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专题04 高等数学定理背景命题
【题型归纳目录】
题型一：泰勒公式
题型二：极大值点的第二充分条件定理
题型三：帕德逼近
题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
题型五：伯努利、琴生不等式
题型六：微积分、洛必达
【方法技巧与总结】
1、泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
2、【极值点第二充分条件】已知函数
在
处二阶可导，且
（1）若
，则
在
处取得极小值；
（2）若
，则
在
处取得极大值.
3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，
n，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
．（注：
，
，
，
，…；
为
的导数）.
4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数
在
上连续，且在
上可导，则必有
，使得
.
5、罗尔定理描述如下：如果
上的函数
满足以下条件：①在闭区间
上连续，②在开区间
内可导，③
，则至少存在一个
，使得
．
6、微积分
知识卡片1：一般地，如果函数
在区间
上连续，用分点
将区
间
等分成
个小区间，在每个小区间
上任取一点
，作和式
（其中
为小区间长度），当
时，上述和式无限接近某个常数，这个常
1
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数叫做函数
在区间
上的定积分，记作
即
.这里，
与
分别
叫做积分下限与积分上限，区间
叫做积分区间，函数
叫做被积函数，
叫做积分变量，
叫做被积式.从几何上看，如果在区间
上函数
连续且恒有
，那么定积分
表示由
直线
和曲线
所围成的曲边梯形的面积.
知识卡片2：一般地；如果
是区间
上的连续函数，并且
，那么
.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
知识卡片3：在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
7、伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种
不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立．
8、设连续函数
的定义域为
，如果对于
内任意两数
，都有
，
则称
为
上的凹函数；若
，则称
为凸函数.若
是区间
上
的凹函数，则对任意的
，有琴生不等式
恒
成立（当且仅当
时等号成立）.
【典型例题】
题型一：泰勒公式
【典例1-1】（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，该公式也称麦克劳林公
式．
(1)根据该公式估算
的值，精确到小数点后两位；
2
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(2)由该公式可得：
．当
时，试比较
与
的大小，并给出证明；
(3)设
，证明：
．
【典例1-2】（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：
其
中
为自然对数的底数，
.以上公式称为泰勒公式.设
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，若
是
的极小值点，求实数
的取值范围.
【变式1-1】（2024·高一·四川成都·期末）已知函数
的最小值为
．
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了如下公式：
，其中
，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的
准确性．运用上述思想，计算
的值：（结果精确到小数点后4 位，参考数据：
，
）
3
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题型二：极大值点的第二充分条件定理
【典例2-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）给出定义：设
是函数
的导函数，
是函
数
的导函数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”.经研究
发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
图象的
对称中心.
(1)若函数
，求函数
图象的对称中心；
(2)已知函数
，其中
.
（ⅰ）求
的拐点；
（ⅱ）若
，求证：
.
【典例2-2】（2024·高二·广东东莞·阶段练习）记
，
为
的导函数.若对
，
，则称函数
为D 上的“凸函数”.已知函数
，
.
(1)若函数
为
上的凸函数，求a 的取值范围；
(2)若函数
在
上有极值，求a 的取值范围.
【变式2-1】（2024·上海普陀·一模）若函数
同时满足下列两个条件，则称
在
上具有性质
．
①
在
上的导数
存在；
②
在
上的导数
存在，且
（其中
）恒成立．
(1)判断函数
在区间
上是否具有性质
？并说明理由．
(2)设
、
均为实常数，若奇函数
在
处取得极值，是否存在实数，使得
在区间
上具有性质
？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
4
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(3)设
且
，对于任意的
，不等式
成立，求
的最大值．
题型三：帕德逼近
【典例3-1】（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数
的方法．给定两个正整数m，n，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，
且满足：
，
，
，…，
．（注：
，
，
，
，…；
为
的导数）已知
在
处的
阶帕德近似为
．
(1)求实数a，b 的值；
(2)比较
与
的大小；
(3)若
在
上存在极值，求
的取值范围．
【典例3-2】（2024·高二·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定
函数的方法．给定两个正整数
，
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，
．
已知
在
处的
阶帕德近似为
．注：
(1)求实数
，
的值；
(2)求证：
；
(3)求不等式
的解集，其中
．
5
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【变式3-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）帕德近似（Pade approximation）是有理函数逼近的一种方法.已
知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，….又函数
，其中
.
(1)求实数
，，
的值；
(2)若函数
的图象与
轴交于
，
两点，
，且
恒成立，求实数
的取值
范围.
题型四：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理
【典例4-1】（2024·高一·四川内江·阶段练习）已知函数
．
(1)当
，且
时，求
的值;
(2)若存在区间
（
为函数定义域），使
在区间
上的值域也为
，则称
为
上
的精彩函数，
为函数
的精彩区间．求
是否存在精彩区间?如不存在，说明理由;
(3)若存在实数
使得函数
的定义域为
时，值域为
，则称区间
为
的一个“罗尔”区间．已知函数
存在“罗尔”区间，求实数
的范围．
【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数
在
上连续，
且在
上可导，则必有
，使得
.证明不等式：
．
6
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【变式4-1】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数
在
上连续，且在
上可导，则必有
，使得
.已知函数
，求实数
的最大值
A．1
B．
C．
D．0
【变式4-2】（2024·安徽六安·模拟预测）罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理
之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理．罗尔定理描述如下：如果
上的函数
满足以下条件：①在闭区间
上连续，②在开区间
内可导，③
，则至少存在一个
，使得
．据此，解决以下问题：
(1)证明方程
在
内至少有一个实根，其中
；
(2)已知函数
在区间
内有零点，求
的取值范围．
题型五：伯努利、琴生不等式
【典例5-1】（2024·高三·贵州·阶段练习）伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并
提出. 伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应
用. 伯努利不等式的一种常见形式为：
当
，
时，
，当且仅当
或
时取等号.
(1)假设某地区现有人口100 万，且人口的年平均增长率为
，以此增长率为依据，试判断6 年后该地区
人口的估计值是否能超过107 万？
(2)数学上常用
表示
，
，
，
的乘积，
，
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）已知直线
与函数
的图象在坐标原点处相切，数列
满足：
，
，证明：
.
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【典例5-2】（2024·高一·江苏苏州·期末）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬
链线.
年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为
，其中为参数.当
时，该方程就
是双曲余弦函数
，类似的我们有双曲正弦函数
.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数
的最小值；
①
；
②
；
③
.
(2)求证：
，
.
【变式5-1】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）设连续函数
的定义域为
，如果对于
内任意
两数
，都有
，则称
为
上的凹函数；若
，
则称
为凸函数.若
是区间
上的凹函数，则对任意的
，有琴生不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）.
(1)证明：
在
上为凹函数；
8
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(2)设
，且
，求
的最小值；
(3)设
为大于或等于1 的实数，证明：
.（提示：可设
）
题型六：微积分、洛必达
【典例6-1】（2024·湖北·二模）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代
数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数
在区间
上的图像连续不断，从几何上看，定积分
便是由直线
和曲线
所围成的区
域（称为曲边梯形
）的面积，根据微积分基本定理可得
，因为曲边梯形
的
面积小于梯形
的面积，即
，代入数据，进一步可以推导出不等式：
．
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：
；
(2)已知函数
，其中
．
①证明：对任意两个不相等的正数
，曲线
在
和
处的切线均不重合；
②当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
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【典例6-2】（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有
结论：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
【过关测试】
1．（2024·湖南永州·三模）已知函数
，
.
(1)若
是函数
的极小值点，讨论
在区间
上的零点个数.
(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：
这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.
现已知
，
利用上述知识，试求
的值.
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给出以下三个材料：①若函数
可导，我们通常把导函数
的导数
叫做
的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作
，三阶导数的导数
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叫做四阶导数……一般地，
阶导数的导数叫做
阶导数，记作
.②若
，
定义
.③若函数
在包含
的某个开区间
上具有
阶的导数，那
么对于任一
有
，我们将
称为
函数
在点
处的
阶泰勒展开式.例如，
在点
处的
阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出
在点
处的阶泰勒展开式
，并直接写出
在点
处的阶泰勒
展开式
；
(2)比较（1）中
与
的大小.
(3)证明：
.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将
在
处可以用一个多项式函数近
似表示，具体形式为：
（其中
表示
的n 次导数），以上公式我们称为函数
在
处的泰勒展开式.
(1)分别求
，
，
在
处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：
.（其中为虚数单位）；
(3)若
，
恒成立，求a 的范围.（参考数据
）
4．（2024·高一·江苏·课时练习）计算器是如何计算
，
，
，
，
等函数值的？计算器使用
的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原
函数的值，如
，
11
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，
其中
.
英国数学家泰勒（B．Taylor，1685―1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得到的
和
的值也就越精确.例如，我们用前三项计算
，就得到
.
像这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保其显示值是精确的.
试用你的计算器计算
，并与上述结果进行比较.
5．（2024·高一·福建福州·期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：
，其中
，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当
时，
，
.
(1)证明：当
时，
；
(2)设
，若区间
满足当
定义域为
时，值域也为
，则称为
的“和谐区
间”.
（i）
时，
是否存在“和谐区间”？若存在，求出
的所有“和谐区间”，若不存在，请说
明理由；
（ii）
时，
是否存在“和谐区间”？若存在，求出
的所有“和谐区间”，若不存在，请
说明理由.
6．（2024·湖南邵阳·三模）给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，
若方程
有实数解
，则称点
为函数
拐点.已知
.
（1）求证：函数
的拐点
在直线
上；
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（2）
时，讨论
的极值点的个数.
7．（2024·甘肃·二模）已知函数
（
且
为常数）．
（1）当
时，讨论函数
在
的单调性；
（2）设
可求导数，且它的导函数
仍可求导数，则
再次求导所得函数称为原函数
的二阶函数，记为
，利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性．一个二阶可导的函数在区间
上是凸函数的充要条件是这个函数在
的二阶导函数非负．
若
在
不是凸函数，求
的取值范围．
8．（2024·高三·安徽淮南·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数
的方法.给定两个正整数
，
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，
且满足：
，
，
，
.已知
在
处
的
阶帕德近似为
.注：
(1)求实数
，
的值；
(2)求证：
.
9．（2024·高一·湖南郴州·期末）若函数
自变量的取值区间为
时，函数值的取值区间恰为
，就称区间
为
的一个“罗尔区间”.已知函数
是定义在
上的奇函数，当
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时，
.
（1）求
的解析式；
（2）求函数
在
内的“罗尔区间”；
（3）若以函数
在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数
的图像，是否存在实数
，使
集合
恰含有2 个元素.若存在，求出实数
的取值集合；若不存在，说明
理由.
10．（2024·高三·北京·强基计划）已知罗尔中值定理：若函数
满足：①
在
上连续；②
在
上可异；③
，则存在
，使得
．
(1)试证明拉格朗日中值定理：若函数
满足：①
在
们上连续；②
在
上可导，则存在
，使得
．
(2)设
的定义域与值域均为
且
在其定义域上连续且可导．求证：对任意正整
数n，存在互不相同的
，使得
．
11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数
、
，
的图象在
处的切线
与
轴平行．
(1)求
，
的关系式并求
的单调减区间；
(2)证明：对任意实数
，关于
的方程：
在
,
恒有实数解；
(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数
是在闭区间
,
上连续不断的函数，且
在区间
内导数都存在，则在
内至少存在一点
，使得
．如我们所学过的指、对
数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当
时，
（可不用证明函数的连续性和可导性）．
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12．（2024·高三·全国·专题练习）已知
，
，
(1)若
在
处取得极值，试求的值和
的单调增区间；
(2)如图所示，若函数
的图象在
连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在
，
使得
，利用这条性质证明：函数
图象上任意两点的连线斜率不小于
．
13．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不
等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当
时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知
是大于
的实数（全部同号），证明
14．（2024·河北石家庄·一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数
且
，正整数n 不小于2，那么
．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下
问题．
(1)证明：当
时，
对任意
恒成立；
(2)证明：对任意
，
恒成立．
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15．（2024·高一·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20 班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数
的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数
和
，虽然它们都是
增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概
念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为
，如果对于
内任意两数
，都有
，则称
为
上的凹函数；若
，则
为凸函数.
对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen 不等式）：若f（x）是区间
上的凹函数，则对任意的
,有不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）. 小组成员通
过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是
构造函数.小组成员选择了反比例型函数
和对数函数
，研究函数的凹凸性.
(1)设
，求W=
的最小值.
(2)设
为大于或等于1 的实数，证明
（提示：可设
）
(3)若a>1，且当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
16．（2024·高一·北京·期中）无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门
广场三千人合唱的磅礴震撼，“930 烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严
金帆合唱团，
这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开
学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1 就是金帆排练厅，大家都亲
切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱
台（图3），正六棱柱的侧棱
交
的延长线于点
，经测量
，且
16
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(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，
估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：
）
(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的
数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数
，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“.....”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下
的最大值吧.
注：可以参考（不限于）下面公式：
①
元均值不等式：
②琴生不等式：
若函数
在
上为“凸函数”，且
为
上任意
个实数，则
注：
在
是“凸函数”
③柯西不等式：
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注：其二元形式为
17．（2024·高三·重庆·开学考试）如果函数
的导数
，可记为
．若
，则
表示曲线
，直线
以及
轴围成的“曲边梯形”的
面积．
(1)若
，且
，求
；
(2)已知
，证明：
，并解释其几何意义；
(3)证明：
，
．
18．（2024·高二·重庆·阶段练习）阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如
果函数
在区间
上连续，用分点
将区间
等分成
个小区
间，在每个小区间
上任取一点
，作和式
（其中
为小区
间长度），当
时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数
在区间
上的定积分，
记作
即
.这里，
与
分别叫做积分下限与积分上限，区间
叫做积
分区间，函数
叫做被积函数，
叫做积分变量，
叫做被积式.从几何上看，如果在区间
上
函数
连续且恒有
，那么定积分
表示由直线
和曲线
所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果
是区间
上的连续函数，并且
，
那么
.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
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(1)用定积分表示曲线
及
所围成的图形的面积，并确定
取何值时，使所围图形的
面积最小；
(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度
（单位：
）紧急
刹车至停止.求：
①求火车在刹车4 秒时速度的瞬时变化率（即4 秒时的瞬时加速度）；
②紧急刹车后至停止火车运行的路程.
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