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专题07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：含参数函数单调性讨论........................................................................................................2
题型二：导数与数列不等式的综合问题............................................................................................4
题型三：双变量问题............................................................................................................................9
题型四：证明不等式..........................................................................................................................13
题型五：极最值问题..........................................................................................................................15
题型六：零点问题..............................................................................................................................18
题型七：不等式恒成立问题..............................................................................................................24
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题......................................................................................26
题型九：利用导数解决一类整数问题..............................................................................................32
题型十：导数中的同构问题..............................................................................................................36
题型十一：洛必达法则......................................................................................................................42
题型十二：导数与三角函数结合问题..............................................................................................44
重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题..................................................................47
02 重难创新练....................................................................................................................................55
1
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题型一：含参数函数单调性讨论
1．已知函数
．
(1)若
，求
在
处的切线方程．
(2)当
时，证明：
有两个不同的极值点．
(3)讨论
的单调性．
【解析】（1）由题设
，则
，
所以
，
，故切线方程为
，
整理得
.
（2）由题设
，则
，
由函数定义域为
，则
时f
' (x)>0，
或
时f
' (x)<0，
所以
上
单调递减，
上
单调递增，
显然
有两个不同的极值点，分别为
和x =1，得证.
（3）由题设
，且
，
当
时，
，故
时f
' (x)>0，
时f
' (x)<0，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
2
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当
时，
时f
' (x)>0，
或
时f
' (x)<0，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
恒成立，即
在
上单调递减；
当
时，
时f
' (x)>0，
或
时f
' (x)<0，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增；
2．（2024·高三·浙江·期中）已知函数
，其中
.
(1)若曲线
在点
处的切线垂直于直线
，求a 的值；
(2)讨论函数
的单调性.
【解析】（1）函数
，求导得
，
由曲线
在点
处的切线垂直于直线
，得
，
所以
.
（2）函数
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，函数
在
上单调递增；
当
时，方程
中，
，
若
，则
，
，函数
在
上单调递增；
若
，则
，关于x 的方程
有两个正根，
，
，
当
或
时，
；当
时，
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
3
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所以当
时，函数
的递增区间是
；
当
时，函数
的递增区间是
，递减区间是
.
3．已知函数
，讨论
的单调性.
【解析】函数
的定义域为
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，由
，得
，
由
，得
；由
，得
，
于是有
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
0 时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
题型二：导数与数列不等式的综合问题
4．已知首项为1 的正项数列
满足
.
(1)探究数列
的单调性；
4
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(2)证明：
.
【解析】（1）数列
为递减数列，理由如下：
由题意可得
，
则
，
令函数
，
则
，
∴f (x)在
上单调递减，
则
，令
，
则
，
，
即数列
为递减数列；
（2）令函数
，
，
令函数
，
则
，当
时，h
' (x)<0，当x>0时，h
' (x)>0，
故h(x)在
单调递减，在(0,+ ∞)为单调递增，
故
，则
，
5
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，
，故
在定义域上单调递增，
，
令
，
则
，
又
，
.
当
时，
.
即
，又
时，
.
所以
.
5．已知函数
．
(1)若
，证明：
；
(2)记数列
的前
项和为
．
（i）若
，证明：
．
（ii）已知函数
，若
，
，
，证明：
.
【解析】（1）设
，当
时，
，
6
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所以
在
上为增函数，故当
时，
，
所以当
时，
设
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，故当
时，
，
所以当
时，
故当
时，
因为
，当
时，
，
所以
在
上为增函数，
因为当
时，
，且由
，
可得
，所以
，即
，
所以
（2）（i）因为
，
所以
，
则
，
所以
，
即
，
所以
（ii）函数
，
7
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因为当
时，
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，
因此
，
故
，即
因为
，
所以当
时，
，
综上，
，所以
，
所以
，
即
.
6．（2024·高三·四川绵阳·开学考试）已知函数
．
(1)当
时，证明：
；
(2)现定义：
阶阶乘数列
满足
．若
，证明：
．
【解析】（1）令函数
，
要证明
时，
，即证明
，
，
8
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，
所以当
时，h(x)单调递减，所以
，故原不等式成立.
（2）将
左右同除以
，
有
即
，累加有
，
即
，
由（1）知，
，即
，
所以
，
所以
，所以
，
当
时也满足，所以
所以
，
下面证明
，
令数列
，
，
因为
，
因为
，故只需判断
的符号，
9
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令
，则
，
令
，
当x∈(1,+∞)时，
，所以F (x)单调递增，
所以
，所以
，
即
故数列
单调递增，
所以
，
故原不等式成立.
题型三：双变量问题
7．已知函数
.
(1)判断函数
的奇偶性；
(2)若函数
在
处有极值，且关于
的方程
有3 个不同的实根，求实数的取值范
围；
(3)记
.若对任意
且
时，均有
成立，求实数
的
取值范围.
【解析】（1）当
时，
，满足
为偶函数；
当
时，
，且
为非奇非偶函数.
（2）函数
在
处有极值，
可得
，解得
，
10
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所以
当
时，
递减；当
或
时，
递增，
可得
在
处取得极小值，且为0，
在
处取得极大值，且为
，
的方程
有3 个不同的实根，等价为
，
即有
的取值范围是
.
（3）
在
递减，可得
时，
，
，即为
，
即
即为
即
对任意
且
时恒成立.
所以
在
递减；
在
递增.
当
在
恒成立时，可得
，即
在
恒成立，
在
上单调递增，即
，则
.
当
在
恒成立时，可得
，即
在
恒成立，
，当
时等号成立，则
，则
.
综上可得
的取值范围是
.
11
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8．（2024·山西·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在定义域上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
；求证：
；
(3)设
，
是函数
的两个极值点，求证：
.
【解析】（1）由题意知函数
的定义域为
，
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
又
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
的取值范围是
.
（2）证明：若
，
，所以
，
令f
'( x)=0，解得
，所以当
时，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，当且仅当
时，等号成立.
令
，
，所以
，
令
，解得
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，又等号不同时成立，
12
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所以
.
（3）证明：由题意可知
，
因为
有两个极值点
，
，
所以
，
是方程
的两个不同的根，
则
且
所以
，
所以要证
，即证
，
即证
，即证
，即证
.
令
，则证明
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，即
，
所以原不等式
成立.
9．已知函数
.
(1)若
，求
的图象在
处的切线方程；
13
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(2)若
恰有两个极值点
，
.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
【解析】（1）当
时，
，
，
，则
，
则
的图象在
处的切线方程为
，即
；
（2）（i）
，
令
，由
恰有两个极值点
，
，
则
有两个不同实数根
，
，且
，
则有
，即
；
（ii）由（i）知，
，且
，
，
则
，
则要证
，即证
，
即
，
令
，
，
14
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令
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
又
，
，
故存在
，使
，即
，
则当
时，
，
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
由对勾函数性质可知，
在
上单调递增，
由
，则
，
即
，即
，
即可得证：
.
题型四：证明不等式
10．当
时，证明：
.
【解析】证明：令
，
则
，
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增，
15
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所以当
时，
，
即
，
所以当
时，
.
11．已知函数
.
(1)若
，且
恰有3 个零点，求
的取值范围；
(2)若
，证明:当
时，
.
【解析】（1）由
，得
或
，由
恰有3 个零点，
得方程
有两个不等的非零根，而
，则
，
又
，于是
，解得
，
所以
的取值范围是
.
（2）当
时，
，
当
时，令
，求导得
，
当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，因此
，
所以
.
12．设函数
．
(1)当
时，证明：
．
16
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(2)当
时，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，定义域为(0,+ ∞)．
，构造函数
，
则
，x∈(0,+ ∞)，
所以f
' (x)在(0,+ ∞)上单调递增，又
，
所以当x∈(0,1)时，
单调递减；
当x∈(1,+∞)时，
单调递增．
所以
，故
．
（2）
，当
时，易知f
' (x)在(0,+ ∞)上单调递增，
，
所以存在x0∈(0,+∞)，使得
，即
．
当x∈(0, x0)时，
单调递减；
当x∈(x0,+∞)时，
单调递增．
所以
，
当且仅当
时取等，此时
，满足
．故原不等式得证．
题型五：极最值问题
13．已知函数
．
17
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(1)当
时，求
的单调性；
(2)若函数
在
处取得极小值，求实数
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，
则
，
令
，解得
或
．
令f
' (x)<0，解得
，所以
在
上单调递减；
令f
' (x)>0，解得
或
，即
在
，
上单调递增．
综上，函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
（2）由
求导得
，
① 当
时，
恒成立，
令f
' (x)<0，解得
，即
在
上单调递减；
令f
' (x)>0，解得
，即
在(1,+ ∞)上单调递增，
故
时，函数
在
处取得极小值，符合题意；
②当
时，令
，解得
，
，且
，
当
时，f
' (x)<0，函数
在
上单调递减；
当
时，f
' (x)>0，函数
在
上单调递增，
所以函数
在
处取得极小值，符合题意．
③ 当
时，令
，解得
，此时f
' (x)≥0恒成立且f
' (x)不恒为0，
18
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单调递增，故函数
无极值，不符合题意．
④ 当
时，令
，解得
，
，且
，
当
时，f
' (x)>0，函数
在
上单调递增；
当
时，f
' (x)<0，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值，不符合题意．
综上，实数
的取值范围是
．
14．（2024·高三·湖南·期中）已知函数
.
(1)证明：
；
(2)设函数
，证明：函数
有唯一的极值点.
【解析】（1）因为
，定义域为(0,+ ∞)，
所以
，
由于函数
，
在(0,+ ∞)上均为单调递增函数，
所以
在(0,+ ∞)上单调递增，
因为
，所以x∈(0,1)，f
' (x)<0，x∈(1,+ ∞)，f
' (x)>0，
所以
在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以
在
处取得极小值，也是最小值，所以
.
（2）因为
，
的定义域为(0,+∞)，
所以
.
19
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设
，则
，
当
时，h
' (x)>0，所以h(x)单调递增，所以
，
所以
，即
，
所以
.
又
，且
在(0,+ ∞)上单调递增，
所以存在唯一的
，使得
，即
，
当x∈(0, x0)时，
，F (x)单调递减；
当x∈(x0,+∞)时，
，所以F (x)单调递增，
所以函数F (x)有唯一的极值点.
15．已知函数
．
(1)当
时，关于
的方程
在区间
内有两个不相等的实数根，求实数
的取值范围；
(2)求函数
在区间
上的最小值．
【解析】（1）当
时，
，
则
，
令f
' (x)>0，得
；令f
' (x)<0，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
，
，
要使关于
的方程
在区间
内有两个不相等的实数根，
20
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则
，即实数
的取值范围为
.
（2）由
，
，
则
，由
得
．
①当
，即
时，f
' (x)>0，
在
上为增函数，
则
；
②当
，即
时，在
时，
，
为减函数，
在
时，f
' (x)≥0，
为增函数，
则
；
③当
，即
时，f
' (x)<0，
在
上为减函数，
则
．
综上所述，
．
题型六：零点问题
16．已知函数
有两个零点
，
(1)求
的单调区间和极值；
21
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(2)当
时，
恒成立，求实数
的最小值；
(3)证明：
.
【解析】（1）
令
，得
，
时，
单调递减，
时，
单调递增，
的极小值为
，无极大值.
（2）
，即
，令
，
时，x∈(0,1)时，
，而
，不合题意；
时，
，令
，
，显然
为减函数，
当
，即
时，
则
，
单调递增且
，
时，
单调递减，
，
当
时，
，
时，
单调递增且
，
使得
，且x∈(0, x0)时，
单调递减，
时，
单调递增，
22
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，不合题意.
综上，
的最小值为
.
（3）当x∈(0,1)时，
，若
，则
，则
在(0,1)没有零点，
又
在
上单调递增，所以
最多只有1 个零点，不合题意，
，极小值
，
，则
，
由（2）可知
，解得
，
欲证
，即证
，即证
，
，
即证
，即证
，
令
，
当
时，φ
' (x)<0，则φ(x)单调递减，
当
时，φ
' (x)>0，则φ(x)单调递增，
得φ(x)的最小值为
，即
，
，
，综上
.
23
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17．（2024·高三·江西上饶·期中）已知函数
.
(1)若
的图象在
处的切线方程为
，求
的值；
(2)若
，证明：
；
(3)讨论
的零点的个数.
【解析】（1）由题意得
，
又
的图象在
处的切线方程为
，
所以
，解得
，
所以
，所以
，所以
，解得
.
（2）证明：若
，则
，
所以
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
当且仅当
时，等号成立；
令
，
，所以
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，当且仅当
时，等号成立，
24
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所以
，即
.
（3）由题意得
的定义域为
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
又
，所以
有且仅有一个零点1；
当
时，令
，解得
，
易知在
上，
，则
在
上单调递减，
在
上，
，则
在
上单调递增，
又
，
，
所以
在
上有一个零点，
在
上有一个零点1，
所以
在
，
上各有一个零点；
当
时，令
，解得
，
易知在
上，
，则
在
上单调递减，
在
上，
，则
在
上单调递增，
故
的最小值为
，故
仅有一个零点；
当
时，令
，解得
，
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易知在
上，
，则
在
上单调递减，且
，
所以
在
上有一个零点1，
在
上，
，则
在
上单调递增，
又
，
，
所以
在
上有一个零点，
故
在
，
上各有一个零点.
综上，当
或
时，
仅有一个零点；
当
或
时，
有两个零点.
18．已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求
，
的值：
(2)求证：
有且只有一个零点；
(3)记
的零点为
，曲线
在
处的切线与
轴交于
.若
，求的取值范围.
【解析】（1）将切点
代入切线
得
，
即
，所以
，
因为
，
由题意得
，即
，解得
.
26
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（2）结合（1）知
，定义域为
，
因为
在
上恒成立，易知当
时，
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取得极小值
，
又
，
，
由零点存在性定理可知
有且只有一个零点.
（3）由（2）知
，则
，
，
则
在
处的切线为
，
令
，得
，
因为
在
处的切线与
轴交点为
，
即
，
令
，
，
结合（2）中结论知：
时，
，
时，
，
令
得
或
，
令
得
或
，
27
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即当
时，
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，由（2）知
，
所以此时
，即
，符合题意，
当
时，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
由（2）知
，即
，
代入
得
，
即此时
，不符合题意，舍去.
综上所述，的取值范围是
.
题型七：不等式恒成立问题
19．已知函数
.
(1)若
，求曲线y = f ( x)在x =1处的切线方程；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
，
则
，
所以所求切线方程为
，即
；
（2）
，即
，
即
，即
对
恒成立，
28
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令
，则
，
当
时，
，当
，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
.
20．已知函数
．（其中是自然对数的底，
，
）．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若
恒成立，求整数
的最大值（
）．
【解析】（1）函数
定义域为
，
．
当
时，
，
在
上是增函数；
当
时，由
，解得
，
由
，解得
．
所以函数
在
上是增函数，在
上是减函数．
综上，当
时，
在
上是增函数；
当
时，
在
上是增函数，在
上是减函数．
（2）由题意当
时，
，整理得
．
29
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令函数
，
则
．
令
，则
．
当
时，
恒成立，所以
在
单调递增．
又
，
，
所以
，使得
，即
．
故
时，
；
时，
．
因此
在
单调递减，在
单调递增，
所以
．
令函数
．则
，
所以
在
单调递增，因此
．
又
，
，
∴
．
因此整数
的最大值为1.
21．已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
30
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(2)
恒成立，求a 的取值范围．
【解析】（1）当
时，则
，
，
可得
，
，
即切点坐标为
，切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
（2）因为
的定义域为(0,+ ∞)，若
，
可得
，整理可得
，
构建
，则
，
可知
在(0,+∞)内单调递增，则
，
令
，则
对任意
恒成立，
构建
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在(0,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增，
则
，可得
，
所以a 的取值范围为
.
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
22．已知函数
，
.
（1）若
在
处取得极值，求
的值；
31
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（2）设
，试讨论函数
的单调性；
（3）当
时，若存在正实数
满足
，求证：
.
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
在
处取得极值，
所以
，解得
．
验证：当
时，
在
处取得极大值．
（2）因为
所以
．
①若
，则当
时，
，所以函数
在
上单调递增；
当
时，
，
函数
在
上单调递减．
②若
，
，
当
时，易得函数
在
和
上单调递增，
在
上单调递减；
当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递增；
当
时，易得函数
在
和
上单调递增，
在
上单调递减．
（3）证明：当
时，
，
因为
，
32
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所以
，
即
，
所以
．
令
，
，
则
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在
上单调递增．
所以函数
在
时，取得最小值，最小值为．
所以
，
即
，所以
或
．
因为
为正实数，所以
．
当
时，
，此时不存在
满足条件，
所以
．
23．已知函数
.
(1)若该函数在
单调递增，求
的取值范围.
(2)当
时，若方程
有两个实数根
，且
，证明：
.
【解析】（1）由题意
，
当
时，f
' (x)>0，
在(0,+ ∞)上单调递增，满足题意；
33
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当
时，当
时，f
' (x)<0，
在
上单调递减，
当
时，f
' (x)>0，
在
上单调递增，
又该函数在
单调递增，故
，
综上可知，
的取值范围为
（2）当
时，
，
由（1）可知
在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以
，令
，
则
，
所以
在(0,1)上单调递减，
，即
，
令
，则
，故
，
又
在(1,+∞)上单调递增，
，所以
，
故
24．已知函数
．
(1)若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若函数
恰有两个极值点
，且
的最大值为
，求证：
．
【解析】（1）由题意可得
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
34
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令
，则
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，故
，即
；
（2）
，令
，
由函数
有两个极值点
，
则
有两个变号零点
，
，
当
时，
，不符，故舍去；
当
时，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
又当
时，
，则
，
故此时
此时至多存在一个零点，不符，故舍去；
当
时，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
35
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有
，则
，故
，
则有
，
，
则
，即
，同理
，
则
，故
，
即
，
由
的最大值为
，令
，则有
，
即
，令
，
，
则
，
令
，
，
则
恒成立，
故
在
上单调递增，则
，
则
，故
在
上单调递增，
则
.
36
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25．已知函数
．
(1)若对任意的
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)设
、
是两个不相等的实数，且
．求证：
．
【解析】（1）当
时，
，
因为
，所以
，即
，不符合题意；
当
时，
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
所以
，由
恒成立可知
，所以
．
又因为
，所以
的取值范围为
．
（2）因为
，所以
，即
．
令
，由题意可知，存在不相等的两个实数
、
，使得
．
由（1）可知，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
不妨设
，则
，设
，
则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
即
在区间
上恒成立．
37
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因为
，所以
．
因为
，所以
．
又因为
，
，且
在区间
上单调递增，
所以
，即
.
题型九：利用导数解决一类整数问题
26．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求k 的值；
(3)设m 为整数，且对于任意正整数n，
，求m 的最小值.
【解析】（1）当
时，
，
，
所以
，所以切线的斜率为
，
又因为
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
.
（2）因为
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，
又因为
，与
不符；
38
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当
时，由
得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
，所以
，
设
，
则
，
由
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
有唯一解，且
.
（3）由（2）知当
时，
，
当且仅当
时，
.
所以当
且
时，
，
则
.
取
（
），所以
，
所以
，
，
，
所以
.
所以
所以
于是对于任意正整数n，
，
只需
，又因为
，所以
，
39
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则m 的最小值为.
27．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
，
的图像在(1,f (1))处的切
线过原点．
(1)求
的值；
(2)设
，
，其中
，若对
，总
，使
成
立，求整数
的取值范围．
【解析】（1）易知
的定义域为(0,+∞)，且
，
又
，所以
，
得到
的图象在
处的切线方程为
，
将
代入，得
.
（2）
，
当
时，h(x)取得最小值，
，
由（1）知
，所以
，得
，易知
的定义域为(0,+∞)，
则
，易知
单调递增，
又
，
，
即
在区间(
1
2 ,1)上有唯一解
，使
，则
，
所以当
时，
，即
在
上单调递减，
当
时，
，即
在
上单调递增，
在
处取得极小值也是最小值，
40
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则
，
又
，所以
，
所以对
，总
，使
成立，
必须且只需
，得
，
故整数
的取值范围为
.
28．已知函数
，
（
）.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若
对任意
恒成立，求整数a 的最小值.
【解析】（1）当
时，
，
所以
，
所以切线方程为
，即
.
（2）因为
，
所以
，
设
，
则
，
又因为
，所以
，即
单调递增，
又因为
，所以
时，
，即
；
41
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时，
，即
，
综上可知，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（3）因为
对任意
恒成，
即
，
，
即
，
即
，
设
，则
，
易知
单调递增，所以
，
所以
单调递增，则原不等式等价于
，
即
对任意
恒成立，
所以
，令
，则
，
又因为
，
令
，则
，所以
单调递减;
又因为
，
，
所以
，
所以
时，
，即
，
单调递增；
时，
，即
，
单调递减；
所以
，
42
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所以
，而
，
所以整数
的最小值为.
题型十：导数中的同构问题
29．已知关于x 的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】由题意，易知
，
而
，
令
，则
，
故
在
上单调递增，
由
，则
在
上恒成立，
记
，则
在
上恒成立，即
，
因为
，所以当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
所以
，即
，解得
，
所以
的取值范围是
.
30．（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求
；
(2)是否存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列？说明理由．
【解析】（1）
43
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由题意可得
，
．
①若
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
即
无最小值；
②若
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
所以
在
处取得最小值
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得最小值
，
又
与
有相同的最小值，
所以
，
，
设
，
，则
，
令
，则
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
所以
在
处取得最小值
，则当
时，
恒成立，
单调递增．
又
，所以
．
（2）由（1）得
，
，
且
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
所以
和
的图象在
上有唯一交点，且交点的纵坐标大于1，
44
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由函数的单调性及图象可得存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，
当直线
与曲线
和
共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为
，且
，
则
，
因为
，
，
所以
，
由
图象可知
无解，
所以
，
，所以
，
，
则
，
，
上述两式相减得
，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
31．已知函数
．
当
时，求函数
的单调增区间；
若函数
在
上是增函数，求实数a 的取值范围；
若
，且对任意
，
，
，都有
，求实数a 的最小值．
【解析】
当
时，
．
45
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则
令
，得
，即
，解得：
或
．
因为函数的定义域为
，
所以函数
的单调增区间为
．
由函数
．
因为函数
在
上是增函数，
所以
对
恒成立
即
对
恒成立．
所以
即实数a 的取值范围是
．
因为
，由
知函数
在
上是增函数．
因为
，
，
，不妨设
，所以
由
恒成立，可得
，
即
恒成立．
令
，则
在
上应是增函数
所以
对
恒成立．
即
对
恒成立．
即
对
恒成立
46
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因为
当且仅当
即
时取等号，
所以
．
所以实数a 的最小值为
．
32．已知函数
．
（1）讨论函数
的零点的个数；
（2）证明：
．
【解析】（1）解：函数
定义域为
，则
，
故
在
，
递增，
当
时，
，没有零点；
当
时，
单调递增，
，
（1）
，
由函数零点存在定理得
在区间
，
内有唯一零点，
综上可得，函数
只有一个零点．
（2）证明：法一：要证
，
即证
，
令
，定义域为
，
则
，
由（1）知，
在区间
，
内有唯一零点，设其为
，
47
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则
①，因
，且
在区间
上单调递增，
所以当
时，
，
，
单调递减，
当
，
时，
，
，
单调递增；
所以
，
由式①可得
，
，
所以
，
又
时，
恒成立，
所以
，得证．
法二：问题转化为证明
，
令
，易知
，（当且仅当
时“
”成立）
又
，则
，
故
（当且仅当
时“
”成立）．
33．（2024·江西宜春·一模）已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)对任意的
，
恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）由题意知：
定义域为
，
；
当
时，
，
，
在
上单调递增；
48
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当
时，令
，解得：
；
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由
恒成立得：
，
令
，
令
，则
，
则当
时，
；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，即
（当且仅当
时取等号），
（当且仅当
时取等号）；
令
，则
恒成立，
在
上单调递增，又
，
，
，使得
，即
，
等号可以成立，
，
，解得：
，即实数
的取值范围为
.
49
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题型十一：洛必达法则
34．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性;
(2)若对任意的
恒成立，求
的范围.
【解析】（1）
，
当
时，
恒成立，故
在
上单调递增，
当
时，令
，解得
，
所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
综上，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增，在
上单调
递减；
（2）当
时，
，符合题意，此时
；
当
时，因为
恒成立，即
恒成立，
令
，则
，
再令
，则
恒成立，
则
在
单调递增，
所以
，
所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，
50
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所以
35．已知函数
，若当
时，
，求
的取值范围．
【解析】由题意可知，当
时，
，等价于
，则有
，
设
，则
．
又设
，则
，
所以
在
上单调递增，而
，
所以
在
上单调递增，
对于
，当
时，
，
所以
符合洛必达法则条件，
所以
，
即当
时，
的取值范围是
．
36．已知函数
，如果当
，且
时，
，求
的取值范围．
【解析】根据题目的条件，当
且
时，
51
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得
，等价于
．
设
，
因为
，设
，
则
，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以当
时，
，
即
在
上单调递减，当
在
上单调递增．
当
时，
，当
时，
，所以
符合洛必达法则的条件，
即
，
所以当
时，
的取值范围是
．
题型十二：导数与三角函数结合问题
37．已知函数
与
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，且
.
(1)求函数
与
的解析式；
(2)若对于
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
52
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【解析】（1）由
①，可得
，所以
②，
①
②可得
，所以
，
①
②可得
，所以
；
（2）由（1）知
，所以
在
上单调递增，
由
，得
，
所以
，
当
时，
，不等式恒成立，
当
时，
，所以不等式变形为
，
令
，所以
，
令
，求导得
，
因为
，所以
，所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
，所以
在
上单调递增，所以
，
因为对于
，不等式
恒成立，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
38．已知函数
，
，其中
．
(1)试讨论函数
的单调性；
(2)若
，证明：
．
53
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【解析】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
综上所述，当
时，
在
上单调递增，无减区间；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
，
，即证
，
，即证
，
当
时，
，
，
，
；
当
时，令
，
则
，
，
，
，
，
，
，
在
上单调递增，
，
在
上单调递增，
,
即
，
54
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所以
，即
.
39．（2024·高三·北京朝阳·期中）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
在区间
上的零点个数；
(3)若
，其中
，求证：
.
【解析】（1）由
，得
且
，所以
，
所以曲线
在
处的切线方程为：
，即
.
（2）①当
时，
，
，所以
.
所以
在区间
上无零点；
②当
时，
，
，所以
，
所以
在区间
上单调递增，
又
，
，
所以
在区间
上仅有一个零点，
综上，
在区间
上的零点个数为1.
（3）设
，即
，
所以
，
设
，
，
因为
时，
，
，所以
，
所以
在区间
上单调递增，
55
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即
在区间
上单调递增，
故
，所以
在区间
上单调递增.
故
，所以
.
因为
，所以
，
又
，所以
.
重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题
40．若
为
上任意
个实数，满足
，当且仅当
时等号成立，则称函数
在
上为“凸函数”.也可设可导函数
在
上的导
函数为f
' (x)，若f
' (x)在区间
上单调递减，则称
为区间
上的凸函数.
若
为
上任意
个实数，满足
，当且仅当
时等号成立，则称函数
在
上为“凹函数”.也可设可导函数
在
上的导
函数为f
' (x).若f
' (x)在区间
单调递增；则称
为区间
上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等
式即为著名的琴生不等式.）
(1)讨论函数
，
的凹凸性，并求锐角
中，求
的最小值；
(2)已知函数
.
（ⅰ）当
时，讨论
的凹凸性；
56
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（ⅱ）平面直角坐标系中的点
称为函数
的“
切点”，当且仅当过点
恰好能作曲线y = f (x)的
条切线，其中
.当
时，点
在
轴右侧且为
的“ 切点”，求点
的集合.（不需要写出求解
过程）
【解析】（1）因为
所以
所以
所以函数
在
上为凹函数.
因为
在
上为凹函数，由琴生不等式有：
即
整理有:
当且仅当
时等号成立.
所以在锐角
中，
的最小值为
.
（2）（ⅰ）
所以
令
，
所以
，令
有：
，
即
当
时，解得
，当
时
时，当
时，
所以
是
上的凹函数，
上的凸函数.
当
时，解得
或
，
57
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若
时，即
时，
当
或
时，
当
时，
所以
是
上的凸函数，
上的凹函数;
若
时，即
时，
当
或
时，
当
时，
所以
是
上的凸函数，
上的凹函数;
综上所述：当
时，
是
上的凹函数，
上的凸函数；
当
时，
是
上的凸函数，
上的凹函数;
当
时，
是
上的凸函数，
上的凹函数.
（ⅱ）当
时，
，
为
的“ 切点”
所以
，设
，切点为
，
所以过点
的切线方程为：
，
所以
，
因为这样的切点有3 个，则
有3 个解，
所以
有3 个实根，
58
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即关于
的方程：
有三个不同的实数跟。.
令
，则直线
与曲线
恰有三个不同的交点.
所以
，
当
时，
由
有：
，
有：
或
，
所以F (x)在
为增函数，在
和
为减函数.
所以F (x)的极小值为：
，F (x)的极大值为：
所以：
当
时，
，F (x)为单调递减，不符合题意.
当
时，
由
有：
，
有：
或
，
所以F (x)在
为增函数，在
和
为减函数.
所以F (x)的极小值为：
F (x)的极大值为：
，
所以：
综上所述：点
的集合为：
41．（2024·上海奉贤·一模）若函数
的图象上存在
个不同点
、
、
、
处的
切线重合，则称该切线为函数
的一条
点切线，该函数具有
点切线性质．
(1)判断函数
，
的奇偶性并写出它的一条
点切线方程（无需理由）；
(2)设
，判断函数
是否具有
点切线性质，并说明理由；
59
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(3)设
，证明：对任意的
，
，函数
具有
点切线性质，并求出所有相
应的切线方程．
【解析】（1）令
，其中x∈R，则
，
所以，函数
为偶函数，且
，如下图所示：
由图可知，函数
的一条
点切线方程为
.
（2）因为
，该函数的定义域为(0,+∞)，且
，
令
，其中
，则
，
所以，函数f
' (x)在(0,+ ∞)上为增函数，
因此，不可能存在
、
且
，使得
，
因此，函数
不具有
点性质.
（3）取点
、
、
，
因为
，则
，
所以，曲线y = g(x)在点
处的切线方程为
，
即
，
曲线y = g(x)在点
处的切线方程为
，
60
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曲线y = g(x)在点
处的切线方程为
，
由题意可知，这三条切线重合，
则
，
由上得
，则
，
，
，
（i）若
，
，
，
则
，所以，
，
因为
，则
（舍去）；
（ii）若
，
，
中至少有一个成立，
不妨设
，则
，
若
，则
（舍去），所以，
，
故
或
.
综上所述，
点切线方程为
和
.
42．记
，
分别为函数
，
的导函数.若存在
，满足
且
，则称
为函数
与
的一个“ 点”；若仅满足
则称
为
函数
与
的一个“
点”.
(1)证明：函数
与
不存在“ 点”，但存在“
点”；
(2)若函数
与
存在“ 点”，求实数
的值；
(3)已知
，
其中实数
且
．若使函数
与
区间
内存在
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三个“
点”，求实数
的取值范围．
【解析】（1）令
，可得
，解得
或
，
对函数
有
，对函数
，有
，
令
，解得
，
故、
是函数
与
的“
点”，
但函数
与
不存在“ 点”，即得证；
（2）对函数
，有
，对函数
，有
，
由函数函数
与
存在“ 点”，
则方程组
有解，即有
，即
，
则
；
（3）
，
，
则有题意可得满足
，且
的
有三个，
令
，则
，
当
，则
，当
，则
，
令
，
，
令
，则
，即
，
当
时，
，
则当
时，
，
单调递增，
62
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当
时，
，
单调递减，
故
，
不妨令
，则
，令
，
则
，则
，即
，故
，
则
，故
，
，则
；
故当
时，
，则
在(0,+ ∞)上有两个零点，
设这两个零点为
，且
，
当
时，
，则h
' (x)>0，故h(x)单调递增；
当
时，
，则h
' (x)<0，故h(x)单调递减；
当
时，
，则h
' (x)>0，故h(x)单调递增；
则
，即
，即
，
则
，
令
，则
，
当
时，
，故
单调递减
当
时，
，故
单调递增，
由
且
，故
，则
，
故
，故
，
又
时，h(x)单调递减，故
，
63
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即h(x)的极大值
，
令
，则
为减函数，又
，
，
故存在
，
，由
，
关于直线
对称，
故必有一个交点落在
上，使得
，
，又
，则
，
，
故
，又
为减函数，故
，
又
时，h(x)单调递减，故
，即h(x)的极小值
，
且
时，
，
时，
，
故
在(0,+ ∞)上有三个零点，即方程
有三个解；
当
时，
，则
在(0,+∞)上单调递增，
在(0,+∞)上只有一个零点，
则
在(0,+ ∞)上最多只有两个零点，不符合题意；
当
时，
，
，
又
有两个零点，是
的两个极值点，
由极值均不为
，故
无解；
综上：当
时，函数y = f (x)与y = g(x)区间(0,+∞)内存在三个“
点”.
64
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1．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若
有两个不同的极值点
．
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
【解析】（1）当
时，
，
则
，所以
．
又
，所以曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为
，即
．
（2）由已知，
的定义域为(0,+∞)，
，
由题意得
为f
' (x)的两个零点，且
，
即
为方程
的两个不同的根，
即
为方程
的两个不同的根，
设
，则直线
与
的图象有两个交点，
，
因为
，所以
，
65
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所以当x∈(0,1)时，
，
单调递增，
当x∈(1,+∞)时，
，
单调递减，
所以
，
易知当
时，
，当
时，
，
故要使直线
与
的图象有两个交点，则
，
即实数
的取值范围为
．
（ⅱ）由（ⅰ）知
，
．
设
，
则
，
令
，
则当x∈(0,1)时，
，
所以φ(x)在(0,1)上单调递减，则当x∈(0,1)时，
，
所以当x∈(0,1)时，h
' (x)<0，
所以h(x)在(0,1)上单调递减，故当x∈(0,1)时，
，则当x∈(0,1)时，
，
所以
，即
，
66
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由（ⅰ）可知
在(1,+ ∞)上单调递减，所以
，
则
，所以
，即
，得证．
2．若函数
是定义在
上的函数，且存在
，
，使得
在
上的值域仍为
，则
称
为
上的保值函数，区间
叫做
的保值区间．
(1)求
在
上的所有保值区间；
(2)证明：
在
上存在保值区间；
(3)若
为
上的保值函数，证明：
．
【解析】（1）令
，得
，解得
或
或
，
函数
为
上的增函数， 故
在
上的所有保值区间为
，
，
．
（2）
，
当
时，f
' (x)<0，
单调递减；当
时，f
' (x)>0，
单调递增．
所以当
时，
．
令
，则
，
令
，解得
，
则当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，所以
，
又
，
67
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所以函数
在
上存在唯一的
，使得
，即
．
知
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，
则当
时，
．
故函数
在
上的值域为
，即函数
为
上的保值函数，保值区间为
，
故
在
上存在保值区间．
（3）函数
在
上单调递减，
所以
，
，即
，
，
从而
①，
②．
令
，则
，
，代入①得
，整理得
，
所以
，所以
③．
由②③得，要证
，即证
，
即证
．
令
，所以
，
令
，则
，
所以
在(0,+ ∞)上单调递增，即
在(0,+∞)上单调递增，
所以
，
68
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所以
在(0,+ ∞)上单调递增，
所以
，即
，
因此
，得证．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
在
上单调递增，求正实数
的取值范围；
(3)
时，证明：
.
【解析】（1）由已知
，∴
，
记
，则
，且等号不同时成立，
∴
在
上单调递增，又
，
∴当
时，
；当
时，
，
∴
的单调递增区间是
，单调递减区间是
；
（2）若
在
上单调递增，则
恒成立，
设
，则
，
当
时，∵
，∴
；
∵
，∴
，∴
，
∴当
时，
，∴
在
上单调递增，
，符合题意；
当
时，
，令
，
69
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当
时，
，
∴
在
上单调递增，由
得
，
∴
，又
，
∴
在
上存在唯一解，记为
∴当
时，
，即
，∴
在
上单调递减，
∴
，即
，矛盾，
综上，
；
（3）
，
时，
，
∴
，
故
，
∴
，
即
.
4．（2024·高三·重庆·开学考试）已知
.
(1)若存在两个不同的
使得
的最小值为0，证明：
；
(2)设
（
为常数），且当
恒成立时，
的最小值为
，求
的取值集合.
【解析】（1）
，令
，则
，
70
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当
时，
，
单调递增，没有最小值，不满足题意；
当
时，考虑
这一侧，有
，
则当
时，
，不满足题意；
当
时,
恒成立,
在
上单调递增，
取
即有
；
当
时，有
，则当
时，
；
所以存在唯一的
，使得
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
且有
，也即
，
于是，
，
记
，则
，
当
时，
恒成立，
单调递增，
所以存在两个不同的
，使得
的最小值为0，
也即存在两个不同的
，使得
；
71
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记
，则
，
易知
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
；
若
，当
时，
，
而当
时，
单调递减，方程
至多有一个解，不满足题意；
若
，则有
，方程
至多有一个解，满足题意；
综上，
；
（2）由第一问可知，
，
取
，则
，
此时
，
记
，则
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
由于
，所以有
，
记
，则只需考虑
的解即可，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，而
，
所以
只有一个解
，
72
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此时
，
综上，
的取值集合为
.
5．（2024·高三·全国·单元测试）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)从①②两组条件中选取一组作为已知条件，证明：
恰有一个零点．
①
；
②
．
注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意得
，
当
时，令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
当
时，令
，得
或
，
①当
时，令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
②当
时，
且等号不恒成立，所以
在R 上单调递增．
③当
时，令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）选择条件①，证明如下：
由（1）知当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
，
且
．
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由于
，所以
．
令
，则
，
令
得
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值
．
由于
，
，
所以
在
上恒成立，所以
．
当
时，
，所以
有一个零点，得证．
选择条件②，证明如下：
由（1）知，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
．
由于
，
所以
，则
，
所以
．
当
时，
，所以
有一个零点，得证．
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6．（2024·高三·上海·单元测试）设函数
，其中
，曲线
过
点
．
(1)求a，b 的值；
(2)求证
在
时，恒大于零，其中
；
(3)证明：当
时，
．
【解析】（1）因为曲线
过点
．
所以
，因为
，
所以
成立，
所以
，
；
（2）
，
因为
，所以
，
所以
在
严格递增，
所以
，即
；
（3）令
，即
，
，
，
由（2）证可知
，所以
在
上严格递增，
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所以
，因为
，所以
，
，
即
，所以
7．（2024·北京·三模）已知
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求证：
．
【解析】（1）当
时，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）
，
令
，得
，令
，则
，
原方程可化为
①，则
是方程①的两个不同的根，
所以
，解得
，
由韦达定理得
，则
，
所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，
76
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所以
.
8．（2024·浙江绍兴·三模）若函数
在区间
上有定义，且
，
，则称
是
的一个
“封闭区间”．
(1)已知函数
，区间
且
的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数
，设集合
．
（i）求集合
中元素的个数；
（ii）用
表示区间
的长度，设
为集合
中的最大元素．证明：存在唯一长度为
的闭区
间
，使得
是
的一个“封闭区间”．
【解析】（1）由题意，
，
，
恒成立，所以
在
上单调递增，
可得
的值域为
，
因此只需
，
即可得
，即
，
则的取值集合为
．
（2）（i）记函数
，
则
，
由
得
或
；由
得
；
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
77
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其中
，因此当
时，
，不存在零点；
由
在
单调递减，易知
，而
，
由零点存在定理可知存在唯一的
使得
；
当
时，
，不存在零点．
综上所述，函数
有0 和
两个零点，即集合
中元素的个数为2．
（ii）由（i）得
，假设长度为
的闭区间
是
的一个“封闭区间”
，
则对
，
，
当
时，由（i）得
在
单调递增，
，即
，不满足要求；
当
时，由（i）得
在
单调递增，
，
即
，也不满足要求；
当
时，闭区间
，而
显然在
单调递增，
，
由（i）可得
，
，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为
的闭区间
，使得
是
的一个“封闭区间”．
9．已知函数
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(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
【解析】（1）
时，
，其中
，
则
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
故
，而f
' (x)≥0成立，故
即
，
所以
的最小值为
.，
（2）
的定义域为(0,2)，
设
为y = f (x)图象上任意一点，
关于
的对称点为
，
因为
在y = f (x)图象上，故
，
而
，
，
所以
也在y = f (x)图象上，
由
的任意性可得y = f (x)图象为中心对称图形，且对称中心为
.
（3）因为
当且仅当
，故
为
的一个解，
所以
即
，
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先考虑
时，
恒成立.
此时
即为
在
上恒成立，
设
，则
在(0,1)上恒成立，
设
，
则
，
当
，
，
故
恒成立，故
在(0,1)上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
时，
，
故
恒成立，故
在(0,1)上为增函数，
故
即
在
上恒成立.
当
，则当
时，
故在
上
为减函数，故
，不合题意，舍；
综上，
在
上恒成立时
.
而当
时，
而
时，由上述过程可得
在(0,1)递增，故
的解为(0,1)，
即
的解为
.
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综上，
.
81
