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教考衔接二十六 教材命题点探源
高三数学 突破卷04
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．若复数z 满足
（i 为虚数单位），则
( )
A.
B.
C.
D.
2.已知集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
3.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知向量
，
，
且
，求
( )
A.
B.
C.
D.
5.若随机变量
，且
，则
的最大值为（ ）
A．9
B．
C．24
D．27
6.用一个与圆柱底面成
角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．一个底面边长和侧棱长均为4 的正三棱柱密闭容器
，
其
中盛有一定体积的水，当底面
水平放置时，水面高为
.当侧面
水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体
的
所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若函数
有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数
的定义域为
，对任意正实数，函数
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
10. 已知函数
在区间
上单调递减，直线
为函数
图象的一条对称轴，点
为其图象的一个对称中心，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数
的最小正周期为
B. 点
是函数
的图象的一个对称中心
C. 将
的图象向右平移
个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数
D. 若
在
上有且仅有个极值点，则
11．某电脑程序每次等概率随机输出
中的一个数，
和
分别表示输出的前n 个数中的最大
值和最小值.已知每次输出都是独立的，且可以重复输出同一个数.则下列命题正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.已知
,
,则
_______________.
13.已知数列
满足对任意
，都有
，且
，则使
的前k 项的积大于
的k 的最大值为_______________.
14．过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直
线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数
与函数
的
“公法线”方程为_______________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）设数列
满足
，其中
.
（1）证明：
是等比数列；
（2）令
，设数列
的前n 项和为
，求使
成立的最大正整数n 的
值.
16.（15 分）如图，在
中，
，
，D 是AC 中点，E，F 分别是BA，BC 边
上的动点，且
，将
沿EF 折起，点B 折至点P 的位置，得到四棱锥
.
（1）求证：
平面PAC.
（2）若
，二面角
是直二面角，求线段AP 的中点M 到平面PEC 的距离；
（3）当
时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.
17．（15 分）已知抛物线
，椭圆
过点
与
有相
同的焦点
是
与
的等差中项．
（1）求
和
的方程；
（2）如图所示，曲线
是由抛物线
的一部分
和椭圆
的一部分
构成的封闭图形．在曲线
上，
点
为
上的动点．过点
的直线与
交于
两点．
（i）求直线的斜率的取值范围；
（ii）若
的面积为
，当
时，求直线的方程．
18. （17 分）已知函数
的定义域为
，
，导函数
，设
是曲线
在点
处的切线.
（1）求
的最大值：
（2）当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线
的上方；
（3）设过点A 的直线
与直线
垂直，
，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的取值范围.
19.（17 分）随机游走在空气中的烟雾扩散，股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直
角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率
均为
.例如在1 秒末，粒子会等可能地出现在
，
，
，
四点处.
（1）设粒子在第2 秒末移动到点
，记
的取值为随机变量X，求X 的分布列和数学期望
；
（2）记第n 秒末粒子回到原点的概率为
.
（i）已知
，求
，
以及
；
（ii）令
，记
为数列
的前n 项和，若对任意实数
，存在
，使得
，则
称粒子是常返的.已知
，证明：该粒子是常返的.
