文档文本内容
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变量与函数
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1、了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在。
2、理解变量与函数的概念以及相互之间的关系。
3、增强对变量的理解。
4、渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想。
1、常量和变量的定义
在一个变化过程中：发生变化的量叫做___________；不变的量叫做__________________；
2、函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是_______，y 是x 的______．
如果当x=a 时，对应的y=b，那么b 叫做当自变量的值为a 时的__________．
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法．这种式
子叫做函数的____________．
3、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，
那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
4、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出
表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
5、函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之
间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但
有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
2
参考答案：1、变量 常量
2、自变量 函数 函数值 解析式
1、变量和常量的定义
【例1】（2015 年上海月考）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这
一问题中，自变量是（ ）
A、沙漠
B、体温
C、时间
D、骆驼
分析：因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x 和y，对
于每一个x 的值，y 都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是时间．
解答：∵骆驼的体温随时间的变化而变化，
∴自变量是时间；
故选C．
点评：函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x，变
量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数．
练1、明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，
因变量是（ ）
A、明明
B、电话费
C、时间
D、爷爷
分析：根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与
之对应．
解答：∵电话费随着时间的变化而变化，
∴自变量是时间，因变量是电话费；
故本题选B．
点评：函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x，变
量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，其中x 叫自变量，y
叫x 的函数．
练2、（2014 年河师大附中期中）在△ABC 中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积
S=1
2
ah，当a 为定长时，在此式中（ ）
A、S，h 是变量，1
2
，a 是常量
B、S，h，a 是变量，1
2
是常量
C、S，h 是变量，1
2
，S 是常量
D、S 是变量，1
2
，a，h 是常量
分析：根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与
之对应；来解答即可．
解答：∵三角形面积S=1
2
ah，
∴当a 为定长时，在此式中S，h 是变量，
1
2
，a 是常量；
故本题选A．
3
点评：函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x，变
量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，记作y=f（x）；变量
是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
练3、人的身高h 随时间t 的变化而变化，那么下列说法正确的是（ ）
A、h，t 都是不变量
B、t 是自变量，h 是因变量
C、h，t 都是自变量
D、h 是自变量，t 是因变量
分析：因为函数的定义中，因变量y 随自变量x 的变化而变化，利用这一关系即可作出判断．
解答：因为人的身高h 随时间t 的变化而变化，所以t 是自变量，h 是因变量；故本题选B．
点评：本题的解决需灵活掌握函数的定义．
【例2】在圆的面积计算公式S=πR2中，变量是（ ）
A、S
B、R
C、π，R
D、S，R
分析：在圆的面积计算公式S=πR2中，π 是圆周率，是常数，变量为S，R．
解答：解：在圆的面积计算公式S=πR2中，变量为S，R．
故选D．
点评：圆的面积S 随半径R 的变化而变化，所以S，R 都是变量，其中R 是自变量，S 是因变量．
练4、（2014 年华科附期中）在圆的周长公式C=2πr 中，下列说法错误的是（ ）
A、C，π，r 是变量，2 是常量
B、C，r 是变量，2π 是常量
C、r 是自变量，C 是r 的函数
D、将C=2πr 写成r= C
2π
，则可看作C 是自变量，
r 是C 的函数
分析：根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与
之对应来解答即可．
解答：在圆的周长公式C=2πr 中，C 是r 的函数，C，r 是变量，2π 是常量，将C=2πr 写成
r= C
2π
，则可看作C 是自变量，r 是C 的函数，故说法错误的是A．故选A．
点评：本题考查了常量与变量的知识，注意掌握函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是实数
集的某个子集，若对于D 中的每个值x，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变
量y 为变量x 的函数，记作y=f（x）；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
练5、（2014 年深大附中期中）在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中，常量是__________，变量
是__________．
分析：因为在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中，再结合函数的概念即可作出判断．
解答：解：因为在公式s=v0t+2t2（v0为已知数），所以v0、2 是常量，s、t 是变量．
点评：解答此题的关键是熟知以下概念：
函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的
值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．
常量与变量：在某一变化过程中始终保持不变的量叫常量；不断变化的量叫变量．
练6、（2014 年理工附中期中）多边形内角和α 与边数之间的关系是α=（n﹣2）×180゜，
这个关系式中的变量是__________，常量（不变的量）是__________．
分析：根据常量与变量的定义进行解答．
解答：解：α=（n﹣2）×180゜，这个关系式中的变量是n，α，常量（不变的量）是2，
4
180．
故答案为：n，α；2，180．
点评：本题考查了常量与变量的定义，一般情况下，常量是常数不变的量，变量是变化的量，
是基础题，比较简单．
2、函数定义和解析式
【例3】（2014 年雅礼中学期中）齿轮每分钟转120 转，如果用n 表示转数，t 表示时间(分)，
那么用t 表示n 的关系式是___________，其中常量是__________，变量是___________。
解析：根据题意可知齿轮的速度为120 转/分，则知n=120t。有定义可知，变化的量是t，n。
其中n 随着时间的变化而变化，不变的是齿轮的速度。
答案：n=120t 120 n、t
练7、某种商品的单价是每只5 元，它的销售额y(元)与所售商品数量x(只)之间的关系式是，
其中__________是变量，__________是常量．
答案：y＝5x y、x 5
练8、若某一汽车速度为每小时100 千米，则行驶路程s(千米)与所用时间t(小时)的关系式是，
其中___________是常量，_____________是变量．
答案：s＝100t 100 s、t
练9、下列命题中错误的是( )
A．在等速运动公式s＝vt 中，v 是常量
B．在用公式C＝2
R 计算不同的半径所对应的周长C 时，C,R 是变量，2
是常量
C．练习本定价0．5 元／个，买x 个本子付款y 元，它们的关系可以表示成y＝0．5x，
这里的x 为自然数
D．今有360 本图书借给学生阅读，每人9 本，则余下书数y(本)与学生数x(个)间的关
系为y=360－9x，其自变量x 的取值范围是0≤x<40
答案：D
练10、（2014 年巴蜀中学期中）某商店在售货时，其售货数量x(千克)与所得金额y(元)如下
表所示．
售货量x（千克）
所得金额y
1
8+0.4
2
16+0.8
3
24+1.2
4
32+1.6
…
…
(1)写出y 与x 之间的关系式．
(2)当售货量为12．5 千克时，所得金额为多少元?
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答案： (1)y=8.4x (2)105
1、从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前速度随时间的增大而
逐渐增大，这个问题中自变量是（ ）
A、物体
B、速度
C、时间
D、空气
2、对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是（ ）
A、π、R 是变量，2 是常量
B、R 是变量，π 是常量
C、C 是变量，π、R 是常量
D、R 是变量，2、π 是常量
3、在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个
问题中因变量是（ ）
A、太阳光强弱
B、水的温度
C、所晒时间
D、热水器
4、重百大楼的销售量随商品价格的高低而变化，在这个变化过程中，自变量是（ ）
A、销售量
B、顾客
C、商品
D、商品的价格
5、在△ABC 中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=1
2
ah，当a 为定长时，在此
式中（ ）
A、S，h 是变量，1
2
，a 是常量
B、S，h，a 是变量，1
2
是常量
C、S，h 是变量，1
2
，S 是常量
D、S 是变量，1
2
，a，h 是常量
6、人的身高h 随时间t 的变化而变化，那么下列说法正确的是（ ）
A、h，t 都是不变量
B、t 是自变量，h 是因变量
C、h，t 都是自变量
D、h 是自变量，t 是因变量
7、在圆的面积计算公式S=πR2中，变量是（ ）
A、S
B、R
C、π，R
D、S，R
8、某人要在规定的时间内加工100 个零件，则工作效率η 与时间t 之间的关系中，下列说法
正确的是（ ）
A、数100 和η，t 都是变量
B、数100 和η 都是常量
C、η 和t 是变量
D、数100 和t 都是常量
9．某商店进一批货，每件10 元，售出时，每件加利润2 元，如售出x 件，应收货款y 元，则
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y 与x 之间的关系式为__________，其中__________是常量，___________是变量．当x＝12 时，y
＝_______。
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1、正方体体积V 和棱长a 之间的关系是___________，其中的变量是 ．
2、在匀速运动公式s=vt 中，v 表示速度，t 表示时间，s 表示在时间t 内所走的路程，则变量
是__________，常量是__________．
3、某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中__________是自变
量，__________是因变量．
4、在公式s=50t 中常量是__________，变量是__________．
5、在y=ax2+h（a、h 是常量）中，因变量是__________．
6、多边形内角和α 与边数之间的关系是α=（n﹣2）×180゜，这个关系式中的变量是
__________，常量（不变的量）是__________．
7、在匀速运动公式S=3t 中，3 表示速度，t 表示时间，S 表示在时间t 内所走的路程，则变量
是__________，常量是__________．
8、在关系式V=30﹣2t 中，V 随着t 的变化而变化，其中自变量是__________，因变量是
__________，当t=__________时，V=0．
9、直角三角形两锐角的度数分别为x，y，其关系式为y=90﹣x，其中变量为__________，常
量为__________．
10、圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r 由小到大变化时，圆柱的体积V 也随之发生变化．
在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________．
11、一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么就是说x 是__________，y 是x 的__________．
12、为了测量一种皮球的弹起高度与下落高度之间关系，通过试验，测得下列一组数据：(单
位：厘米)
下落高度
40
60
80
100
弹跳高度
30
45
60
75
试根据两组数据的关系写出下落高度H 与弹跳高度h 之间的关系式．
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13、某城市出租车收费按路程计算．3km 之内(包括3km)收费6 元，超过3km 每增加1km 加收
1．6 元，则路程x≥3km 时，车费y(元)与路程x(km)之间的关系式为_______________________。
参考答案
当堂检测
1、解答：因为速度随时间的变化而变化，故时间是自变量，速度是因变量，即速度是时间的
函数．故本题选C．
2、解答：解：C、R 是变量，2、π 是常量．故选D．
3、分析：函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x 在某一范围内的每一
个确定的值，y 都有唯一的值与它对应，那么称y 是x 的函数，x 叫自变量．函数关系式中，某特
定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．
解答：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时
间为自变量．故选B．
4、分析：根据题意，销售量随商品价格的高低而变化，结合函数的定义，分析可得答案．
解答：根据题意，销售量随商品价格的高低而变化，则在这个变化过程中，自变量是商品的价
格，故选D．
点评：本题考查函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x 的每一个取值，y
都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．
5、分析：根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y
与之对应；来解答即可．
解答：∵三角形面积S=1
2
ah，
∴当a 为定长时，在此式中S，h 是变量，
a 是常量；
故本题选A．
点评：函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x，变
量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，记作y=f（x）；变量
是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
6、解答：因为人的身高h 随时间t 的变化而变化，所以t 是自变量，h 是因变量；故本题选
B．
7、解答：在圆的面积计算公式S=πR2中，变量为S，R．故选D．
8、解答：某人要在规定的时间内加工100 个零件，则工作效率η 与时间t 之间的关系中：η
和t 是变量，零件的个数100 是常量．故选C．
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9、答案：y=12x 12 y、x 144 元
家庭作业
1、答案：v=a3 v、a
2、分析：在一个变化过程中，有两个变量，一个量变化，另一个量也随之变化，变化的量为
自变量，随之变化的量为函数．
解答：在公式s=vt 中，s、t 为变量，v 为常量．
点评：本题考查了函数的定义，是基础知识，比较简单．
3、分析：函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就
称为因变量，会变动的数为自变量．
解答：根据题意知，公司的销售收入随销售量的变化而变化，所以销售量是自变量，收入数为
因变量．
点评：本题考查的是对函数定义中自变量和因变量的判定和对定义的理解．
4、分析：根据常量和变量的定义，即可找出题中的常量与变量．
解答：在公式s=50t 中，常量是：50，变量是s，t．
故答案为：50，s，t．
点评：本题主要考查了常量和变量，在解题时要根据常量和变量的定义进行解答是本题的关键．
5、分析：在式子中y 随x 的值的变化而变化，y 是x 的函数，因而因变量是y．
解答：因变量是：y．
故答案是：y．
点评：本题主要考查了函数的定义，理解定义一定要区分是哪个量随另一个量的变化而变化．
6、分析：根据常量与变量的定义进行解答．
解答：α=（n﹣2）×180゜，这个关系式中的变量是n，α，常量（不变的量）是2，180．
故答案为：n，α；2，180．
点评：本题考查了常量与变量的定义，一般情况下，常量是常数不变的量，变量是变化的量，
是基础题，比较简单．
7、分析：在一个变化过程中，有两个变量，一个量变化，另一个量也随之变化，变化的量为
自变量，随之变化的量为函数．
解答：在公式S=3t 中，S、t 为变量，3 为常量．
故答案为：S、t；3．
点评：本题考查了函数的定义，是基础知识，比较简单．
8、分析：根据函数的定义：设x 和y 是两个变量，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值和
它对应，我们就说y 是x 的函数，其中x 是自变量．
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解答：根据函数的定义，则自变量是t，因变量是V；
要使V=0，则30﹣2t=0，
解得t=15．
故答案为t，V，15．
点评：此题考查了函数的定义，能够根据函数值，求得自变量的值．
9、分析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常
量，即可答题．
解答：关系式为y=90﹣x，其中变量为x，常量为 90．
故答案为：x，90．
点评：本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在程序的运行过程中随时可以发
生变化的量．
10、分析：根据常量和变量的定义来判断自变量、因变量和常量．
解答：根据函数的定义可知，对于函数中的每个值r，变量V 按照一定的法则有一个确定的值
V 与之对应，所以自变量是：r，因变量是：V．
点评：本题主要考查变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，函数值
为因变量，另一个值为自变量．
11、分析：根据函数的定义进行解答．
解答：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y
都有唯一确定的值与其对应，那么就是说x 是自变量，y 是x 的函数．
故答案为：自变量，函数．
点评：本题主要考查了函数的概念，需要熟练掌握．
12、h=
H
13、y=6+1.6(x－3)
10
课程顾问签字： 教学主管签字：
