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专题03 数学文化背景下的高考数学之函数与导数
背景1：华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等
式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺
数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．
背景2：美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称
为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为
(
，
，
)的
形式.
背景3：质数也叫素数，17 世纪法国数学家马林-梅森曾对“
”（p 是素数）型素数进行过较系统而
深入的研究，因此数学界将“
”（p 是素数）形式的素数称为梅森素数．
背景4：高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的
“高斯函数”：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，也称取整函数，例
如：
，
.
背景5：有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，
在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的
光滑曲线
上的曲线段AB，设其弧长为
，曲线
在A，B 两点处的切线分别为
，记
的夹角为
，定义
为曲线段
的平均曲率，定义
为曲线
在其上一点
处的曲率．（其中
为
的导函数，
为
的导函数）
背景6：根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数
在约束条件
的可能极值点，首先
构造出一个拉格朗日辅助函数
，其中
为拉格朗日系数．分别对
中
的
部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
1
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，解此方程组，得出解
，就是二元函数
在约束条件
的可能极值点．
的值代入到
中即为极值．
函数与导数知识归纳总结：
1.函数的定义域的求法
(1)求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式
或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
(2)求抽象函数定义域的方法
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b 求出.
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
2.函数解析式的四种求法
(1)函数解析式的四种求法
①配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x)，便得
f(x)的表达式.
②待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
③换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
④方程思想：已知关于f(x)与
或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方
程组，通过解方程组求出f(x).
3.求函数值域的一般方法
(1)求函数值域的一般方法
①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法；⑦数形结合法；
⑧导数法.
4.函数的单调性与最值的求法
(1)求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
(2)函数单调性的判断
①函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
②函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”
的原则.
(3)求函数最值的三种基本方法：
2
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①单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
②图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
③基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
5.函数的奇偶性及其应用
(1)函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(2)函数奇偶性的应用
①利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函
数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
②画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：
①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
偶函数：
①函数
． ②函数
．
③函数
类型的一切函数． ④常数函数.
6.函数的周期性与对称性常用结论
(1)函数的周期性常用结论(a 是不为0 的常数)
①若f(x+a)=f(x)，则T=a； ②若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
③若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； ④若f(x+a)=
，则T=2a；
⑤若f(x+a)=
，则T=2a；⑥若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
(2)对称性的三个常用结论
①若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线
对称.
3
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②若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点
对称.
③若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点
对称.
7.幂函数及其解题策略
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是
( ∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+
)上，幂
函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个
幂函数的图象和性质是解题的关键.
8.指数、对数运算的解题策略
指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同
底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，
然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的
积、商、幂再运算.
(3)指对互化：
(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应
注意互化.
9.指数函数与对数函数的常见问题及解题思路
指数函数的常见问题及解题思路
(1)比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
②不能化成同底数的，一般引入“0 或1”等中间量比较大小.
(2)指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
对数函数的常见问题及解题思路
①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项.
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②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
10.函数的图象问题
作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描
出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
11.函数的零点问题
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有
f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如
f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结
合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不
同的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函
数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
12.导数的运算的方法技巧
导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
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13.切线问题的解题策略
求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
14.导数中函数单调性问题及其解题策略
确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
15.函数的极值问题及其解题策略
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0 的根x0左右两侧值的符号；
16.函数的最值问题及其解题策略
利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
1 借助数学文化考查函数的图像与解析式
华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华
氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入
微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学
习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函
数
的图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
变式1.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分
家万事休．在数学的学习和研究中我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨
函数的图象的特征．函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2 借助数学文化考查指数、对数的运算
(多选)17 世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格
斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17 世纪的三大数学发明．
我们知道，任何一个正实数N 可以表示成
的形式，两边取常用对数，则有
，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（ ）
真数x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（近似值）
0.301
0.47
7
0.602
0.699
0.778
0.84
5
0.903
0.954
1.000
真数x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7
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（近似值）
1.041
1.07
9
1.114
1.146
1.176
1.20
4
1.230
1.255
1.279
A．
在区间
内
B．
是15 位数
C．若
，则
D．若
是一个35 位正整数，则
变式1.质数也叫素数，17 世纪法国数学家马林-梅森曾对“
”（p 是素数）型素数进行过较系统而
深入的研究，因此数学界将“
”（p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12 个梅森素数为
，第14 个梅森素数为
，则下列各数中与
最接近的数为（ ）
参考数据：
A．
B．
C．
D．
变式2.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称
为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为
(
，
，
)的
形式.已知
(
)描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)变化的规律，若刚栽种
时该果树的高为
，经过一年，该果树的高为
，则该果树的高度超过
，至少需要（ ）
附：
A．3 年
B．4 年
C．5 年
D．6 年
变式3.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，
利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：
，其中
为反应速率常数，
为摩尔气体常
量，
为热力学温度，
为反应活化能，
为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度
8
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分别为
和
时，反应速率常数分别为
和
（此过程中
与
的值保持不变），经计算
，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4.一热水放在常温环境下经过t 分钟后的温度T 将合公式：
，其中
是环境温
度，
为热水的初始温度，h 称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到
55℃，需要10 分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（
）（
）
A．11.3
B．13.2
C．15.6
D．17.1
3 借助数学文化考查函数的值域
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函
数”：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，也称取整函数，例如：
，
.已知
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
，
C．
，
，
D．
，0，
变式1.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的
“高斯函数”为：设
，用
表示不超过x 的最大整数，则
称为“高斯函数”，例如：
.已知函数
，则函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
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4 借助数学文化考查函数的性质
意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是
什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为
，相应的双曲正弦函数的表达式为
.设函数
，若实
数
满足不等式
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690 年，雅各
布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691 年他的弟弟约翰·伯努利和菜
布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式为双曲余弦型函数：
（e 为自然对数的底数）．当a=2 时，记
，
，
，
则p，m，n 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨等得出“悬链
线”方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以
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定义双曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只
写出即可，不要求证明）；
(2)
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
5 借助数学文化考查导数的概念及运算
我们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型.两个无
穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过
对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
变式1.十八世纪，数学家泰勒发现了公式
…，其中
，若
，下列选项中与
的值最接近的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
6 借助数学文化考查导数的应用
有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建
高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲
线
上的曲线段AB，设其弧长为
，曲线
在A，B 两点处的切线分别为
，记
的夹角为
，定义
为曲线段
的平均曲率，定义
为曲线
在其上一点
处的曲率．（其中
为
的导函数，
为
的导函数）
(1)若
，求
；
(2)记圆
上圆心角为
的圆弧的平均曲率为
．
①求
的值；
②设函数
，若方程
有两个不相等的实数根
，证明：
，其中为自然对数的底数，
．
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变式1.定义：若
是
的导数，
是
的导数，则曲线
在点
处的曲率
；已知函数
，
，曲线
在点
处的曲率为
；
(1)求实数a 的值；
(2)对任意
恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)设方程
在区间
内的根为
，…比较
与
的大
小，并证明．
变式2.根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数
在约束条件
的可能极值点，首先
构造出一个拉格朗日辅助函数
，其中
为拉格朗日系数．分别对
中
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的
部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解
，就是二元函数
在约束条件
的可能极值点．
的值代入到
中即为极值．
补充说明：【例】求函数
关于变量
的导数．即：将变量
当做常数，即：
，下标加上
，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的
表示
分别对
进行求导．
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数
满足
，求
的最大值．
(3)①若
为实数，且
，证明：
．
②设
，求
的最小值．
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1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记
录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足
．已知某同学视力的五分记录
法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A．1.5
B．1.2
C．0.8
D．0.6
2．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事
休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图
象的特征．我们从这个商标
中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．基本再生数R0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人
数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R0，T 近似满足R0 =1+rT.有学
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者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的
时间约为(ln2≈0.69)（ ）
A．1.2 天
B．1.8 天
C．2.5 天
D．3.5 天
4．高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110
个，为数学家中之最．对于高斯函数
，其中
表示不超过
的最大整数，如
，
，
表示实数
的非负纯小数，即
，如
，
．若函数
（
，且
）有且仅有 个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠
肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：
，其中K 为最大确诊
病例数．当I(
)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则
约为（ ）（ln19≈3）
A．60
B．63
C．66
D．69
6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并
构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J.
Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数
存在一个点
，使得
，那么我
们称该函数为“不动点函数”，给定函数
，
，已知函数
，
，
在
上均存在唯一不动点，分别记为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生
物学经济学和社会学领域都有重要作用
､
.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设
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是定义在R 上的函数，对于
，令
，若存在正整数k 使得
，且当
时，
，则称
值是
的一个周期为k 的周期点．若
，下列各值是
周期为2 的周期点的有（ ）
A．0
B．
C．
D．
8.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线
是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式
为
，相应的双曲正弦函数的表达式为
.设函数
，若实数
满足不等式
，则
的取值范围为_____________
9.定义：双曲余弦函数
，双曲正弦函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)若函数
在
上的最小值为
，求正实数
的值；
(3)求证：对任意实数
，关于
的方程
总有实根．
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10．第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架
电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条
感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线
上的曲线段
，其弧长为
，当动点从
沿曲线段
运动到
点时，
点的切线
也随着转动到
点的切线
，记这两条切线
之间的夹角为
（它等于
的倾斜角与
的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯
曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义
为曲线段
的平均曲
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率；显然当
越接近
，即
越小，
就越能精确刻画曲线
在点
处的弯曲程度，因此定义
（若极限存在）为曲线
在点
处的曲率.（其中
，
分别表示
在点
处的一阶二阶导数）
､
(1)已知抛物线
的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点
处的曲率是多少？
(2)若函数
，不等式
对于
恒成立，求
的取值范围；
(3)若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明.
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