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专题11 函数中的同构问题
近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，同构法是将不
同的式子通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，
这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式、不等式问题中，或利
用函数单调性定义确定函数单调性，利用此方法求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果.
(一)同构函数揭秘
同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如
与
x+ln x
属于“跨阶函数”，而
属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，
一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数
问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：
，
等，在一些求参数的取值范围、零点个数、
不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.
利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；
等.
【例1】（2024 届江苏省苏州市高三下学期三模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
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【解析】（1）函数
的定义域为
，且
．
当
时，
恒成立，所以
在区间
上单调递增；
当
时，令
，解得
，
当
时，
在区间
上单调递增，
当
时，
在区间
上单调递减．
综上所述，当
时，
在区间
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（2）当
时，因为
，所以要证
，只要证明
即可，
即要证
，等价于
（*）．
令
，则
，
在区间
上，
单调递减；在区间
上，
单调递增，
所以
，所以
（当且仅当
时等号成立），
所以（*）成立，当且仅当
时，等号成立．
又
在
上单调递增，
，
所以存在
，使得
成立．综上所述，原不等式成立．
【例2】（2024 届重庆市南开中学高三上学期第质量检测）已知函数
在
处的切线
和直线
垂直.
(1)求实数
的值；
(2)若对任意的
，
，都有
成立（其中为自然对数的底数），求
实数m 的取值范围.
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【解析】（1）由函数
，可得
，可得
因为函数在
处的切线l 和直线
垂直，所以
，
即
，解得
.
（2）解：不妨设
，则
，
因为对任意的
，
，都有
成立，
可得
，即
，
设
，则
，故
在
单调递增，
从而有
，即
在
上恒成立，
设
，则
，
因为
，
令
，即
，解得
，
令
，即
，解得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
又因为
，故
在
上最小值
，所以
，
实数
的取值范围是
.
(二)
型同构
【例3】（2024 届广西贵港市高考模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，请判断
的极值点的个数并说明理由；
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(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，
，
所以
，令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
又
，
，
存在唯一零点
，且
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
单调递增．
有一个极小值点
，无极大值点．
（2）
恒成立，
恒成立，
恒成立．
令
，则
，
恒成立．
设
，由（1）可知
的最小值为
．
又
，
．（﹡）
设
，当
时，
，
在
上单调递增，
，
，
，
由（﹡）知
，
，即
．
，
，
，又
，
a 的取值范围为
．
(三)
型同构
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【例4】（2023 届福建省宁德市高三高考前最后一卷）已知函数
．
(1)讨论函数
的零点的个数﹔
(2)当
时，若对任意
，恒有
，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）令
则
，记
，则
，
当
时，
，此时
在
单调递减，
当
时，
，此时
在
单调递增，
故当
时，
取极大值也是最大值
，
又
，而当
时，
，故当
时，
，当
时，
，作出
的图
象如下：
因此当
时，即
，
无交点，此时
无零点，
当
或
时，即
或
，
有一个交点，此时
有一个零点，
当
时，即
，
有两个交点，此时
有2 个零点，
综上可知：当
时，
无零点，
当
或
有一个零点，当
，
有2 个零点，
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（2）当
时，若对任意
，恒有
等价于：
对任意
，恒有
，
令
，则不等式等价于
，
由于
，
令
，
当
单调递减，当
单调递增，所以
，
故
在
单调递增，
由
得
对任意
恒成立，
两边取对数得
对任意
恒成立，
故
，所以
，故
的范围为
。
(四)
型同构
【例5】（2024 届福建省漳州市高三上学期质量检测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求实数a 的取值范围.
【解析】（1）依题意，得
.
当
时，
，所以
在
单调递增.
当
时，令
，可得
；令
，可得
，
所以
在
单调递增，在
单调递减.
综上所述，当
时，
在
单调递增；当
时，
在
单调递增，在
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单调递减.
（2）因为当
时，
，所以
，
即
，
即
，
即
.
令
，则有
对
恒成立.
因为
，所以
在
单调递增，
故只需
，
即
对
恒成立.
令
，则
，令
，得
.
当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
.因此
，所以
.
(五)
型同构
【例6】（2024 届江苏省宿迁市高三下学期三模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线的方程为
，求实数的值；
(2)若函数
恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）因为
，函数的定义域为
，
所以
，
由曲线
在
处的切线的方程为
，得
，
所以
，
设
，
，
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所以函数
是
上的递增函数，又
，
所以方程
有唯一解
，
所以
，
，
所以切点坐标为
，代入直线方程
得
．
（2）
，定义域为
，
，
设
，所以
，
所以
在
上递减，又
，
，
所以当
时，
，即
，函数
递增，
当
时，
，即
，函数
递减，
所以函数
的最大值
，
又
，所以
，
所以
，
因为
恒成立，即
恒成立，
设
，则
，所以
递增，
所以
，即
恒成立，因为
在
上递减，且
，
所以只需
恒成立，即
，又
，所以
．
(六)利用单调函数定义同构
【例7】（2024 届贵州省六盘水市2024 届高三下学期三诊）若函数
在
上有定义，且对于任意不
同的
，都有
，则称
为
上的“k 类函数”
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(1)若
，判断
是否为
上的“4 类函数”；
(2)若
为
上的“2 类函数”，求实数a 的取值范围；
(3)若
为
上的“2 类函数”且
，证明：
，
，
.
【解析】（1）函数
是
上的“4 类函数”，理由如下：
不妨设
，所以
，
，
所以
是
上的“4 类函数”；
（2）
，
，
由题意知，对于任意不同的
都有
，
不妨设
，则
，
故
且
，
所以
为
上的增函数，
为
上的减函数，
所以对任意的
，即
，
由
，令
，则
，
，
令
得
在
上单调递增，
，
由
，令
，
只需
，
，令
得
在
单调递增，
所以
，综上所述，实数a 的取值范围为
；
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（3）证明：因为
为
上的“2 类函数”，所以
，
不妨设
，当
时，
；
当
时，因为
，
所以
，
综上所述，
，
，
.
【例1】（2024 届西省九江市高三第三次统考）已知函数
，且
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有三个不同的实数解，求的取值范围.
【解析】（1）解法一：
令
，
则
在
上单调递增.
又
当
时，
，即
；当
时，
，即
在
上单调递减，在
上单调递增.
解法二：
①当
时，由
得
，由
得
在
上单调递减，在
上单调递增
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②当
时，同理可得
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）解法一：由
，得
，易得
令
，则
，又
为偶函数，
由（1）知
在
上单调递增，
，即
有三个不同的实数解.
令
，由
，得
由
，得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，且
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减
当
时，
；当
时，
，故
解得
或
，故的取值范围是
解法二：由
得
，易得
，
令
，则
在
上单调递减，在
上单调递增.
由
，得
或
，
两边同时取以为底的对数，得
或
，
，即
有三个不同的实数解，下同解法一.
【例2】（2024 届江苏省徐州市邳州市高三上学期月考）已知函数
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)若方程
有解，求实数a 的取值范围．
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【解析】（1）当
时，
，
，设
，则
，
在
上单调递增，且
，
所以
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，所以
；
（2）
即
，
即
，设
，则
，
，设
，则
，
所以
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
在
上单调递增，
所以方程
有解即
在
上有解，
有解，即
有解，设
，则
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，所以
，
当
时，
，所以
，即实数a 的取值范围是
．
【例3】（2024 届陕西省西安市部分学校高三上学期考试）已知函数
.
(1)当
，求
的极值；
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(2)若
恒成立，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时
，
，
则
，
所以在
上
，
单调递增，在
上
，
单调递减，
当
时
取得极大值，
，故
的极大值为
，无极小值.
（2）由
，可得
，则
，即
.
令
，则
，
因为
在
上单调递增，所以
，则
.
令
，则
，
在
上
，
单调递增，在
上
，
单调递减，即
，
所以
，则
的取值范围为
.
【例4】（2024 届安徽省六校教育研究会高三上学期素质测试）已知函数
（是自然对数的
底数）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）因为
，所以
，
当
时，
，所以
在R 上单调递减；
当
时，令
得
；令
得
，
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在R 上单调递减，无增区间；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由题意
有两个零点，
令
，
，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，
故
，所以
有两个零点等价于
有两个零点，
等价于
有两个不同的实数解，等价于
与
有两个交点，
则
，
得
，
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，
，
当t 趋向于0 且为正时，
趋向于负无穷大，当t 趋向于正无穷大时，
趋向于0，如图：
由图可知，要使
与
有两个交点，则
，
所以实数
的取值范围为
.
【例5】（2024 届重庆市渝北中学高三上学期月考）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
的极值；
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(2)若任意
、
且
，都有
成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，其中
，
则
，令
，解得
或
，
又因为
，所以
，
列表如下：
2
0
单调递减
极小
值
单调递增
因此
有极小值
，无极大值.
（2）解：因为
，
，
所以
，其中
，
对
、
且
，不妨设
，则
，
得到
，化为
，
设
且函数
的定义域为
，
所以
在
为增函数，
即有
对
恒成立，即
对任意的
恒成立，
设
，其中
，则
，
令
，解得
，令
，解得
，
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所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
最大值
，因此实数
的取值范围是
．
【例6】已知函数
(1)请讨论函数
的单调性
(2)当
时，若
恒成立，求实数
的取值范围
【解析】 (1)
当
时，
在
上递增
当
时，在
，
单调递减
在
上
，
单调递增
(2)原式等价于
设
，
由（1）当
时，
为增函数 ，
，
∴等式等价于
恒成立，
时，
成立，
时，
，
设
，
，
，
设
，
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所以
在
上为增函数，
又因为
，所以在
上，
，
，
为减函数，
在
上，
，
，
为增函数，
，
．
1．（2024 届江西省南昌市高三二模）已知
且
.
(1)当
时，求证：
在
上单调递增;
(2)设
，已知
，有不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
2．（2024 福建省福宁古五校教学联合体质量监测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性;
(2)若关于
的方程
有两个不相等的实数根
，
（i）求实数
的取值范围;
（ii）求证:
．
3．（2024 届天津市八校高三下学期联合模拟）已知
，
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)若函数
存在极大值，且极大值为1，求证：
．
4．（2024 届全国统一考生押题卷）已知函数
，
．
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(1)求曲线
在点
处的切线方程．
(2)当
时，讨论函数
的单调性．
(3)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
5．（2024 届山东省部分学校高三上学期联考）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
6.已知
(1)当
时，求
的单调性；
(2)讨论
的零点个数．
7.已知函数
.
(1)当
时，若曲线
与直线
相切于点
，求点
的坐标；
(2)当
时，证明：
；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，请直接写出
的取值范围.
8.（2023 届广东省深圳市光明区高三二模）已知函数
的图象在
处的切线经过点
.
(1)求
的值及函数
的单调区间；
(2)设
，若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求正实数
的取值范围.
9.已知
，
，
．
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(1)当
时，求函数
的极值；
(2)当
时，求证：
．
10.（2023 届海南省海口市龙华区高三一模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)已知
，若存在
，不等式
成立，求实数
的最大值.
11.（2023 届吉林省长春外国语学校高三上学期考试）已知函数
（e 是自然对数的底数）.
(1)当
时，求
的极值点；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若
有两个零点，求实数
的取值范围.
12．已知函数
，
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)求证：
.
(3)当
时，
，求实数
的取值范围.
13.已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间：
(2)若
在
恒成立，求实数
的取值范围.
14．已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间；
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(2)是否存在实数a，使
对
恒成立，若存在，求出a 的值或取值范围；若不存在，请说明
理由.
15．已知函数
．
(1)若
在
上仅有一个零点，求实数a 的取值范围；
(2)若对任意的
，
恒成立，求实数a 的取值范围．
16．已知函数
，其图象在
处的切线过点
．
(1)求a 的值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
，关于x 的不等式
在区间
上恒成立，求
的取值范围．
