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专题04 立体几何（理）
题型一：三视图
1．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试文科数学试卷）已知三棱锥的三视图如图所示，
则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）
1
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A．4
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据几何体的三视图，将几何体还原成直观图如图：
根据已知条件有
，
，
平面
；过
作
的垂线垂足为
，
，
，在
中，有
，
，
，所以
；在
中，
，
，
，所以
；因为
平面
，
平面
，所以
，同理
；在
中，
，
，
，所以
；在
中，
，
，
，所以
；
综上所述，三棱锥中最长棱的长度为
.
故选：C
2．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测文科数学试题）一个几何体的三视图的正视图是
2
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三角形，则这个几何体可以是 .（写出一个你认为正确的答案即可）
【答案】三棱柱（答案不唯一）
【解析】由三视图可知，正视图是三角形的几何体可以是三棱柱，三棱锥，圆锥等.
故答案为：三棱柱（答案不唯一）
3．（陕西省榆林市2023-2024 学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）如图，网格纸中小正方形的边
长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体由一个棱长为2 的正方体和一个底面半径为
，高为2 的圆柱拼接而成，
故该几何体的表面积为
.
故选：D
题型二：空间几何体表面积、体积、侧面积
4．（陕西省西安市部分学校2024 届高三下学期二模考试理科数学试题）四羊方尊（又称四羊尊）为中国
商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为
，
，高为
），则四羊方尊的容积约为（ ）（参考公式：棱台的体积
，其中
，分别
为棱台的上、下底面面积，为棱台的高）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知得：
，
代入公式得：
.
故选：A.
5．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷）在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
分别为棱
和
中点，则四棱锥
和四棱锥
的体积之比
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
，
由题意可知：
，
，
则
，
4
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所以
.
故选：C.
6．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题）在所有棱长均相等的直四棱柱
中，
，点
在四边形
内（含边界）运动．当
时，点
的
轨迹长度为
，则该四棱柱的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设棱长为
，延长
，过点
作
垂直于
的延长线于
，
由
，可得
；
由直四棱柱的性质可得，
平面
，所以
；
因为
，所以
.
在平面
内，点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆夹在四边形
内的部分，即图中圆弧
.
因为
，所以
，
因为点
的轨迹长度为
，所以
，即
.
四棱柱的表面积为
.
故选：A.
5
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7．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）三棱锥
中，
，
，
为
内部及边界上的动点，
，则点
的轨迹长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图所示，
由
，
，
可知三棱锥
为正三棱锥，
设
中点为
，
则
，
，
，
设点
在底面
上的射影为
，
则
平面
，
，
又
为
内部及边界上的动点，
，
所以
，
所以点
的轨迹为以点
为圆心，
为半径的圆在
内部及边界上的部分，
如图所示，
6
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，
，
即
，
，
所以点
的轨迹长度为
，
故选：B.
8．（内蒙古自治区呼伦贝尔市2024 届高三下学期二模理科数学试题）在半径为5 的球体内部放置一个圆
锥，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，如图，当圆锥体积最大时，此时圆锥内接于球，球心在圆锥的高上，
设圆锥的底面半径为r，高为
，则
，
所以该圆锥的体积
，
则
．当
时，
，当
时，
．
故当
时，V 取得最大值，且最大值为
．
故选：A.
7
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题型三：空间直线、平面位置关系的判断
9．（陕西省汉中市2023-2024 学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷）已知
为两条直线，
为两个平面，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，因为
，所以
，即由
可以得到
，
若
，如图，在正方体中，取平面
为平面
，平面
为平面
，
取
为直线
，
为直线
，显然有
，
，但
与
不垂直，即由
得不
到
，
故选：A.
10．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）设
是三条不同的直线，
8
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是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【解析】A.如果
是平行直线，那么与
不一定垂直，故A 错误；
B. 若
，则
或
，故B 错误；
C. 若
，则
，若
，则
，故C 正确；
D.若
是平行直线，则
与
有可能不平行，故D 错误.
故选：C
11．（四川省德阳市重点高中2024 届高三诊断模拟考试（二）数学（理科）试题）已知
是两条不同的
直线，
是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ）
①若
，且
，则
②若
且
，则
③若
，且
，则
④若
，且
，则
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】设
分别是直线
的方向向量，
对于①，因为
，所以
分别是平面
的法向量，
又
，即
，所以
，故①正确；
对于②，由面面平行的判定定理可知，当
不相交时，
不一定成立，故②错误；
9
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对于③，当
时，可满足
时有
，
又
，显然此时
位置关系不确定，故③错误；
对于④，因为
，所以
是平面
的法向量，
又
，所以
也是平面
的法向量，
又
，即
，所以
，故④错误.
故选：A.
题型四：线线角、线面角
12．（四川省成都市成实外教育集团2024 届高三联考数学理科试题（二））如图，在四棱锥
中，
底面
为矩形，
面
，点
是
的中点．
(1)证明：
；
(2)设
的中点为
，点
在棱
上（异于点
），且
，求直线
与平面
所成角的余
弦值．
【解析】（1）因为
，点
为
中点，则
因为
面
，
面
，所以面
面
，
又底面
为矩形，则
，
因为面
面
，
面
，
所以
面
，所以
，
因为
，
面
，
所以
面
，又
面
，
所以
；
10
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（2）由已知得
两两垂直，设
，如图建立空间直角坐标系，
则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，得
又
，设
，
即
，所以
，
又
，
所以
，解得
或
（舍去），
所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的余弦值为
.
11
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13．（四川省南充市2024 届高三高考适应性考试（二诊）理科数学试题）如图所示，在直四棱柱
中，底面
是菱形，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值；
【解析】（1）
如图所示，连接
，连接
，
，
，
分别为
，
的中点，
且
，
且
，
四边形
为平行四边形，
12
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，
又
平面
，
平面
，
平面
；
（2）
如图所示，
连接
，取
中点
，连接
，
由已知直四棱柱
的底面
为菱形，
平面
，
，
以点
为坐标原点，
，
，
方向分别为
轴，
轴，轴建立空间直角坐标系，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面
的法向量
，
则
，令
，则
，
13
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，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
14．（2024 届内蒙古自治区包头市高三下学期二模文科数学试题）在正方体
中，E 为BD
的中点，则直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以点
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设正方体
的棱长为
，
则
，
则直线
与
所成角的余弦值为
，
故选：D
题型五：外接球、内切球、棱切球问题
14
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15．（陕西省汉中市2023-2024 学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷）已知三棱锥
，点
到平面
的距离是
，则三棱锥
的外接
球表面积为 ．
【答案】
【解析】记
为
的中点，连接
，
由题意知
，且
，
所以
外接圆的直径为
，且
，即半径
，
过
作
平面
，因为
平面
，则
，
又点
到平面
的距离是
，即
，而
，
所以
，同理
，
又
，所以
是同一个点，所以
平面
，
设三棱锥
的外接球的半径为
，
则
，
则三棱锥
的外接球表面积为
.
故答案为：
16．（陕西省咸阳市2024 届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题 ）已知三棱锥
中，
，三角形
为正三角形，若二面角
为
，则该三棱锥的外接球的体
积为 ．
15
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【答案】
【解析】如图，∵
，即
，∴
.
∴球心
在过
的中点
与平面
垂直的直线上，
同时也在过
的中心
与平面
垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心
.
∵二面角
的大小为
，
易知
，
，
，
，
，
∴三棱锥
的外接球的半径为
.
∴三棱锥
的外接球的体积为
.
故答案为：
17．（陕西省榆林市2023-2024 学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）过球
外一点
作球
的切
线，若切线长为5，且
，则球
的体积为 .
16
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【答案】
【解析】切点为
，则
，则球半径
，
所以球
的体积为
.
故答案为：
18．（四川省南充高级中学2024 届高三第二次模拟（理）试卷试题）已知菱形
中，对角线
，
将
沿着
折叠，使得二面角
为
，
，则三棱锥
的外接球的表面积
为 .
【答案】
【解析】将
沿
折起后，取
中点为
，连接
，
，
则
，
，
可知
即为二面角
的平面角，即
；
设
，则
，
在
中，由余弦定理可得：
，
即
解得
，
即
，可得
，
所以
与
是边长为
的等边三角形，
分别记三角形
与
的重心为
、
，
则
，
；
；
17
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因为
与
都是边长为2 的等边三角形，
所以点
是
的外心，点
是
的外心；
记该几何体
的外接球球心为
，连接
，
，
根据球的性质，可得
平面
，
平面
，
所以
与
都是直角三角形，且
为公共边，
所以
与
全等，因此
，
所以
；
因为
，
，
，
平面
，
所以
平面
；
又
平面
，所以
，
连接
，则外接球半径为
，
所以外接球表面积为
.
故答案为：
.
19．（陕西省西安市部分学校2024 届高三下学期二模考试理科数学试题）如图，在矩形
中，
，
，
，
分别在线段
，
上，
，将
沿
折起，使
到达
的位
置，且平面
平面
，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
18
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【答案】A
【解析】设
的中点为
，连接
，由题可知
为等腰直角三角形，
，又平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
根据题意，
，所以
的外心为
的中点
，
设四面体
的外接球的球心为
，则
平面
，
作
分别交
于
，
，
又
，
，
则
，所以
，
所以
，
，
由
，得
，
即
，解得
，
19
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，所以四面体
外接球的表面积为
.
故选：A.
20．（四川省遂宁市2024 届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为
2 的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为 ．
【答案】
【解析】设圆锥高为
，底面半径为，则
，
，
，
，令
得
或
（舍去），
当
时，
，函数
是增函数；当
时，
．函数
是减函数，
因此当
，
时函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大．
故侧面积为
故答案为：
．
21．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷）所有棱长均为6 的三棱锥，其外
接球和内切球球面上各有一个动点
，则线段
长度的最大值为 .
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为6，则其外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部，
设球心为
，如图，连接
并延长交底面
于
，
则
平面
，且
为底面
的中心，
所以
，
在
中，可求得
，
20
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设外接球半径为
，内切球半径为，
则
，
解得
，
，
所以线段
长度的最大值为
.
故答案为：
.
22．（四川省泸州市2024 届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理科）试题）已知三棱锥
的底
面是边长为3 的等边三角形，且
，
，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，三棱锥
的底面面积是个定值，
侧面
中，顶点到边
的距离也是一个定值，
所以当该三棱锥的体积取得最大值时，平面
平面
，
因为三棱锥
的底面是边长为3 的等边三角形，
所以
，则
，
21
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设
的外接圆的半径分别为
，
则在等边
中，
，
在
中，
，
所以
，
则
，
，
设三棱锥
的外接球的半径为
，
则
，
所以其外接球的表面积为
.
故选：D.
23．（四川省凉山州2024 届高三二诊理科数学试题）已知在三棱锥
中，
，
，
底面
是边长为1 的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在三棱锥
中，
，
，正
的边长为1，
则
，即有
，同理
，而
平面
，
于是
平面
，令正
的外心为
，三棱锥
外接球球心为
，
则
平面
，显然球心
在线段
的中垂面上，取
的中点
，则
，
而
，则四边形
是矩形，
，
所以球半径
，表面积
.
故选：B
22
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题型六：二面角问题
24．（宁夏回族自治区银川一中2024 届高三第二次模拟考试理科数学试题）如图，在四棱锥
中，
平面
平面
，
，
，E 为
中点，点
在
上，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值；
【解析】（1）在
中，
所以
，即
.
又因为
，在平面
中，
，
所以
平面
.
（2）因为平面
平面
，平面
平面
平面
，
所以
平面
，由
平面
，得
.
由（1）知
，且已知
，
故以A 为原点，建立如图空间直角坐标系
，
23
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则
，
.
所以
因为
为
中点，所以
.
由
知，
.
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
.于是
.
由（1）知
平面
，所以平面
的法向量为
.
所以
，
由题知，二面角
为锐角，所以其余弦值为
.
25．（陕西省榆林市2023-2024 学年高三第二次模拟检测数学（理科）试题）如图，在底面是正方形的四
棱柱
中，
平面
，
.
24
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(1)证明：四棱柱
为正四棱柱.
(2)设二面角
为
，求
.
【解析】（1）证明：因为
，
所以
，则
.
又
平面
，
平面
，所以
因为
，
平面
，所以
平面
.
又底面
为正方形，所以四棱柱
为正四棱柱.
（2）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
.
设平面
的一个法向量为
，
25
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则
令
，得
.
设平面
的一个法向量为
，
则
令
，得
.
由
，
所以
.
26．（四川省南充高级中学2024 届高三第二次模拟（理）试卷试题）已知多面体
中，
，且
，
，
.
(1)证明：
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
【解析】（1）如图所示，连接
，
，
在
中，
，
，
，
，
所以
可得
，即
，
同时
，可得
，同理可得
，
26
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又
平面
，
平面
，
且
，所以
平面
；
又因为
平面
，所以
．
（2）在
中，
，且
，
即
，所以
，同时
，
，
以
为原点，
的方向分别为
轴、
轴、轴正方向，
建立空间直角坐标系如图．其中
，
所以
，
设向量
为平面
的法向量，
满足
，即
，
不妨令
，则
，故
，
设向量
为平面
的法向量，
满足
，即
，
不妨令
，则
，故
，
所以
，
由图可知二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
.
27．（陕西省汉中市2023-2024 学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷）已知：如图，三角形
27
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为正三角形，
和
都垂直于平面
，且
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)点
为
上靠近
的三等分点，求二面角
的正弦值．
【解析】（1）取
的中点
，连接
，
以
为坐标原点，
分别为
轴，过
作平行于
的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
28
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因为
，可知
，
所以平面
平面
.
（2）由题意可知
，可得
，
由（1）可知：
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
可得
，
设二面角
为
，
可知
，则
，
所以二面角
的正弦值为
.
28．（四川省凉山州2024 届高三二诊理科数学试题）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
，平面
平面
，
，
是
的中点，作
交
于
．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的正切值．
29
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【解析】（1）连接
交
于点
，连接
，
四边形
为正方形，
为
中点，又
为
中点，
，
平面
，
平面
，
平面
.
（2）
，平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，又
，
以
为坐标原点，
正方向为
轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，解得：
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
30
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则
，令
，解得：
，
，
；
轴
平面
，
平面
的一个法向量
，
由图形可知：二面角
为锐二面角，设其为
，
则
，
，
即二面角
的正切值为
.
29．（四川省德阳市重点高中2024 届高三诊断模拟考试（二）数学（理科）试题）如图1，在矩形
中，
分别为线段
的中点，沿
把
折起，使得
，如图2 所示，
分别为线段
的中点，
(1)求证：平面
平而
；
(2)求二面角
的余弦值．
【解析】（1）由题意，
，
，
，
平面
，且
，
所以
平面
.
取
中点
，连接
,则
.
又
，
，所以
为等边三角形，所以
，
，
平面
，且
，所以
平面
.
所以：以
为原点，建立如图空间直角坐标系：
31
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则
，
，
，
，
，
.
所以
，
，
，
.
设平面
的法向量为：
.
由
，取
.
设平面
的法向量为：
.
由
，取
.
则
，所以
.
故平面
平面
.
（2）又
，
,
设平面
的法向量为
，
由
，取
.
所以
.
又二面角
为锐角，所以其余弦为：
.
30．（四川省遂宁市2024 届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与
BD 交于点O，EF 是
的中位线，AC 与EF 交于点G，已知
是
绕EF 旋转过程中的一个
32
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图形，且
．给出下列结论：
①
平面
；
②平面
平面
；
③二面角
的平面角是直线OP 与平面ABCD 所成角的2 倍．
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
【答案】A
【解析】对①，由
是
的中位线，故
，又
平面
，
平面
，故
平面
，故①正确；
对②，连接
、
、
，菱形ABCD 中，
，即
，
由折叠的性质可知，
，即
，
又
、
平面
，
，故
平面
，
又
平面
，故平面
平面
，故②正确；
对③，连接
，由
是
的中位线，故
为
中点，
故
，即
，
，
由
，
，故
为二面角
的平面角，
由平面
平面
，故点
在平面
的投影必在线段
上，
故
为直线OP 与平面ABCD 所成角，故③正确.
故选：A.
题型七：立体几何中的范围与最值问题及定值问题
31．（陕西省宝鸡市2024 届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题）在四棱锥
中，
33
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底面
为平行四边形，
平面
(1)证明：
；
(2)若
，当
与平面
所成角的正弦值最大时，求四棱锥
的体积．
【解析】（1）
如图，连接
，设
，连接
.
因为，
平面
，
平面
，故
，
而
，
，
平面
，
故
平面
，而
平面
，故
，
由四边形
为平行四边形可得
，故
为等腰三角形，
故
.
（2）设
，
.
由（1）可得
平面
，而
平面
，故
，
故四边形
为菱形，而
，故
.
因为
平面
，
平面
，故
，
故
，同理
.
34
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而
，故
.
设
为点
到平面
的距离，
与平面
所成的角为
，
故
.
又
，
而
，
故
，故
，
故
，
当且仅当
即
时等号成立，
故此时
.
32．（陕西省2024 届高三二轮复习联考（二）理科数学试题）在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱
中，
为底面三角形斜边
上一点，且
，
，
为线段
上一动
点，则平面
截三棱柱所得截面面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】分如下三种情况，①如图1，延长
交
于点
，过点
作
的垂线交
于点，连接
，则四边形
为所求截面；
②如图2，延长
交
于点
，过点
作
的垂线交
于点
，连接
，则四边形
为所
35
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求截面；
③如图3，延长
交
于点
，连接
，则三角形
为所求截面．
显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积，故只需考虑①②中的情况，易知①②中的情况相同，
故只需考虑情况①即可．
在①中，易知
，
，设
，
则
，
，
所以所求截面面积
，
由于
均在
单调递增，所以函数
在
上单调递增，
故
，故截面面积的最大值为
．
故答案为：
33．（四川省成都市2024 届高三下学期第二次诊断性检测理科数学试题）如图，在正四面体
中，
是棱
的两个三等分点．
36
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(1)证明：
；
(2)求出二面角
的平面角中最大角的余弦值．
【解析】（1）
取
的中点为
，连接
．
四面体
为正四面体，
为正三角形．又
为
的中点，
．同理可得
．
平面
，
平面
．
又
平面
．
（2）
取
的中点为
，连接
，设
．
由（1）得
平面
．
平面
．
为二面角
的平面角，
为二面角
的平面角，
为二面角
的平面角．由图形对称性可判断
．
易得
．在
中，
．
在
中，
．同理可得
．
．
37
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．
二面角
的平面角最大，其余弦值等于
．
题型八：距离问题
34．（四川省成都市蓉城名校2024 届高三下学期第二次联考数学（文）试卷）如图，在三棱柱
中，
，
，
，点E，F 分别为BC，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若底面
是边长为2 的正三角形，且平面
平面
，求点
到平面
的距离．
【解析】（1）
作
的中点D，连接DF，DB，
因为点D，F 分别为
，
的中点，所以
，且
，
又由三棱柱的定义，结合点E 为BC 的中点可知：
，且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）作AC 的中点G，连接
，
，
，
，
38
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因为
，
，所以
是正三角形，
又点G 为AC 的中点，所以
，
由平面
平面
，有平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
是三棱锥
的高，
所以
，
又因为
平面
，点
到平面
的距离即为点C 到平面
的距离，
又
，
，
设点C 到平面
的距离为d，则
，解得
．
35．（四川省成都市成实外教育集团2024 届高三联考数学文科试题（二））如图，在四棱锥
中，
底面
为矩形，
平面
，点
是
的中点.
39
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(1)证明：
；
(2)若
，点
为棱
中点，求点
到平面
的距离
【解析】（1）因为
，点
是
的中点，所以
，
因为
平面
平面
，所以平面
平面
，
因为四边形
为矩形，所以
，
因为平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）连接
、
，
因为
，
，所以
，
又点
是
的中点，点
为棱
中点，
所以
，
，
所以
，
又
，
，
因为
平面
，又
平面
，所以
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
.
所以
，
设点
到平面
的距离为
，又
，即
，
即
，所以
，即点
到平面
的距离为
.
40
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题型九：存在性问题
36．（陕西省咸阳市2024 届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科）试题 ）在几何体中，底面
是边长为2 的正三角形．
平面
，若
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)是否在线段
上存在一点
，使得二面角
的大小为
．若存在，求出
的长度，若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）证明：如图，设
分别为
边的中点，连接
，
因为
平面
，
41
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所以
，
,进而
，
即四边形
为平行四边形，可得
，
在底面正三角形
中，
为
边的中点，则
，
又
平面
，且
平面
，所以
．
由于
，且
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，则
平面
，
又
平面
，则平面
平面
．
（2）如图，以点
为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则
．
设点
，则
．
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
．
由题意知
即
令
，则
，即
，
即
取
，则
，
由
，
42
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，解得：
，由于点
为线段
上一点，故
，所以
，
当
时，二面角
所成角为锐角，即存在点
满足，此时
．
37．（四川省宜宾市2024 届高三下学期第二次诊断性考试理科数学试卷）如图，在正三棱柱
中，延长
至
，使
，连接
分别是
的中点，动点
在直线
上，
.
(1)证明：
∥平面
；
(2)试确定点
位置，使二面角
的余弦值为
.
【解析】（1）连接
，可知
为
的中点，
且
分别是
的中点，则
∥
，
且
平面
，
平面
，所以
∥平面
.
（2）分别取
的中点
，连接
，
由题意可知：
，
以
为坐标原点，
分别为
轴，过
作平行于
的直线为轴，建立空间直角坐标系，
43
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则
，
设
，可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
由题意可得：
，
整理得
，解得
或
，
结合图形可知
或
均符合题意，
所以当点
为点
或点
时，二面角
的余弦值为
.
38．（四川省遂宁市2024 届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）如图，在三棱锥
中，M 为
AC 边上的一点，
，
，
，
．
44
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(1)证明：平面
平面
；
(2)若直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为
，且二面角
为锐二面角，求二面角
的
正弦值．
【解析】（1）因为在
中，
，
，
，
所以
，又因为
，所以
，
则
，
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
，于是
，
，
又
，
，
、
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）因为二面角
为锐二面角，
平面
平面
，平面
平面
，
过点
作
平面
于
点，则
点必在线段
上，
连接
，可知
为
与平面
所成的角，
在
中，
，
，得
，
在
中，
，
，得
，
以
为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系
，
45
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则
，
，
，
，
则有
，
，
，
设平面
、平面
的法向量分别为
，
则有
，
，
令
，
，可得
，
，
设二面角
的平面角为
，
所以
，即
，
故二面角
的正弦值为
.
39．（四川省泸州市2024 届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理科）试题）如图，ABCD 为圆柱底面
的内接四边形，AC 为底面圆的直径，PC 为圆柱的母线，且
．
(1)求证：
；
46
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(2)若
，点F 在线段PA 上，且
，求二面角
的余弦值．
【解析】（1）因为
为底面圆的直径，则
，
又
，
，所以
，所以
，
结合
为底面圆的直径，利用圆的对称性可得
，
又
为圆柱的母线，即
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
.
（2）以
为原点，
所在直线为
轴，过
且垂直于平面
的直线为
轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
在
中，因为
，所以
，
设
与
相交于
，在
中，
，则
，
则
，
，
，
，
因为
，所以
，
则
，
又
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
47
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取
，得
，
，则
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
取
，得
，
，则
，
设二面角
的平面角为
，易知
，
所以
，
故二面角
的余弦值为
.
48
