文档文本内容
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分式方程应用
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1.能熟练的运用多种方法分解因式；
2.掌握十字交叉相乘的方法分解因式.
1. 列分式方程
基本步骤
①
审—仔细审题，找出________________。
②
设—合理___________。
③
列—根据等量关系列出方程（组）。
④
解—解出方程（组）。注意_______.
⑤
答—答题。
2.列方程解应用题的基本关系量：
行程问题：__________________
顺水速度=静水速度—水流速度
逆水速度=静水速度—水流速度
工程问题：_________________
浓度问题：溶液×浓度=溶质
银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间
1.工程问题
【例1】（2014 河南新乡中考）甲、乙两个工程队各有20 人，两队合做某项工程10 天后，
因甲队另有任务，乙队又单独做了2 天才完成。已知单独完成这项工程，甲队比
乙队可以快4 天，设厂家需付甲队每人每天100 元，需付乙队每人每天90 元，试
从甲、乙两队中选出一个工程队来完成此项工程。请你通过计算说明选哪个工程
队节省费用。
【解析】工程问题的等量关系是看总工作量单位“1”是怎么完成的。
2
【答案】解：设甲队单独完成此项工程需x 天，依题意，有
解得
，
（舍去）
甲队单独完成需费用
（元）
乙队单独完成需费用
（元）
比较甲、乙两队的总费用，知甲队低于乙队，故应选甲队。
练习1. 近年来我国的高速公路建设有了较大的发展，有力地促进了经济建设。正在修建的
某段高速公路需要招标。现有甲、乙两个工程队，若甲乙两队合作，24 天可以完
成，需费用98.4 万元；若甲单独做20 天后，剩下的工程由乙做，还需40 天才能
完成，这样需费用98 万元，若选一个工程队单独完成此项工程，从节约开支角度
考虑，应选择甲工程队，还是乙工程队？
练习2. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙
单独做则要超过3 天。现在甲、乙两人合作2 天后，再由乙单独做，正好按期完
成。问规定日期是多少天？
2.路程问题
【例2】（2014 年吉林四平一模）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。小明家到
王老师家的路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km。由于小明的父亲战斗
在抗击“非典”第一线，为了使小明能按时到校，王老师每天骑自行车接他上学。
已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3 倍，每天比平时步行上班多用
20min。问王老师步行的速度及骑自行车的速度各是多少？
【解析】路程问题主要是弄清路程、速度、时间三者之间的关系找到等量关系即可。
【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h，则骑自行车的速度为3x km/h
由题意，得
3
解这个方程，得x＝5，经检验x＝5 是原方程的根。
则3x＝15
答：王老师步行的速度为5km/h，骑自行车的速度为15km/h。
练习3. （2014 福建南平一中月考） 某校师生到距学校20 千米的公路旁植树，甲班师生骑
自行车先走45 分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽
车的速度是自行车速度的2.5 倍，求两种车的速度各是多少？
练习4. （2014 北京昌平一模）某学校组织九年级（1）班和（2）班的学生到离校5 千米的
“农业嘉年华”参观，（1）班学生的行进速度是（2）班学生速度的1.25 倍，结
果（1）班学生比（2）班学生早到15 分钟，求（2）班学生的速度．
3.产品问题
【例3】“丽园”开发公司生产的960 件新产品，需要精加工后才能投放市场。现有甲乙两
个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工
完这批产品多用20 天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8 件产品，公司需付甲工厂
加工费每天80 元，乙工厂加工费每天120 元。
（1）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂
家同时合作完成。在加工过程中，公司需派一名工程师每天到厂进行技
术指导，并负担每天5 元的误餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时
又省钱的加工方案，并说明理由。
【解析】生产总量=工作效率×生产时间，审清题意，找到等量关系即可。
【答案】解：（1）设甲工厂每天能加工x 件产品，则乙工厂每天能加工
件产品，依
题意得：
解得
，
（舍去）
x+8=24
（2）甲工厂单独完成这批新产品所需的时间为
（天）
所需费用为
（元）
乙工厂单独加工完成这批新产品所需的时间为960÷24=40（天）
所需费用为
（元）
设他们合作完成这批新产品所用时间为y 天，于是
，解得y=24
所需费用为
（元）
4
，
选择甲乙两家工厂合作加工完成这批新产品，既省时又省钱。
练习5．（2014 北京大兴一模）为了改善生态环境，防沙造林，某村计划在荒坡上种植480
棵树，由于有志愿者的支援，每日比原计划多种
，结果提前4 天完成任务，问
原计划每天种多少棵树？
练习6. （2014 北京海淀一模）雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500 顶帐篷
支援灾区，加工了300 顶帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2
倍，结果提前4 天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷.
4.行船问题
【例4】一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100 千米
所用时间，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？
【解析】设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到
方程
.
【答案】解：设江水的流速为v 千米/时，根据题意得，
解得，v=5
经检验，v=5 是原方程的解，且符合题意.
答：江水的流速为5 千米/时。
练习7. 一艘轮船从甲地顺流行至乙地，然后再从乙地逆流返回甲地，已知水流速度为
3km/h，去时所需时间是回来所需时间的
，求轮船在静水中的速度．
练习8. 船先顺水航行46 千米再逆水航行34 千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80 千
米所用的时间相等，水的流速是每小时3 千米，则轮船在静水中的速度是
_______千米/时．
5. 浓度、百分率问题
【例5】某超级市场销售一种计算器，每个售价48 元．后来，计算器的进价降低了
，但
售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了
．这种计算器原来每个
进价是多少元？（利润
售价
进价，利润率
）
【解析】以利润率为等量关系列出等量关系即可。
【答案】解：设这种计算器原来每个的进价为x 元，
5
根据题意，得
．
解这个方程，得写x=40．
经检验，x=40 是原方程的根．
答：这种计算器原来每个的进价是40 元．
练习9．甲容器中有15%的盐水30 升，乙容器中有18%的盐水20 升，如果向两个容器个加
入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
练习10. 南宁市2006 年的污水处理量为10 万吨/天，2007 年的污水处理量为34 万吨/天，
2007 年平均每天的污水排放量是2006 年平均每天污水排放量的1.05 倍，若2007
年每天的污水处理率比2006 年每天的污水处理率提高
（污水处理率
）．
（1）求南宁市2006 年、2007 年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整
数）
（2）预计我市2010 年平均每天的污水排放量比2007 年平均每天污水排放量增加
，
按照国家要求“2010 年省会城市的污水处理率不低于
”，那么我市2010 年每天
污水处理量在2007 年每天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨，才能符合
国家规定的要求？
6.经济问题
【例6】在城区改造项目中，区政府对某旧小区进行节能窗户改造．该小区拥有相同数量的
A、B 两种户型．已知所有A 户型窗户改造的总费用为54 万元，所有B 户型窗户
改造的总费用为48 万元，且B 户型窗户的每户改造费用比A 户型窗户的每户改造
费用便宜500 元．问A、B 两种户型的每户窗户改造费用各为多少元？
【解析】以拥有相同数量的A、B 两种户型为等量关系即可列出方程。
【答案】解：设A 户型的每户窗户改造费用为x 元，则B 户型的每户窗户改造费用为(x-500)
元
根据题意，列方程得
540000
x
=480000
x−500 ．
解得x=4500 ．
经检验，x=4500 是原方程的解，且符合题意．
x-500=4000
∴
．
答：A 户型的每户窗户改造费用为4500 元，B 户型的每户窗户改造费用为4000 元．
练习11. 为帮助地震灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000
元，第二次捐款总额为12000 元，且两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比
第一次多50 人．求该校第二次捐款的人数．
练习12. 某商店在“端午节”到来之际，以2400 元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进
价增加20%作为售价，售出了50 盒；节日过后每盒以低于进价5 元作为售价，售
完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350 元，求每盒粽子的进价．
6
1．张老师和李老师同时从学校出发，步行15 千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时
多走1 千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小
时走x 千米，依题意，得到的方程是：（ ）
A.
B.
C.
D.
2.某施工队挖掘一条长96 米的隧道，开工后每天比原计划多挖2 米，结果提前4 天完成任务，
原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖
米，则依题意列出正确的方程为( )
A.
B.
C.
D.
3. （2014 福建三明一模）甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地.已知A、B 两地的
距离为30km，甲每小时比乙多走3km，并且比乙先到40 分钟．设乙每小时走xkm，则
可列方程为（ ）
A.
－
＝
B.
－
＝
C.
－
＝
D.
－
＝
4.某中学全体同学到距学校15 千米的科技馆参观,一部分同学骑自行车走40 分钟后,其余同
学乘汽车出发,结果他们同时到达科技馆, 已知汽车的速度是自行车速度的3 倍,求汽车的
速度.设汽车的速度是x 千米/小时,则汽车行驶时间为______, 自行车行驶时间为______.
根据题意列方程________.解得汽车的速度为_______.
5. （2014 湖南岳阳一模）为改善生态环境,防止水土流失,某村拟在荒坡地上种植960 棵树,
由于青年团员的支持,每日比原计划多种20 棵,结果提前4 天完成任务,原计划每天种植多
少棵?设原计划每天种植x 棵,根据题意得方程____________.
6.重量相同的两种商品，分别价值900 元和1500 元,已知第一种商品每千克的价值比第二种
少300 元,分别求这两种商品每千克的价值.
7.某客车从甲地到乙地走全长480Km 的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km 的普通公路.又
知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的
时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需
要的时间.
8.（2014 四川攀枝花一中期末）从甲地到乙地的路程是15 千米，A 骑自行车从甲地到乙地，
先走40 分钟后，B 骑自行车从甲地出发，结果同时到达.已知B 的速度是A 的速度的3 倍，
求两车的速度.
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9.A 做90 个零件所需要的时间和B 做120 个零件所用的时间相同，又知每小时A、B 两人共做
35 个机器零件.求A、B 每小时各做多少个零件.
10.请先阅读下列一段文字，然后解答问题：
初中数学课本中有这样一段叙述：“要比较a 与b 的大小，可以先求出a 与b 的差，
再看这个差是正数、负数还是零，”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它
们的差就可以.
问题：甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同）
甲每次购买粮食100kg，乙每次购粮用去100 元.
（1）设第一、第二次购粮单价分别为x 元/kg 和y 元/kg，用含x、y 的代数式表示：
甲两次购买粮食共需付粮款＿＿＿元，乙两次共购买＿＿＿kg 粮食.若甲两次购粮的平均
单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1＝＿＿＿，Q2＝＿＿＿.
（2）若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙
两人的购粮方式哪一个更合算，并说明理由.
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1.甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2 天完成总量的三分
之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1 天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量
需要（ ）
A．6 天
B．4 天
C．3 天
D．2 天
2.炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66 台空调，乙安装队为B 小区安装60 台空调，两队同时
开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2 台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面
所列方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬
菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜
kg，根据题意，可得方程（ ）
A．
B．
C．
D．
4.赵强同学借了一本书，共280 页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天
要多读21 页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平
均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( )
8
A.
=14
B.
=14
C.
=14
D.
=1
5. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v1 千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v2 千米，
那么可提前到达________小时.
6. 农机厂职工到距工厂15 千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40 分钟后，其余人
乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3 倍，若设自行车的速度
为x 千米/时，则所列方程为 .
7.飞机从A 到B 的速度是v1，返回的速度是v2，往返一次的平均速度是 .
8.某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通
所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8 小时完成任务．求原计划每
小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程
.
9.有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3 天完
成；现在先由甲、乙两队合做2 天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完
成，问规定日期多少天？
10.小兰的妈妈在供销大厦用12.50 元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，
同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2 元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商
场去买，结果用去18.40 元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多
3
5 倍，问她第一次在供销大厦
买了几瓶酸奶？
课程顾问签字： 教学主管签字：
