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§1.2 常用逻辑用语
课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条
件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p ⇒
q 且
q ⇏p
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇏q 且q⇏p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x，p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃ x ∈
M
，
綈
p ( x )
∀ x ∈
M
，
綈
p ( x )
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p 是q 的充分条件时，q 是p 的必要条件.( √ )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.( √ )
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.( √ )
(4)命题“∃x∈R，sin2 x
2＋cos2 x
2 ＝1
2”是真命题.( × )
2.命题“∀x∈R，x2－x＋2≥0”的否定为( )
A.∃x∈R，x2－x＋2<0
B.∀x∈R，x2－x＋2≤0
C.∃x∈R，x2－x＋2≤0
D.∀x∈R，x2－x＋2<0
答案 A
解析 命题“∀x∈R，x2－x＋2≥0”的否定为命题“∃x∈R，x2－x＋2<0”.
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
4.已知“p：2≤x<3”是“q：x>m”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 .
答案 (－∞，2)
解析 由题意可知，{x|2≤x<3}是{x|x>m}的真子集，可得m<2，所以实数m 的取值范围为(－∞，2).
1.谨记两个常用结论
(1)p 是q 的充分不必要条件，等价于綈q 是綈p 的充分不必要条件.
(2)命题p 和綈p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系
“A 的充分不必要条件是B”是指B 能推出A，且A 不能推出B；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A
能推出B，而B 不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)(2024·连云港模拟)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0 与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0 平行”的(
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当λ＝－1 时，直线l2：－3x＋3y－3＝0，即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0 平行，充分性成立；
直线l1：x＋λy＋9＝0 与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0 平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1 或λ＝3，
其中当λ＝3 时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立.
故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0 与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0 平行”的充要条件.
(2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，
“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B 为两
个等高的几何体，p：A，B 的体积相等，q：A，B 在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p 是q
的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 已知A，B 为两个等高的几何体，由祖暅原理知q⇒p，而p 不能推出q，可举反例，两个相同的圆锥，
一个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不一定相等，则p 是q 的
必要不充分条件.
思维升华 充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立
为止.
跟踪训练1 (1)设x∈R，则“cos x＝1”是“sin x＝0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当cos x＝1 时，x＝2kπ(k∈Z)，此时sin x＝0；
当sin x＝0 时，x＝kπ(k∈Z)，此时cos x＝1 或cos x＝－1，
所以“cos x＝1”是“sin x＝0”的充分不必要条件.
(2)(2025·北京房山区模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，
对于实数a，b，则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，得函数f(x)是R 上的偶函数，而f(x)在[0，＋∞)上单
调递减，因此f(a)>f(b)⇔f(|a|)>f(|b|)⇔|a|<|b|⇔a2<b2，所以“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的充要条件.
题型二 充分、必要条件的应用
例2 (1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ；
若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是 .
答案 (－∞，1) (－∞，1]
解析 因为p：x≤1，q：x≤a，
若p 是q 的必要不充分条件，则(－∞，a] (－∞，1]，因此a<1，
即实数a 的取值范围是(－∞，1).
若p 是q 的必要条件，则(－∞，a]⊆(－∞，1]，
因此a≤1，即实数a 的取值范围是(－∞，1].
(2)已知p：x>1 或x<－3，q：x>a(a 为实数).若綈q 的一个充分不必要条件是綈p，则实数a 的取值范围
是 .
答案 [1，＋∞)
解析 由已知得綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a.
设A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，
若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，
所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
思维升华 求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不
等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
跟踪训练2 (1)已知p：1
x >1，q：x>m，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )
A.[0，＋∞)
B.[1，＋∞)
C.(－∞，0]
D.(－∞，1]
答案 C
解析 由1
x >1 可得x(x－1)<0，解得0<x<1，
记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，
若p 是q 的充分条件，
则A 是B 的子集，所以m≤0，
所以实数m 的取值范围是(－∞，0].
(2)已知α：－1<x<0，β：m－1<x<－3m.若α 是β 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是
.
答案 (－∞，0)
解析 因为α 是β 的充分不必要条件，
所以{x|－1<x<0}是{x|m－1<x<－3m}的真子集，
则{
m-1≤-1,
-3m≥0
(不同时取等号)，解得m<0，
所以实数m 的取值范围是(－∞，0).
题型三 全称量词与存在量词
命题点1 含量词的命题的否定
例3 (多选)下列说法正确的是( )
A.“菱形是正方形”是全称量词命题
B.“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”
C.命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“有一个奇数能被3 整除”
D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件
答案 AB
解析 对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A 正确；
对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，故B 正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“所有的奇数都能被3 整除”，故C 错误；
对于D，因为A＝B 时，sin A＝sin B 成立，而sin A＝sin B 时，A＝B 不一定成立，如A＝π
3 ，B＝2π
3 ，故
“A＝B”是“sin A＝sin B”的充分不必要条件，故D 错误.
命题点2 含量词的命题的真假判断
例4 (多选)下列命题中，为真命题的是( )
A.∀x∈R，2x－1>0
B.∃x∈R，x2＋1<2x
C.∀xy>0，x＋y≥2√xy
D.∃x，y∈R，sin(x＋y)＝sin x＋sin y
答案 AD
解析 对于A 项，∀x∈R，2
x-1>0，A 项正确；
对于B 项，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B 项错误；
对于C 项，当x<0，y<0 时，x＋y<0<2√xy，C 项错误；
对于D 项，取x＝y＝0，则sin(x＋y)＝sin 0＝0＝sin 0＋sin 0＝sin x＋sin y，D 项正确.
命题点3 含量词的命题的应用
例5 (1)(2024·台州模拟)若命题“∃x∈R，使x2－x－m＝0”是真命题，则实数m 的取值范围是( )
A.{m|- 1
4 ≤m≤0}
B.{m|0≤m≤1
4}
C.{m|m≥- 1
4}
D.{m|m≤1
4}
答案 C
解析 因为“∃x∈R，x2－x－m＝0”是真命题，所以Δ＝1－4×(－m)≥0，解得m≥－1
4 .
(2)已知命题“∃x∈R，ax2－ax＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是 .
答案 [0，4)
解析 由题意得不等式ax2－ax＋1>0 对∀x∈R 恒成立.
①当a＝0 时，不等式1>0 在R 上恒成立，符合题意；
②当a≠0 时，若不等式ax2－ax＋1>0 对∀x∈R 恒成立，则{
a>0,
Δ＝a
2- 4 a<0,解得0<a<4.
综上，实数a 的取值范围是[0，4).
思维升华 含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.
当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
跟踪训练3 (1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则( )
A.p 和q 都是真命题
B.綈p 和q 都是真命题
C.p 和綈q 都是真命题
D.綈p 和綈q 都是真命题
答案 B
解析 对于命题p，取x＝－1，
则有|x＋1|＝0<1，
故p 是假命题，綈p 是真命题，
对于命题q，取x＝1，
则有x3＝13＝1＝x，
故q 是真命题，綈q 是假命题，
综上，綈p 和q 都是真命题.
(2)(多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是( )
A.“∀x∈R，3x2－2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2－2<0”
B.“x>3”是“log3(2x＋1)>2”的充分不必要条件
C.若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是(－1，3)
D.若命题“∀x∈R，2ax2＋ax－3
8≤0”是真命题，则－3≤a≤0
答案 AD
解析 对于A，“∀x∈R，3x2－2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2－2<0”，故A 正确；
对于B，log3(2x＋1)>2 即log3(2x＋1)>log39，解得x>4，因为x>4⇒x>3，且x>3⇏x>4，所以“x>3”是
“log3(2x＋1)>2”的必要不充分条件，故B 错误；
对于C，命题的否定是假命题，则命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得
a>3 或a<－1，故C 错误；
对于D，因为“∀x∈R，2ax2＋ax－3
8≤0”是真命题，即2ax2＋ax－3
8≤0 对∀x∈R 恒成立.当a＝0 时，命
题成立；当a≠0 时，{
a<0,
Δ＝a
2＋3a≤0,解得－3≤a<0，综上可得，－3≤a≤0，故D 正确.
课时精练
[分值：95 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.“x<0”是“√x
2＝－x”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 √x
2＝－x⇔x≤0，因为x<0⇒x≤0，但x≤0⇏x<0，所以“x<0”是“√x
2＝－x”的充分不必要条件.
2.命题“∃x∈R，ex>ln x＋1”的否定是( )
A.∀x∈R，ex≤ln x＋1
B.∃x∈R，ex≤ln x＋1
C.∀x∉R，ex>ln x＋1
D.∃x∉R，ex>ln x＋1
答案 A
解析 根据存在量词命题的否定为全称量词命题，则命题“∃x∈R，ex>ln x＋1”的否定为“∀x∈R，
ex≤ln x＋1”.
3.(2025·常州调研)已知a，b∈R，则“b＝ea”是“a＝ln b”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 根据指数式和对数式的互化公式可知b＝ea⇔a＝ln b，
所以“b＝ea”是“a＝ln b”的充要条件.
4.(2025·朔州模拟)已知A，B 为实数，则“AB<0”是“Ax2＋By2＝1 为双曲线方程”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 当Ax2＋By2＝1 表示双曲线时，AB<0，而当AB<0 时，Ax2＋By2＝1 表示的是双曲线，所以“AB<0”
是“Ax2＋By2＝1 为双曲线方程”的充要条件.
5.下列叙述错误的是( )
A.命题“∃x∈R，x2－1≤－1”的否定是“∀x∈R，x2－1>－1”
B.若幂函数y＝(m2－2m－2)x2－4m在(0，＋∞)上单调递增，则实数m 的值为－1
C.∀x∈(0，＋∞)，2x>log2x
D.设a∈R，则“a2>3”是“a>√3”的充分不必要条件
答案 D
解析 对于A，命题“∃x∈R，x2－1≤－1”的否定是“∀x∈R，x2－1>－1”，A 正确；
对于B，由{
m
2-2m-2＝1,
2- 4 m>0,
解得m＝－1，B 正确；
对于C，当x>0 时，函数y＝2x的图象在直线y＝x 上方，函数y＝log2x 的图象在直线y＝x 下方，则
2x>log2x，C 正确；
对于D，由a2>3，得a<－√3或a>√3，因此“a2>3”是“a>√3”的必要不充分条件，D 错误.
6.(2024·南通模拟)若“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则k 的取值范围为( )
A.(－∞，－2]
B.(－∞，2]
C.(－∞，－2)
D.(－∞，2)
答案 A
解析 依题意知命题“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则“∀x∈(0，π)，sin 2x－ksin x≥0”为
真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x 在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤－2，所以k 的取值范围为
(－∞，－2].
7.(2025·宁波模拟)命题“∃x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≤－1
4
B.a≤0
C.a≥6
D.a≥8
答案 D
解析 若命题“∃x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题，
则命题的否定“∀x∈[－2，1]，x2－x－a≤0”为真命题，
即a≥x2－x，x∈[－2，1]恒成立，
对于函数y＝x2－x＝(x - 1
2)
2
－1
4 ，x∈[－2，1]，
当x＝－2 时，取得最大值y＝6，
所以a≥6，选项中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集，
所以命题“∃x∈[－2，1]，x2－x－a>0”为假命题的一个充分不必要条件为a≥8.
8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n 项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{
Sn
n }为等差数列，则(
)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 C
解析 方法一 甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1＋n(n-1)
2
d，Sn
n ＝a1＋n-1
2
d＝d
2 n＋a1－d
2 ，Sn＋1
n＋1 －Sn
n ＝d
2，
因此{
Sn
n }为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
Sn
n }为等差数列，
即Sn＋1
n＋1 －Sn
n ＝n Sn＋1-(n＋1)Sn
n(n＋1)
＝nan＋1- Sn
n(n＋1) 为常数，设为t，
即nan＋1- Sn
n(n＋1) ＝t，
则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，对n＝1 也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
方法二 甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
即Sn＝na1＋n(n-1)
2
d，
则Sn
n ＝a1＋n-1
2
d＝d
2 n＋a1－d
2 ，
因此{
Sn
n }为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
Sn
n }为等差数列，
设数列{
Sn
n }的公差为D，
则Sn＋1
n＋1 －Sn
n ＝D，Sn
n ＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
当n≥2 时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
所以an＝a1＋2(n－1)D，
当n＝1 时，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D 为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.下列既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.∃x∈R，|x|<0
B.∃x∈Z，cos π
2 x＝－1
C.至少有一个x∈Z，使x 能同时被3 和5 整除
D.每个平行四边形都是中心对称图形
答案 BC
解析 选项A 为存在量词命题，因为所有实数的绝对值非负，
即|x|≥0，所以A 是假命题；
选项B 为存在量词命题，当x＝2 时，满足cos(
π
2 ·2)＝cos π＝－1，所以B 既是存在量词命题又是真命题；
选项C 为存在量词命题，15 能同时被3 和5 整除，所以C 既是存在量词命题又是真命题；
选项D 是全称量词命题，所以D 不符合题意.
10.下列说法正确的是( )
A.命题“∃x≥1，x2>1”的否定是“∀x<1，x2≤1”
B.“a>0 且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0 的解集为R”的充要条件
C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件
D.已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是“ab>0”
答案 BC
解析 对于A，命题的否定是“∀x≥1，x2≤1”，故A 错误；
对于B，若a>0 且Δ＝b2－4ac≤0，则不等式的解集为R，充分性成立，若不等式的解集为R，则a>0 且Δ
＝b2－4ac≤0，即必要性成立，故B 正确；
对于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a＝1
2，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，
故C 正确；
对于D，例如a＝b＝0，可以推出|a＋b|＝|a|＋|b|，即|a＋b|＝|a|＋|b|不可以推出ab>0，故D 错误.
11.下列说法正确的为( )
A.异面直线所成的角的范围是[0，π]
B.已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值
范围是a>4
C.若命题“∃x∈R，mx2＋mx＋1<0”是假命题，则0<m<4
D.已知p：0<x≤1，q：4x＋2x－m≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为m≥6
答案 BD
解析 对于A，异面直线所成的角的范围是(0，π
2]，A 错误；
对于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得集合A 真包含于集合B，所以a
2>2，即a>4，B 正确；
对于C，若命题是假命题，则“∀x∈R，mx2＋mx＋1≥0”是真命题，故m＝0 或{
m>0,
Δ＝m
2- 4 m≤0,解得
0≤m≤4，C 错误；
对于D，由p 是q 的充分条件，则p⇒q，即对于0<x≤1，4x＋2x－m≤0 恒成立，令t＝2x，t∈(1，2]，则
m≥t2＋t 对于t∈(1，2]恒成立，又y＝t2＋t＝(t ＋1
2)
2
－1
4 ∈(2，6]，则m≥6，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明： .
答案 存在一个素数不是奇数
解析 因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为
了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数.
13.(2025·晋城联考)已知集合P＝{y|y＝x＋a，－1<x≤2}，Q＝{x|ln(2－x)<0}，若x∈P 是x∈Q 的必要不充
分条件，则实数a 的取值范围为 .
答案 [0，2]
解析 由y＝x＋a，－1<x≤2，则a－1<y≤a＋2，
所以P＝{y|a－1<y≤a＋2}，
由ln(2－x)<0，即ln(2－x)<ln 1，解得1<x<2，
所以Q＝{x|1<x<2}，
因为x∈P 是x∈Q 的必要不充分条件，则Q⫋P，
所以{
a-1≤1,
a＋2≥2,
解得0≤a≤2.
所以实数a 的取值范围为[0，2].
14.已知命题“∃x∈[－1，2]，x2－3x＋a>0”是假命题，则实数a 的取值范围是 .
答案 (－∞，－4]
解析 由题意得，“∀x∈[－1，2]，x2－3x＋a≤0”是真命题，则a≤－x2＋3x 对∀x∈[－1，2]恒成立，在
区间[－1，2]上，－x2＋3x 的最小值为－(－1)2＋3×(－1)＝－4，所以a≤(－x2＋3x)min＝－4，即a 的取值
范围是(－∞，－4].
15，18 题每小题5 分，16，17 题每小题6 分，共22 分
15.(2025·秦皇岛模拟)下列说法正确的是( )
A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
B.命题“∀x∈(0，＋∞)，x＋1
x >1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，x＋1
x ≤1”
C.“ω＝π”是“函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件
D.“cos2α＋sin2β＝1”的充要条件是“α＝β”
答案 C
解析 对于A，“若a>b，则a2>b2”是假命题，
例如1>－2，而12<(－2)2，
“若a2>b2，则a>b”是假命题，例如(－2)2>12，而－2<1，
即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，A 错误；
对于B，命题“∀x∈(0，＋∞)，x＋1
x >1”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“∃x∈(0，＋∞)，x＋1
x ≤1”，B 错误；
对于D，当α＝π
3 ，β＝2π
3 时，cos2α＋sin2β＝1 成立，因此cos2α＋sin2β＝1 成立，不一定有α＝β，D 错误；
对于C，当ω＝π 时，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2，
当函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2 时，ω＝π 或ω＝－π.
所以“ω＝π”是“函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为2”的充分不必要条件，C 正确.
16.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“对任意正整数n>2，关于x，y，z 的方程xn＋yn＝zn没有正
整数解”.经历三百多年，由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成为费马大定理.根据前面叙述，
则下列命题正确的为( )
A.至少存在一组正整数组(x，y，z)是关于x，y，z 的方程x3＋y3＝z3的解
B.关于x，y 的方程x3＋y3＝1 有正有理数解
C.关于x，y 的方程x3＋y3＝1 没有正有理数解
D.当整数n>3 时，关于x，y，z 的方程xn＋yn＝zn有正实数解
答案 CD
解析 当正整数n>2 时，关于x，y，z 的方程xn＋yn＝zn没有正整数解，故方程x3＋y3＝z3没有正整数解，A
错误；
x3＋y3＝z3没有正整数解，即(
x
z)
3
＋(
y
z)
3
＝1(z≠0)没有正有理数解，B 错误，C 正确；
方程xn＋yn＝zn，当x＝y＝1，z＝2
1
n时满足条件，故有正实数解，D 正确.
17.(多选)已知p：∀x∈[0，1]，不等式2x-2≥m2-3m 恒成立，q：∃x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0，则下列说
法正确的是( )
A.p 的否定是：∃x∈[0，1]，不等式2x-2<m2-3m
B.q 的否定是：∀x∈[1，3]，不等式x2-ax+4≤0
C.若p 为真命题，则1≤m≤2
D.若q 为假命题，则a<4
答案 ACD
解析 p 的否定是：∃x∈[0，1]，不等式2x-2<m2-3m，A 正确；
q 的否定是：∀x∈[1，3]，不等式x2-ax+4>0，B 错误；
若p 为真命题，则(2x-2)min≥m2-3m，x∈[0，1]，即m2-3m+2≤0，
解得1≤m≤2，C 正确；
若q 为假命题，则x2-ax+4>0，x∈[1，3]恒成立，即a<x+4
x ，x∈[1，3]恒成立，
因为x+4
x ≥2√x· 4
x =4，当且仅当x=4
x ，即x=2 时取等号，所以a<4，D 正确.
18.若“∃x∈(0，m)，使得x> 5
lg30
3
lg0.5”为假命题，则m 的最大值为 .
答案 15
解析 因为“∃x∈(0，m)，使得x> 5
lg30
3
lg0.5”为假命题，
所以“∀x∈(0，m)，x≤5
lg30
3
lg0.5”为真命题，
因为5
lg30
3
lg0.5=5
lg10+lg3
3
-lg2 =5
1+lg3
3
-lg2 =5×5lg 3×3lg 2，
设5lg 3=t>0，所以log5t= lgt
lg5=lg 3，
所以lgt
lg3=lg 5，
所以log3t=lg 5，所以t=3lg 5，所以5lg 3=3lg 5，
所以5
lg30
3
lg0.5=5×3lg 5×3lg 2=5×3lg 5+lg 2=15，
即∀x∈(0，m)，x≤15，
所以0<m≤15，所以m 的最大值为15.
