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教考衔接十九 教材命题点探源
基础卷（三）
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（2026·辽宁模拟）若
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题知
.故选A.
2．（2026·河南周口校考）已知集合
，
，那么集合
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为
，
，所以
，故选A.
3．（2026·福州期中）若
，
，
，则实数
( )
A.6
B.
C.3
D.
【答案】B
【解析】因为
，所以
，即
，化简得
，又
，
，所以
，因此
，解得
.故选B.
4.（2026·浙江温州1 月测评）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.由题意知，双曲线焦点在
轴上，其中一条渐近线方程为
，所以
，解得
.
解法一：（利用双曲线标准形式的渐近线公式）.对于焦点在
轴上的
，其渐近
线方程为
.由题意知，双曲线焦点在
轴上，可知
，即
，
，即
.因此该双曲线的渐近线方程为
，已知一条渐近线方程为
，所以
，
解得
.
解法二：（令双曲线右边为0 求渐近线），对于双曲线
，令
，得
，
，已知一条渐近线方程为
，所以
，解得
.
5．（2026·晋城模拟）已知
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由
，得
．又
，则
，所以
，所
以
．故选C.
6．（2026·安庆模拟）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮
点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.
已知此正四棱锥的侧棱长为
，侧面与底面所成的锐二面角为
，这个角接近30°，若取
，
则下列结论正确的是( )
A.正四棱锥的底面边长为48m B.正四棱锥的高为4m
C.正四棱锥的体积为
D.正四棱锥的侧面积为
【答案】C
【解析】如图，在正四棱锥
中，O 为正方形
的中心，
，则H 为
的中点，
连接
，
，
，则
平面
，
，则
为侧面与底面所成的锐二面角，
设底面边长为
.正四棱谁的则面与底两所成的䌼二面但为
，这个角接近
，取
，
，则
，
，
.
在
中，
，解得
，故底面边长为
，正四棱锥的高为
，侧面积为
，体积
.故选C
7．（2026·江苏南通月考）若函数
在
上只有一个零点，
则
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】法一：
，
易知
，令
，则由题意知
.故选A.
法二：当
时，由
，易得在区间
内
函数没有零点，故
，对照选项，只有A 正确，故选A.
8. （2026·秦皇岛模拟）某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①
将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子
后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别
，
两次
观测时镜子间的距离为a，人的“眼高”为h，则建筑物的高度为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设所求建筑物的高为x，如图，
在
中，
，因为
，所以在
中，
，所以
，因为
，
所以
，则
，所以
，解得
.故选A.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·邢台期末检测）在某次数学测试中，学生的成绩
，则( )
A.
B.若
越大，则
越大
C.
D.
【答案】AC
【解析】因为
，所以
，A 正确；
当
时，
，当
时，
，B 不正确；
因为
，所以
，C 正确；
根据正态曲线的对称性
，D 不正确.故选AC.
10．（2026·山东济南月考）设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线
的一
部分，则( )
A.点
在C 上
B.将C 在x 轴上方的部分看作函数
的图象，则1 是
的极小值点
C.C 在点
处的切线与C 的另一个交点的横、纵坐标均为有理数
D.
时，曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离均大于
【答案】ACD
【解析】将
代入C 的方程，等式成立，故A 正确；对于C 在x 轴上方的部分，可知函数
，则
，因为
，故B 错误；过点
作C 的切线，由B 选项知其斜率为
，故其方程为
，将其与C 的方程联立
，得
，故切线与C 的交点的坐标为
，横，纵坐标均为
有理数，故C 正确；设
，
，则其到坐标原点O 的距离为
，
要使该距离大于
，只需要
，整理得
，易知当
时，
不存在，可知
，
又因为
，故
，故
成立，故D 正确.故选ACD.
11．（2026·内江模拟）一般地，若
，
（
，且
），则称A，B，P，Q
四点构成调和点列.已知椭圆
，过点
的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点.动点E 满足
M，N，D，E 四点构成调和点列，则下列结论正确的是( )
A.M，N，D，E 四点共线
B.
C.动点E 的轨迹方程为
D.
既有最小值又有最大值
【答案】ABC
【解析】对于A，因为M，N，D，E 四点构成调和点列，则有
，因为有公共点D，所以M，
D，N 三点共线，且有
，因为有公共点E，所以M，E，N 三点共线，即可得到M，N，D，
E 四点共线，A 正确；
对于B，因为
，所以
，
，即
，所以
，B 正确；
对于C，设
，
，
，由
，
，得
两式相乘得
①，同理可得
②，则
得
，又点
，
在椭圆
上，所以
，
，所以
，即点E 的轨迹方程为
，即
，C 正确；
对于D，点
到直线
的距离
，即为
的最小值，
无最
大值，D 错误.故选ABC
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（2026·喀什检测）等比数列
中，
，
，则
的前4 项和等于________.
【答案】5
【解析】设等比数列
的公比为q，由
，得
，
解得
，因此
，所以
的前4 项和等于5.
13．（2026·茂名模拟）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
_________.
【答案】
【解析】因为
，所以
，所以曲线
在点
处切线的斜率
，
又切线过点
，所以曲线
在点
处切线的方程为
，
对
求导得
，由直线
也是曲线
的切线，得
，
解得
，将
代入
得
，所以曲线
与直线
相切的切点坐标为
，代入
，解得
.
14．（2026·安徽期末检测）五一长假期间，铁路部门迎来客流量高峰.某高铁站进站口并排有3 个安检入口，
假设每个人在进站时选择每个安检入口的概率都是
，现有三男三女共六位乘客先后通过安检入口进站，
则每个安检入口通过的男乘客人数与女乘客人数均相等的概率为______.
【答案】
【解析】由题知，每个人选择每个安检入口的概率都相等，则三男三女共六位乘客通过安检入口进站，
共有
种不同的结果.若每个安检入口均为一男一女通过，共有
种不同的结果；若三个
安检入口中，一个入口通过0 人，一个入口通过一男一女，一个入口通过两男两女，共有
种不同的结果；若六人均在同一个安检入口通过，共有
种不同的结果，则每个安
检入口通过的男乘客人数与女乘客人数均相等的概率为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （2026·龙海1 月阶段检测）（13 分）在
中，角
的对边分别为
．已知
．
（1）若
，
，求
；
（2）若
，求
的值.
【答案】（1）
（2）
（1）由
及正弦定理得，
．
因为
，所以
，则
，即
．
因为
，所以
，根据余弦定理得
，
即
，解得
或
(舍去)，故
．
（2）
方法一：由
和正弦定理，得
，
即
．
，即
，则得
．
所以
．
方法二：根据余弦定理得
，
则
，
，
则角A 是锐角，故
，则
，
所以
．
16．（2026·滨州检测）（15 分）已知抛物线
，
是抛物线C 上的点.
（1）求抛物线C 的方程及p 的值；
（2）直线l 与抛物线C 交于
，
两点，
，且
，求
的
最小值并证明直线l 过定点.
【答案】(1)
(2)
的最小值为
，证明见解析
【解析】(1)将
的坐标代入
，得
，
抛物线C 的方程为
.
(2)设直线l 的方程为
，
由
消去x 并整理，得
，
，
，即
.
，
解得
或
(舍去)，
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
的最小值为
.
，
直线
，其恒过定点
.
17．（2026·吉化模拟）（15 分）如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
，
，
，
平面ABCD，M 为AD 上一点，
且
，连接BD、BE、BM.
（1）证明：
平面BFM；
（2）求平面ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）证明：因为
平面
，
平面ABCD，所以
.
又
，且
，
平面BFM，所以
平面BFM.
因为
，所以
平面BFM.
（2）作
，垂足为N，则
.
又
，所以四边形FMNE 是平行四边形，
又
，所以四边形FMNE 是矩形，
又四边形ADEF 为等腰梯形，且
，
，所以
.
由（1）知
平面BFM，所以
.
又
，所以
.
在
中，
.
在
中，
.
以B 为原点，BM，BC，BF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
设平面ABF 的法向量为
，
由
得
可取
.
设平面DBE 的法向量为
，
由
得
可取
.
因此，
.
故平面ABF 与平面DBE 的夹角的余弦值为
.
18．（2026·重庆模拟）（17 分）若数列
满足
，则称
为“增差数
列”.
（1）若
，证明：
为“增差数列”；
（2）若
为“增差数列”，且
，
，求
的最大值；
（3）已知“增差数列”
的前n 项和为
，数列
的前n 项和为
，若
，证明：
.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）设
，要证
为“增差数列”，只需证
.
，
，
，
为“增差数列”.
（2）由题意可得
，
，
又
，
，
，
即
，得
，
当且仅当
时等号成立，
的最大值为
.
（3）
为“增差数列”，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
，故
.
19．（2026·郑州调研测试）（17 分）已知函数
.
（1）若
在R 上单调递减，求a 的最大值；
（2）证明：曲线
是中心对称图形；
（3）若
，求a 的取值范围.
【答案】（1）1
（2）证明见解析
（3）(
, 1]
【解析】（1）由函数
2
( )
8ln 1 ex
f x
ax
bx
，得
8e
( )
2
1 e
x
x
f
x
ax
b
，
令
8e
( )
2
1 e
x
x
g x
ax
b
，
因为
( )
f
x
在R 上单调递减，
所以
2
8e
8
( )
2
2
0
1
1 e
e
2
e
x
x
x
x
g x
a
a
恒成立.
因为
1
1
e
2
2 e
2
4
e
e
x
x
x
x
，当且仅当
0
x
时取等号，
则
8
2
1
e
2
e
x
x
，所以
8
2
1
e
2
e
x
x
a
，即2
2
a ，得
1
a .
故a 的最大值为
.
（2）证明：由（1）知
，
则
，
则
，
所以曲线
关于点
对称，是中心对称图形.
（3）当
时，若
，则
，与
矛盾，所以
.
当
，
时，若
，则
，与
矛盾；
当
，
时，若
，则
，与
矛盾.所以
.
当
时，若
，则
，
此时
，与题意矛盾；
当
时，若
，
则
，
此时
，矛盾；
因此
，所以
.
当
时，由（1）可知
在R 上单调递减，
又
，所以当
时，
，
在区间
上单调递增，
当
时，
，
在区间
上单调递减，此时
，符合题意；
当
，且
时，
，
此时
，则
，不合题意.
综上所述，a 的取值范围是
.
