1
与圆有关的计算
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1.掌握弧长、扇形面积、圆锥的体积和表面积的计算公式；
2.掌握弧长、扇形面积、圆锥的体积和表面积的应用.
1．相关名词
弧长：在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长。
扇形：_____________________所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。
圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360 度而成的曲面所围成
的几何体叫做圆锥。
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母
线÷2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，
侧面展开图是扇形。
2.圆中有关计算：
（1）圆的面积公式：
，周长C＝2πR．
（2）弧长：圆心角为n°、半径为R， ________________．
（3）扇形的面积：圆心角为n°，半径为R，弧长为l，____________．
（4）弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．
需根据不同的情况作出不同的处理：
2
①当弓形所含弧为劣弧时，S 弓=S 扇-S△
②当弓形所含弧为优弧时，S 弓=S 扇+S△
③当弓形所含弧为半圆时，S 弓=
S 圆
（5）圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l 的圆柱的体积为
，侧面
积为2πRl，全面积为
．
（6）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h 的圆锥的侧面积为πRl
，全面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
．
参考答案：
1. 一条弧和经过这条弧两端的两条半径
2.(2)
(3) S
1.弧长的有关计算
【例1】已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】根据弧长公式带公式计算即可。
【答案】B
练习1. 在半径为5 的
中，弦AB=5，则
的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
练习2.弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是 （ ）
A．3600
π
B．1800
π
C．900
π
D．60°
【答案】B
2.扇形面积的有关计算
【例2】如图，△ABC 中，BC＝4，以点A 为圆心，2 为半径的⊙A 与BC 相切于点D，交AB 于
E，交AC 于F，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则圆中阴影部分的面积是( )．
A．4−π
9
B．4−8 π
9
C．8−4π
9
D．8−8π
9
【解析】阴影部分的面积可用三角形的面积减去扇形的面积即可求。
【答案】B
3
练习3．已知：如图，在边长为a 的正△ABC 中，分别以A，B，C 点为圆心，
1
2 a
长为半径作
，
，
，求阴影部分的面积．
【答案】( √3
4 −π
8 )a2.
练习4．已知：如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，BC =4√3,以A 点为圆心，AC 长为半径
作
，求∠B 与
围成的阴影部分的面积．
【答案】8√3−8
3 π .
3.圆锥的有关计算
【例3】用半径为6 的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ）
A.3
B.2.5
C.2
D.1.5
【解析】设底面半径为R，圆锥的底面圆周长等于半圆的周长可求底面圆半径。
【答案】解：设底面半径为R，则底面周长=2Rπ，半圆的弧长= ×2π×6=2πR，
∴R=3．
故选A．
练习5. 已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（ ）
A.12cm
B.10cm
C.8cm
D.6cm
【答案】B
练习6. 用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为
（ ）
A. 2πcm
B. 1.5cm
C. πcm
D. 1cm
【答案】D
4.弓形面积
【例4】如图2，两个同心圆被两条半径截得的
的长为6πcm,
的长为10πcm，若
AB=12cm,求图中阴影部分的面积。
4
【解析】本题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。阴影面积等于
两个扇形面积之差。
【答案】解：设∠O=α，由弧长公式得6π=
, 10π=
,
∴ OA=
, OB=
.
又∵ AB=OB-OA,
∴ 12=
-
,
∴ α=60°,
∴ OA=
=18, OB=
=30.
∴ 阴影部分的面积为：
-
=
=96π
练习7. 已知如图⊙O1为含120°弧的弓形的直径最大的内切圆，求证：这个内切圆的周长等于
弧长的
。
【解析】欲证内切圆的周长和含此内切圆弓形的弧之间的关系，需求出：内切圆⊙O1的周长
2πr，及弓形的弧AB 的长，找到r 与⊙O 的半径R 的关系，结论易证。
【答案】证明：设⊙O1切弓形于C、D，OA=R，O1C=r，
∵ ∠AOB=120°， ∴
的长=
×
=
πR，
又∵ ∠OAB=
(180°-120°)=30°， ∴ OC=
OA=
R,
∴ r=
(OD-OC)=
(R-
R)=
R,
5
又⊙O1的周长=2πr=2π·
R=
πR,
∴ ⊙O1的周长等于弧长的
.
练习8. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm，贴纸
部分BD 的长为20cm，则贴纸部分的面积为( )．
8 题图
A．100πcm2
B．
400
3 πcm2
C．800πcm2
D．800
3 πcm2
【答案】D
5.阴影部分的面积
【例5】已知如图半径OA=6cm,C 为OB 的中点,∠AOB=120°,求阴影部分面积S 阴影ABC.
【解析】求阴影部分的面积，最关键的就是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或
差，以上为例，S 阴影可以折分为S 扇形OAB与SDAOC的差，也可以折分为SDABC与S 弓形AB的
和，但因为这两个面积，求起来较繁锁，所以到底用哪种方法，要有所选择。欲求S
阴影ABC,从图形上看是不规则图形,所以问题的关键是将不规则的图形转化为规则图形面
积的和或差，观察图形会发现S 阴影=S 扇形OAB-S△ACO,故可求得.
【答案】解:由图示可知S 阴影ABC=S 扇形-S△ACO,
而S 扇形OAB=
=12π(cm2),
∴ S△ACO=
×6×3·sin60°=
(cm2),
∴ S 阴影ABC=(12π-
)cm2.
练习9．如图,PA,PB 分别切圆O 于A、B,并且∠AOB 是钝角,如果四边形PAOB 的周长和面积分别
为8(1+
)和16
,求劣弧AB 与两切线所夹部分的面积,(即阴影面积)
6
【解析】求阴影部分的面积,首先要观察它的构成,是由四边形AOBP 的面积去掉扇形AOB 的面
积.具体求它们的值时,尚须连结OP,构造直角三角形.
【答案】解:连结OP，
∵ PA、PB 分别切⊙O 于A、B,
∴ ∠OAP=∠OBP=90°,
又PA=PB,AO=BO,
∴ Rt△PAO≌Rt△PBO,
∴ Rt△PAO 的面积=
×四边形PAOB 的面积=8
.
又Rt△PAO 的面积=
×AO·PA,
∴ OA·PA=16
.
已知OA+PA=
×8(1+
)=4(1+
).
∴ OA、PA 为方程x2-4(1+
)x+16
=0 的两根，
解得x1=4，x2=4
，但∠AOB 是钝角，∴ PA>OA,
∴ PA=4
,OA=4.
在Rt△PAO 中,tan∠POA=
=
.
∴ ∠POA=60°,∠AOB=120°,
扇形OAB 的面积=
×42π=
π.
∴ 劣弧AB 与两切线所夹部分的面积为16
-
π.
7
练习10.如图,∠AOB=90°,AC∥OB,OA=1,
是以O 为圆心的弧,
是以A 为圆心的弧,求图中阴影
部分ABC 的面积.
【答案】解:连结AB,
∵ △AOB 为等腰直角三角形,
∴ AB=
,
∵ ∠O=90°,OA=OB=1,
∴ S 扇形OAB=
πR2=
,
S 扇形ABC=
π(
)2=
,
S 弓形AmB=S 扇形OAB-S△AOB=
-
AO·BO=
-
.
S 阴影=S 扇形ABC-S 弓形AmB
=
-(
-
)
=
【例6】（2014 广东广州一模）如图，已知圆柱体底面圆的半径为
，高为2，AB.CD 分别是
两底面的直径，AD.BC 是母线若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬
行的最短D 路线的长度是 (结果保留根式)．
【解析】把圆锥体展开，两点之间线段最短，求对角线的长度即可。
【答案】解.小虫爬行的最短路线的长度是=
=2
练习11. AB 是⊙O 的直径，点D、E 是半圆的三等分点，AE、BD 的延长线交于点C，若CE=2，
则图中阴影部分的面积是（ ）
2
2
2
2
2
2
8
A.
π－
B.
π
C.
π－
D.
π
【解析】解.∵
∴ ∠A=∠ABC=600
∴△ABC 是等边三角形 又 AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=900
即 BE⊥AE，∴AC=2CE=4=AB
∴S 阴=S 扇形OBE －S▲ABE=
π－
【答案】A
练习12. 已知矩形ABCD 的一边AB=5cm,另一边AD=2cm，求：以直线AB 为轴旋转一周，所得
到的圆柱的表面积
【答案】解：C=2π·AD=4π(cm)
S=2π·AD2+C·AB=28π(cm2)
1.一条弧所对的圆心角是
，半径是
，则这条弧的长是
．【答案】
2.在半径为1 的圆中，弦AB=1，则
的长为 。【答案】
π
3
3. 若
的长为所对的圆的直径长，则
所对的圆周角的度数为
．【答案】
4.如图所示，OA=30B，则
的长是
的长的_____倍．【答案】3
5.一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm的圆周长，求这弧所在圆的半径．
【答案】7.2cm
6.在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=_______．【答案】
nπR
180 ;
7．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个扇形(即阴影
部分)的面积之和为( )．【答案】A
4
3
3
2
3
2
3
3
1
3
AE
ED
DB
4
3
3
AD
BC
9
7 题图
A．25
4 π
B．25
8 π
C．25
16 π
D．25
32 π
8．____________和______所围成的图形叫做扇形．在半径为R 的圆中，圆心角为n°的扇形面积S 扇
形=__________；若l 为扇形的弧长，则S 扇形=__________．
【答案】由组成圆心角的两条半径，圆心角所对的弧，
nπR2
360 , 1
2 lR .
9．如图，在半径为R 的⊙O 中，弦AB 与
所围成的图形叫做弓形．【答案】S△OAB，S 扇形．
当
为劣弧时，S 弓形=S 扇形－______；
当
为优弧时，S 弓形=______＋S△OAB．
10．半径为8cm 的圆中，72°的圆心角所对的弧长为______；弧长为8cm 的圆心角约为______(精
确到1′)．【答案】
16
5 π ,57o19
'.
11．半径为5cm 的圆中，若扇形面积为
25π
3
cm2
，则它的圆心角为______．若扇形面积为
15cm2，则它的圆心角为______．【答案】120°，216°
12．若半径为6cm 的圆中，扇形面积为9cm2，则它的弧长为______．【答案】3πcm
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10
1.（2014 辽宁旅顺一中期末）若圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为
120°，则圆锥的侧面积为 ．【答案】360π
2.（2014 海南中考）正方形ABCD 的边长为2cm，以B 点为圆心，AB 长为半径作
，则图中
阴影部分的面积为（ ）
【答案】A
A.（4— π）cm2
B.（8—π ）cm2
C .（2π —4）cm2
D.（π —2）cm2
3.（2014 山西太谷中考）要在面积为1256m2的三角形广场ABC 的三个角处各建一个半径相同
的扇形草坪，要求草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径应是 m（π 取
3.14）【答案】20
4.（2014 陕西西安中考）已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（
）
【答案】A
A.48π
B.48
C.24π
D.24
5.钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40 分钟，分针针端转过的弧长是（ ）
【答案】A
A.
B.
C.
D.
6.如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心.2 为半径的⊙A 与BC 相切于点D，交AB 于E，
交 AC 于F，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．
【答案】B
A．4－
π
B．4－
π
C．8－
π
D．8－
π
7.已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）【答
案】C
A．1：2
B．2：1
C．1：4
D．4：1
8.圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积为（ ）【答案】D
A. 60πcm2
B. 45πcm2
C. 30πcm2
D.15πcm2.
AC
cm
3
10π
cm
3
20π
cm
3
25π
cm
3
50π
9
4
9
8
9
4
9
8
11
9.如图1，O 为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB 剖开，得剖面矩形
ABCD，AD＝24 cm，AB＝25 cm．若
的长为底面周长的
，如图2 所示．
(1)求⊙O 的半径；
(2)求这个圆柱形木块的表面积．(结果可保留根号)
【答案】（1） 连接0A，过点O 作OH⊥AD ∵
的长是底面圆周长的
∴∠AOD=1200 在Rt▲AHO 中，AO=
=8
（2）S 表=2π·AO·AB+2π·AO2=（400
+384）π
3
2
3
2
0
12
sin 60
3
3
课程顾问签字： 教学主管签字：
