”的必要不充分条件，
所有¿⫋¿，所以a<1，
即实数a的取值范围为(−∞,1)．
故选：A．
4．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知f (x)=(
1
2)
x
−3，则f (x)<5的一个必要不充分条件是
（ ）
A．x>−4
B．x>−3
C．x<−2
D．x<−3
【答案】A
【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式f (x)<5的解集，结合选项，以
及必要不充分条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式f (x)<5，可得(
1
2)
x
−3<5，即(
1
2)
x
<8，解得x>−3，
结合选项，可得f (x)<5的一个必要不充分条件为x>−4.
故选：A.
5．（2024·山东·二模）已知p:1<2
x<4，q: x
2−ax−1<0，若p是q的充分不必要条件，
则（ ）
A．a≥3
2
B．0<a≤3
2
C．a>2
D．0<a≤2
【答案】A
【分析】首先化简命题p，依题意可得当0< x<2时x
2−ax−1<0恒成立，参变分离可
得a> x−1
x 在0< x<2上恒成立，结合函数的单调性计算可得.
【详解】命题p:1<2
x<4，即p:0< x<2，
因为p是q的充分不必要条件，
显然当x =0时满足q: x
2−ax−1<0，
所以当0< x<2时x
2−ax−1<0恒成立，
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则a> x−1
x 在0< x<2上恒成立，
又函数f (x)= x−1
x 在(0,2)上单调递增，且f (2)= 3
2，
所以a≥3
2.
故选：A
6．多选题（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合A =¿，集合B =¿，能使
A ∩B = A成立的充分不必要条件有（ ）
A．m>0
B．m>1
C．m>3
D．m>4
【答案】CD
【分析】由A ∩B = A成立的充要条件求出对应的参数m的范围，结合充分不必要条件
的定义即可得解.
【详解】A ∩B = A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，
对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4.
故选：CD.
7．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意x∈[1,3]，a≤2
x+2
−x”为假命题，则实数a的取
值范围是 .
【答案】a> 5
2
【分析】根据题意，问题转化为存在x∈[1,3]，a>2
x+2
−x为真命题，即
a>(2
x+2
−x)min，求出y =2
x+2
−x的最小值得解.
【详解】若命题任意“x∈[1,3]，a≤2
x+2
−x”为假命题，
则命题存在x∈[1,3]，a>2
x+2
−x为真命题，
因为1≤x ≤3时，2≤2
x≤8，
令t =2
x，则2≤t ≤8，
则y =t + 1
t 在[2,8]上单调递增，
所以5
2 ≤y ≤65
8 ，
所以a> 5
2.
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故答案为：a> 5
2.
【题型8】 全称量词与存在量词命题的真假判断
1．（2025·河北唐山·一模）已知命题p:∀x∈R , x
2>0；命题q:∃x>0,ln x<0．则
（ ）
A．p和q都是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q是假命题
D．p和q都是假命题
【答案】B
【分析】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说
明.
【详解】对于命题p:∀x∈R , x
2>0，因为当x =0时，x
2=0，故命题p是假命题；
对于命题q:∃x>0,ln x<0，当x = 1
e 时，ln 1
e =−1<0，故命题q是真命题.
故选：B.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知命题p:∃x∈R，x
2−x +1≤0，命题q: ∀x ≥0，
e
x≥cos x，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【答案】B
【分析】首先判断命题p为假命题，令f (x)=e
x−cos x，x∈[0,+ ∞)，利用导数说明
函数的单调性，即可判断命题q为真命题，即可得解.
【详解】因为x
2−x +1=(x−1
2)
2
+ 3
4 ≥3
4 >0，所以∀x∈R，x
2−x +1≥0恒成立，
所以命题p为假命题，则¬ p为真命题；
令f (x)=e
x−cos x，x∈[0,+ ∞)，则f
′ (x)=e
x+sin x，
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当x∈[0,π]时e
x∈[1,e
π]，sin x∈[0,1]，所以f
′ (x)>0，
当x∈(π,+ ∞)时e
x>e
π>2，sin x∈[−1,1]，所以f
′ (x)>0，
所以f
′ (x)>0对任意的x∈[0,+ ∞)恒成立，所以f (x)在[0,+∞)上单调递增，
所以f (x)≥f (0)=0，即e
x≥cos x对任意的x∈[0,+∞)恒成立，故命题q为真命题，
则¬q为假命题；
所以¬ p和q都是真命题.
故选：B
3．（2023·宁夏银川·一模）已知命题p：∀x<1，log3 x>0；命题q：∃x0∈R，x0
2≥2
x0，
则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∨q
B．(¬ p)∧(¬q)
C．p∨(¬q)
D．p∧q
【答案】A
【分析】先确定命题p,q的真假，再根据真值表逐一判断选项即可.
【详解】当x<1时，log3 x<log31=0
故命题p：∀x<1，log3 x>0是假命题；
当x =2时，2
2=2
2，
故命题q：∃x0∈R，x0
2≥2
x0是真命题；
所以p∨q为真命题，(¬ p)∧(¬q)，p∨(¬q)，p∧q均为假命题
故选：A
4．（24-25 高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知命题p:∀x∈R，
x
| x|+1 <1，命题
q:∃x>0，x
3< x
2，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．¬ p和q 都是真命题
C．p 和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【答案】A
【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解.
【详解】对于命题p，当x ≤0时，
x
|x|+1 ≤0<1，
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当x>0时，
x
|x|+1 =
x
x +1 <1，所以命题p是真命题；
对于命题q，当x = 1
2时，x
3= 1
8 < x
2= 1
4 ，所以命题q是真命题；
故选：A.
5．多选题（22-23 高一上·云南昆明·期末）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数
的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也
使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数D (x)=¿，有以下四个命题，其中
真命题是 （ ）
A．函数D( x)是奇函数
B．∃x，y ∈R，D( xy )= D( x)+ D( y)
C．函数D( D( x))是偶函数
D．∀x∈R，∀a∈Q，
D(a+ x)= D(a−x)
【答案】BCD
【分析】取x为有理数计算判断A；取x =√2, y =√3计算判断B；求出D( D( x))，再
利用奇偶性定义判断C；按x是有理数、无理数计算判断D.
【详解】对于A，若x是有理数，则−x也是有理数，则D (x)+ D (−x)=1+1=2≠0，
因此D (x)不是奇函数，A 错误；
对于B，当x =√2, y =√3时，D( xy )= D(√2×√3)= D(√6)=0, D( x)= D(√2)=0，
D ( y)= D(√3)=0，此时D (xy)= D (x)+ D ( y)，B 正确；
对于C，若x是有理数，则D (x)=1, D(D (x))= D (1)=1；若x是无理数，
D (x)=0, D(D (x))= D (0)=1，
于是∀x∈R , D(D (x))=1，又−x∈R，则D(D (−x))=1，因此
D(D (−x))= D(D (x))，
所以函数D(D (x))是偶函数，C正确；
对于D，若x是有理数，a∈Q，则a+ x ,a−x均是有理数，则D (a+ x)= D (a−x)=1；
若x是无理数，a∈Q，则a+ x ,a−x均是无理数，则D (a+ x)= D (a−x)=0，
因此∀x∈R ,a∈Q, D (a+ x)= D (a−x)，D 正确.
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故选：BCD
【题型9】含有一个量词的命题否定
1．（2025·贵州黔东南·三模）命题“∀x∈R , x +| x|≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R , x +| x|≥0
B．∃x∉R , x +| x|<0
C．∀x∈R , x +| x|<0
D．∃x∈R , x +| x|<0
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.
【详解】由全称量词命题的否定可知，
命题∀x∈R , x +| x|≥0的否定是∃x∈R , x +| x|<0，
故选：D
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知命题p:∃x>0，x
3> x，则命题p的否定为（ ）
A．∃x>0，x
3≤x
B．∃x ≤0，x
3> x
C．∀x>0，x
3≤x
D．∀x>0，x
3> x
【答案】C
【分析】由特称命题的否定是全称命题即可求得.
【详解】命题p:∃x>0，x
3> x是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p的
否定为∀x>0，x
3≤x．
故选：C．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）若p:∀x>0,ln x + x
2+2>0，则（ ）
A．p是真命题，且¬ p:∃x>0,ln x + x
2+2≤0
B．p是真命题，且¬ p:∃x ≤0,ln x + x
2+2≤0
C．p是假命题，且¬ p:∃x>0,ln x + x
2+2≤0
D．p是假命题，且¬ p:∃x ≤0,ln x + x
2+2≤0
【答案】C
【分析】先利用特殊值判断命题p的真假，再结合全称量词命题的否定是存在量词命
题可得答案.
【详解】因为当x = 1
e
3 时，ln x + x
2+2=−3+ 1
e
6 +2= 1
e
6 −1<0，所以p是假命题，
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以¬ p:∃x>0,ln x + x
2+2≤0.
故选：C.
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4．（2025·四川·模拟预测）命题“∀x∈R ,2
x+1>0”的否定是（ ）
A．∀x∉R ,2
x+1>0
B．∀x∈R ,2
x+1≤0
C．∃x∈R ,2
x+1>0
D．∃x∈R ,2
x+1≤0
【答案】D
【分析】由全称命题的否定，将任意改为存在，并否定原结论，即可得.
【详解】由全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定为∃x∈R ,2
x+1≤0.
故选：D
5．（2025·河北廊坊·模拟预测）命题“∃x∈R ,2sin x +3cos x ≥4”的否定是（ ）
A．∀x∈R ,2sin x +3cos x ≥4
B．∀x∈R ,2sin x +3cos x<4
C．∃x∈R ,2sin x +3cos x<4
D．以上说法均错误
【答案】B
【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】∃x∈R ,2sin x +3cos x ≥4的否定为：∀x∈R ,2sin x +3cos x<4，
故选：B
6．（2025·江西景德镇·二模）命题：∀x∈[0,1]，x
2+ x−2≤0的否定是（ ）
A．∀x∈(−∞,0)∪(1,+∞)，x
2+ x−2>0
B．∃x∈[0,1]，x
2+ x−2>0
C．∃x∈(−∞,0)∪(1,+ ∞)，x
2+ x−2>0
D．∀x∈[0,1]，x
2+ x−2>0
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．
【详解】命题“∀x∈[0,1], x
2+ x−2≤0”的否定为“∃x∈[0,1], x
2+ x−2>0”.
故选：B．
【题型10】含量词命题的应用
7．（2024·四川攀枝花·一模）命题“∃x∈R , x
2+(a+1)x +1<0”为假命题，则实数a
的取值范围为（ ）
A．(−∞,−3]∪[1,+ ∞)
B．(−∞,−3)∪(1,+ ∞)
C．[−3,1]
D．(−3,1)
【答案】C
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，
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求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“∃x∈R , x
2+(a+1)x +1<0”的否定，
即命题“∀x∈R , x
2+(a+1)x +1≥0”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有Δ=(a+1)
2−4 =a
2+2a−3≤0，
解得−3≤a≤1.
故选：C.
8．（2025·河南南阳·模拟预测）已知a∈R，若“∃x∈R，a=2
x+1”为假命题，则a的
取值范围是（ ）
A．(−∞,1)
B．(1,+ ∞)
C．(−∞,1]
D．[1,+∞)
【答案】C
【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解.
【详解】命题“∃x∈R，a=2
x+1”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
其否定为：∀x∈R，a≠2
x+1，而函数y =2
x+1的值域为(1,+∞)，
由“∃x∈R，a=2
x+1”为假命题，得“∀x∈R，a≠2
x+1”为真命题，则a≤1，
所以a的取值范围是(−∞,1].
故选：C
9．（2025·辽宁·一模）若命题“∃x∈R ,sin x<a”是假命题，则实数a的取值范围为
（ ）
A．(−∞,1]
B．(−∞,1)
C．(−∞,−1]
D．(−∞,−1)
【答案】C
【分析】写出全称命题为真命题，即可求得结果.
【详解】因为“∃x∈R ,sin x<a”是假命题，所以“∀x∈R ,sin x ≥a”是真命
题；
即a 要小于等于sin x的最小值，又当x∈R时，sin x∈[−1,1]，故a≤−1.
故选：C
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1．已知集合A ={1,2,√m},B ={1,m}，若A ∩B = B，则m=（ ）
A．0
B．0 或2
C．1 或2
D．0 或1
【答案】B
【分析】由A ∩B = B得集合A，B之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可
求解.
【详解】由A ∩B = B，得B⊆A，
因为B = {1,m}，所以m≠1，
因为集合A ={1,2,√m}，
所以m=2或m=√m，解得m=2或m=0（m=1不合题意舍去），
所以m=0或2.
故选：B.
2．已知x
2∈{1,0, x }，则实数x的值为（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．±1
【答案】C
【分析】讨论x
2对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可.
【详解】若x
2=1⇒x =±1，显然x =1时不符合集合元素的互异性；
若x
2=0⇒x =0，不符合集合元素的互异性；
若x
2= x⇒x =0或x =1，不符合集合元素的互异性；
综上，x =−1.
故选：C
3．已知集合A = {0,1}，B = {0,a+1,a−1}，若A ⊆B，则a=（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．−2或2
【答案】C
【分析】分a+1=1和a−1=1两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当a+1=1时，解得a=0，此时B = {0,1,−1}，满足题意，
②当a−1=1时，解得a=2，此时B = {0,3,1}，满足题意，
故选：C.
4．已知集合A ={0, a+b, a
b }, B = {0, 1−b, 1}(a, b∈R)，若A = B，则a+2b=
（ ）
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A．−2
B．2
C．−1
D．1
【答案】D
【分析】利用集合相等列出方程组，结合集合的互异性求解.
【详解】集合A ={0, a+b, a
b }, B = {0, 1−b, 1}(a, b∈R)，由A = B，
得¿，解得a=0,b=1，此时集合A中a
b =0与a
b ≠0矛盾；
或¿，解得a=b= 1
3，此时A = B ={0, 2
3 ,1}，符合题意，
所以a+2b=1.
故选：D
5．若集合A ={x∈N ∣1≤x ≤5}，则集合A 的真子集有（ ）个.
A．7
B．15
C．31
D．63
【答案】C
【分析】根据题意求集合A 的元素个数，进而求真子集个数.
【详解】由题意可知：集合A ={x∈N ∣1≤x ≤5}= {1,2,3,4,5}，共5 个元素，
所以集合A 的真子集有2
5−1=31个.
故选：C.
6．设集合A ={x||x +2|≤2}，B ={x| x
2+2 x ≤3}，C ={x| x∈A且x∉B}，则集合
C =（ ）
A．∅
B．[−4 ,−3)
C．(−4 ,−3]
D．[0,1)
【答案】B
【分析】解出绝对值不等式与一元二次不等式后，再结合集合的性质即可得.
【详解】由|x +2|≤2可得−2≤x +2≤2，即−4≤x ≤0，故A ={x|−4≤x ≤0}，
由x
2+2 x ≤3可得(x +3)(x−1)≤0，即−3≤x ≤1，故B ={x|−3≤x ≤1}，
由C ={x| x∈A且 x∉B}，故C =[−4 ,−3).
故选：B.
7．已知集合A ={0,a
2},B = {1,a+1,a−1}，则“a=1”是“A ⊆B”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
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【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当a=1时，A ={0,1},B ={0,1,2}，则A ⊆B；
反之，当A ⊆B时，a+1=0或a−1=0，解得a=−1或a=1，
若a=−1，A ={0,1},B ={0,1,−2}，满足A ⊆B，若a=1，显然满足A ⊆B，
因此a=−1或a=1，
所以“a=1”是“A ⊆B”的充分不必要条件.
故选：B
8．已知集合A ={−1,0,1}，B ={y | y =2
x , x ∈A}，则（ ）
A．A ∩B = {1}
B．A ∪B = {−1,0,1} C．B⊆A
D．A ⊆B
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系可得B，即可得解.
【详解】依题意A ={−1,0,1}，B ={y | y =2
x , x∈A}={
1
2 ,1,2}，因此A ∩B = {1}.
故选：A.
9．a，b∈R，请从以下选项中选出“a>b”的充分条件（ ）
A．3a>4 b
B．a
2>b
2
C．a>|b|
D．2
a>3
b
【答案】C
【分析】根据充分条件的定义，结合特殊值，即可判断选项.
【详解】A.若a=−4 ,b=−3.5，满足3a>4 b，不满足a>b，故A 不是充分条件；
B.当a=−2,b=1满足a
2>b
2，不满足a>b，所以B 不是充分条件；
C.若a>|b|，又因为|b|≥b，所以a>b，所以C 是充分条件；
D.a=−3，b=−2，满足2
a>3
b，不满足a>b，故D 不是充分条件.
故选：C
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