§2.7 指数运算与对数运算
课标要求 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念
及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际问题中的应
用.
1.根式
(1)一般地,如果xn＝a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,且n∈N*.
(2)式子n√a叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
(3)(n√a)n＝a.
当n 为奇数时,
n√a
n＝a,
当n 为偶数时,
n√a
n＝|a|＝{
a,a≥0,
-a,a<0.
2.分数指数幂
正数的正分数指数幂：a
m
n ＝
n√a
m(a>0,m,n∈N*,n>1).
正数的负分数指数幂：a
- m
n ＝1
a
m
n
＝1
n√a
m(a>0,m,n∈N*,n>1).
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r (a>0,b>0,r,s∈R).
4.对数的概念
一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x＝logaN,其中a 叫做对数的底数,N
叫做真数.
以10 为底的对数叫做常用对数,记作lg
N .
以e 为底的对数叫做自然对数,记作ln
N .
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1,a
lo ga N＝N(a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
①loga(MN)＝logaM
＋
log
aN；
②loga M
N ＝logaM
－
log
aN；
③logaMn＝n log
aM(n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝lo gcb
lo gc a(a>0,且a≠1；b>0；c>0,且c≠1).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)
4√(- 4)
4＝－4.( × )
(2)若M＝N,则logaM＝logaN.( × )
(3)2a·2b＝2ab.( × )
(4)lg 2＋lg 5＝1.( √ )
2.(多选)下列运算正确的有( )
A.lg 2＋lg 3＝lg 5
B.log3100＝10log310
C.4
lo g45＝5
D.log34·log43＝1
答案 CD
解析 lg 2＋lg 3＝lg 6,故A 错误；
log3100＝2log310,故B 错误；
4
lo g45＝5,故C 正确；
log34·log43＝1,故D 正确.
3.若a
2
5 ＝4
25
(a>0 且a≠1),则loga2
5等于( )
A.25
4
B.2
C.1
5
D.5
答案 C
解析 由a
2
5 ＝4
25 ,得loga 4
25 ＝2
5 ,
∴loga(
2
5)
2
＝2
5 ,∴2loga2
5 ＝2
5 ,
∴loga2
5 ＝1
5.
4.27
2
3 ＋4
lo g43－lg 5－lg 2＝ .
答案 11
解析 27
2
3 ＋4
lo g43－lg 5－lg 2＝(3
3)
2
3＋3－(lg 5＋lg 2)＝32＋3－lg 10＝9＋3－1＝11.
1.灵活应用化简指数幂常用的技巧
(1)(
b
a)
- p
＝(
a
b)
p
(ab>0)；
(2)a＝(a
1
m)m,a
n
m＝(a
1
m)n(式子有意义)；
(3)1 的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝a
- 1
2 a
1
2(a>0)等；
(4)乘法公式的常见变形,如(a
1
2 ＋b
1
2)(a
1
2 －b
1
2)＝a－b(a,b>0),
(a
1
2±b
1
2)2＝a±2a
1
2 b
1
2＋b(a,b>0),
(a
1
3 ＋b
1
3)(a
2
3∓a
1
3 b
1
3 ＋b
2
3)＝a±b(a,b>0).
2.谨防两个失误点
(1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化.
题型一 指数运算
例1 (1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)( )
A.a
4
6 ＝
3√a
2
B.4√a
4＝a
C.(6√2)√2＝36
D.a
- 2
3＝－3√a
2
答案 ABC
解析 对于A,a
4
6 ＝a
2
3 ＝
3√a
2,故A 正确；
对于B,
4√a
4＝|a|＝a,故B 正确；
对于C,(6√2)√2＝6√2×√2＝62＝36,故C 正确；
对于D,a
- 2
3 ＝1
a
2
3
＝1
3√a
2 ,故D 错误.
(2)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)( )
A.0.25
1
2 ＋(
5√π )
0－2－1＝0
B.(
27
8 )
- 2
3 －(
49
9 )
0.5
＋(0.008)
- 2
3× 1
25＋(π－1)0＝1
9
C.(23√a
2·√b)(－6√a·3√b)÷(－36√a·6√b
5)＝1
D.若x
1
2 ＋x
- 1
2 ＝√6,则
x＋x
-1
x
2＋x
-2-2
＝1
3
答案 BD
解析 对于A,0.25
1
2 ＋(
5√π )
0－2－1＝0.5＋1－1
2＝1,A 错误；
对于B,(
27
8 )
- 2
3 －(
49
9 )
0.5
＋(0.008)
- 2
3× 1
25＋(π－1)0＝(
3
2)
-2
－7
3 ＋(
1
5)
-2
× 1
25＋1＝4
9 －7
3＋25× 1
25＋1
＝4
9 －7
3＋2＝1
9 ,B 正确；
对于C,原式＝(2a
2
3 b
1
2)(－6a
1
2 b
1
3)÷(－3a
1
6 b
5
6)＝[2×(－6)÷(－3)] a
2
3 ＋1
2 - 1
6·b
1
2 ＋1
3 - 5
6＝4ab0＝4a,C 错误；
对于D,当x
1
2 ＋x
- 1
2 ＝√6时,( x
1
2 ＋x
- 1
2 )
2＝x＋2＋x－1＝6,得x＋x－1＝4,由( x ＋x
-1)
2＝x2＋2＋x－2＝16,得x2＋
x－2＝14,所以
x＋x
-1
x
2＋x
-2-2
＝
4
14 -2 ＝1
3 ,D 正确.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,
还应注意：
①必须同底数幂相乘,指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1 计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)(
1
4)
- 1
2·
√(4 ab
-1)
3
(0.1)
-1·(a
3·b
-3)
1
2
；
(2)0.125
- 1
3 －(
9
8)
0
＋[(-2)
2]
1
2 ＋(√2×
3√3)
6.
解 (1)(
1
4)
- 1
2·
√(4 ab
-1)
3
(0.1)
-1·(a
3·b
-3)
1
2
＝4
1
2·(4 ab
-1)
3
2
10a
3
2 b
- 3
2
＝2· 8a
3
2 b
- 3
2
10a
3
2 b
- 3
2
＝8
5.
(2)0.125
- 1
3 －(
9
8)
0
＋[(-2)
2]
1
2 ＋(√2×
3√3)
6
＝[(
1
2)
3
]
- 1
3－1＋2＋2
1
2 ×6×3
1
3 ×6
＝2＋1＋8×9＝75.
题型二 对数运算
例2 (1)(多选)下列运算中正确的是( )
A.lo g37
lo g35＝log75
B.(
8
27)
- 1
3 ＝3
2
C.x＝ln ex
D.(
1
2)
-lo g26
＋ln(ln e)＝6
答案 BCD
解析 对于A, lo g37
lo g35＝log57,故A 错误；
对于B,(
8
27)
- 1
3 ＝(
3
2)
3× 1
3 ＝3
2 ,故B 正确；
对于C,x＝ln ex,故C 正确；
对于D,(
1
2)
-lo g26
＋ln(ln e)＝2
lo g26＋ln 1＝6＋0＝6,故D 正确.
(2)(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是( )
A.lg2＋lg5-lg8
lg50-lg 40
＝1
B.lg 4＋lg5-1
2lg0.5＋lg8＝2
C.lg 14－2lg 7
3＋lg 7－lg 18＝0
D.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2
答案 AC
解析 lg2＋lg5-lg8
lg50-lg 40
＝
lg 10
8
lg 50
40
＝1,A 成立；
lg 4＋lg5-1
2lg0.5＋lg8 ＝
lg20-1
lg0.25＋lg8 ＝1＋lg2-1
lg2
＝1,B 不成立；
lg 14－2lg 7
3＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0,C 成立；
(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1,D 不成立.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
跟踪训练2 (1)(多选)设a,b,c 均为不等于1 的正实数,则下列等式中不成立的是( )
A.logab·logca＝logcb
B.logab·logcb＝logca
C.loga(b＋c)＝logab＝logac
D.loga(bc)＝logab·logac
答案 BCD
解析 对于A,logab·logca＝lgb
lga·lga
lgc ＝lgb
lgc ＝logcb,故A 正确；
对于B,logab·logcb＝lgb
lga·lgb
lgc ,而logca＝lga
lgc ,故B 错误；
对于C,若loga(b＋c)＝logab＝logac,则b＋c＝b＝c,故b＝c＝0,显然不符合要求,故C 错误；
对于D,loga(bc)＝logab＋logac,故D 错误.
(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a= .
答案 e
解析 f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4
=a3ln 2=(a
ln 2)
3=8,
∴aln 2=2,∴a=e.
题型三 指对运算的应用
例3 (1)(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到
如下Logistic 模型：P(x)＝
e
-0.97＋0.127 x
1＋e
-0.97＋0.127 x ,其中x 是客户年收入(单位：万元),P(x)是按时还款概率的预
测值,如果某人年收入是10 万元,那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)( )
A.0.35
B.0.46
C.0.57
D.0.68
答案 C
解析 由题意得ln 1.35≈0.3,所以e0.3≈1.35,所以P(10)＝
e
-0.97＋1.27
1＋e
-0.97＋1.27 ＝
e
0.3
1＋e
0.3≈1.35
2.35≈0.57.
(2)(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898 年Peukert 提出铅酸电池的容
量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ 为与
蓄电池结构有关的常数(称为Peukert 常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A 时,放电时间为
60 h；当放电电流为25 A 时,放电时间为15 h,则该蓄电池的Peukert 常数λ 约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg
3≈0.477)( )
A.1.12
B.1.13
C.1.14
D.1.15
答案 D
解析 由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15,
所以(
25
7.5)
λ
＝(
10
3 )
λ
＝60
15＝4,
两边取以10 为底的对数,得λlg 10
3 ＝2lg 2,
所以λ＝2lg2
1-lg3≈2×0.301
1-0.477 ≈1.15.
思维升华 利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数,利用待定系数法确定参数
的值,然后解决问题.
跟踪训练3 (1)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间的计算而发明了
对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699,则231是( )
A.9 位数
B.10 位数
C.11 位数
D.12 位数
答案 B
解析 记231＝M,
则31×lg 2＝lg M,
则lg M＝31×(1－lg 5)≈9.331,
则M≈109.331∈(109,1010),
故231是10 位数.
(2)(2024·恩施模拟)区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域,在区块链技术中,若密码的长度设定
为256 比特,则密码一共有2256种可能,因此为了破解密码,最坏情况需要进行2256次运算.现在有一台机器,
每秒能进行2.5×1011次运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大
约为(参考数据：lg 2≈0.301,100.658≈4.5)( )
A.4.5×1065秒
B.4.5×1083秒
C.4.5×1017秒
D.4.5×107秒
答案 A
解析 由题意知所需时间t＝
2
256
2.5×10
11(秒),
∴lg t＝256lg 2－(lg 2.5＋11)
＝256lg 2－(lg 10
4 ＋11)＝258lg 2－12≈65.658,
∴t≈1065.658＝100.658×1065≈4.5×1065(秒).
课时精练
[分值：90 分]
一、单项选择题(每小题5 分,共30 分)
1.下列各式正确的是( )
A.√(-3)
2＝－3
B.log2x2＝2log2x
C.√2
2＝2
D.a0＝1
答案 C
解析 √(-3)
2＝3,故A 错误；log2x2＝2log2|x|,故B 错误；√2
2＝2,故C 正确；a0＝1,当a≠0 时成立,故D 错误.
2.2
1＋lo g√2√3等于( )
A.4
B.6
C.8
D.10
答案 B
解析 因为log√2√3＝lo g23
1
2
lo g22
1
2
＝log23,所以2
1＋lo g√2√3＝2
1＋lo g23＝2×2
lo g23＝2×3＝6.
3.若2x＝5
2 ,lg 2≈0.301,则x 的值约为( )
A.1.322
B.1.410
C.1.507
D.1.669
答案 A
解析 因为2x＝5
2 ,lg 2≈0.301,
所以x＝log25
2 ＝lg5-lg2
lg2
＝1-2lg2
lg2
≈1-2×0.301
0.301
≈1.322.
4.(2024·武汉模拟)已知ab≠1,logam＝2,logbm＝3,则logabm 等于( )
A.1
6
B.1
5
C.5
6
D.6
5
答案 D
解析 由换底公式得,logma＝
1
lo gam ＝1
2 ,logmb＝
1
lo gbm ＝1
3 ,
所以logabm＝
1
lo gm(ab) ＝
1
lo gma＋lo gmb ＝6
5.
5.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x 较大时,1＋1
2 ＋1
3＋…＋1
x ≈ln x＋γ(x∈N*,常数γ＝
0.557…).利用以上公式,可以估算1
101 ＋1
102＋…＋1
300的值为( )
A.ln 30
B.ln 3
C.－ln 3
D.－ln 30
答案 B
解析 依题意可得1＋1
2 ＋1
3＋…＋1
300≈ln 300＋γ,
1＋1
2 ＋1
3＋…＋1
100≈ln 100＋γ,
两式相减可得1
101 ＋1
102＋…＋1
300≈ln 300－ln 100＝ln 3.
6.(2024·大连模拟)本福特定律指出,一个没有人为编造的自然生成的数据(为正实数)中,首位非零的数字是
1~9 这九个事件并不是等可能的,而是大约遵循这样一个公式：随机变量ξ 是一个没有人为编造的首位非零
数字,则P(ξ＝k)＝lg(1＋1
k)(k＝1,2,…,9),则根据本福特定律,在一个没有人为编造的数据中,首位非零数字是
8 的概率约是(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.0.046
B.0.051
C.0.058
D.0.067
答案 B
解析 由题意可得P(ξ＝8)＝lg 9
8＝lg 9－lg 8＝2lg 3－3lg 2≈2×0.477－3×0.301＝0.051.
二、多项选择题(每小题6 分,共12 分)
7.下列判断正确的有( )
A.
4√(3- π )
4＝π－3
B.ln m·ln n＝ln(m＋n)(其中m>0,n>0)
C.√a·√a·√a＝a
7
8(其中a>0)
D.27
- 1
3 ＝2
lo g 1
2
3
答案 ACD
解析 对于A,
4√(3- π )
4＝|3－π|＝π－3,A 正确；
对于B,由对数性质可知ln(mn)＝ln m＋ln n,B 错误；
对于C,√a·√a·√a＝√a·√a·a
1
2 ＝√a·√a
3
2 ＝√a·a
3
4 ＝√a
7
4 ＝a
7
8 ,C 正确；
对于D,27
- 1
3 ＝(3
3)
- 1
3＝3－1＝1
3 ,2
lo g 1
2
3
＝2
-lo g23＝2
lo g23
-1
＝3－1＝1
3 ,所以27
- 1
3 ＝2
lo g 1
2
3
,D 正确.
8.以下运算中正确的有( )
A.若lg 3＝m,lg 2＝n,则log518＝2m＋n
1-n
B.[(1-√2)
2]
1
2 －(1＋√2)
-1＋(1＋√2)
0＝3－2√2
C.(
1
3)
-2
－2ln(ln ee)＝7
D.log23·log94＝2
答案 AC
解析 对于A,log518＝lg18
lg5 ＝lg2＋lg9
1-lg2
＝2lg3＋lg2
1-lg2
＝2m＋n
1-n
,故A 正确；
对于B,[(1-√2)
2]
1
2 －(1＋√2)
-1＋(1＋√2)
0＝√2－1－
1
1＋√2＋1＝√2－
1-√2
(1＋√2)(1-√2) ＝√2＋1－
√2＝1,故B 错误；
对于C,(
1
3)
-2
－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7,故C 正确；
对于D,log23·log94＝log23·
lo g24
lo g29 ＝log23·
2
2lo g23＝1,故D 错误.
三、填空题(每小题5 分,共10 分)
9.(
27
8 )
- 1
3＋log4√3·log32＋2
-lo g23＝ .
答案 5
4
解析 (
27
8 )
- 1
3＋log4√3·log32＋2
-lo g23＝(
3
2)
3×(- 1
3)
＋1
4 log23·log32＋2
lo g2
1
3 ＝2
3 ＋1
4 ＋1
3 ＝5
4 .
10.(2024·荆州模拟)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝√2
2 ,则loga1a2…a10(b1b2…b10)＝ .
答案 √2
2
解析 因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loga10b10＝√2
2 ,则bi＝ai
√2
2 (i＝1,2,3,…,10),
所以loga1a2…a10(b1b2…b10)＝lg(b1b2…b10)
lg(a1a2…a10) ＝lg(a1
√2
2 a2
√2
2 …a10
√2
2 )
lg(a1a2…a10) ＝lg(a1a2…a10)
√2
2
lg(a1a2…a10) ＝√2
2
.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)计算下列各式的值：
(1)(-3 3
8)
- 2
3 ＋0.002
- 1
2－10×(√5-2)
-1＋(√2-√3)
0；(6 分)
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)－e
ln 5
4.(7 分)
解 (1)(-3 3
8)
- 2
3 ＋0.002
- 1
2－10×(√5-2)
-1＋(√2-√3)
0
＝(-1)
- 2
3×(
27
8 )
- 2
3 ＋(
1
500)
- 1
2 －
10
√5-2＋1
＝(
3
2)
3×(- 2
3)＋500
1
2－10×(√5＋2)＋1
＝4
9 ＋10√5－10√5－20＋1＝－167
9 .
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)－e
ln 5
4
＝(lo g32＋1
2 lo g32)(
1
2 lo g23＋1
3 lo g23)－5
4
＝3
2log32×5
6log23－5
4 ＝3
2×5
6×log32×log23－5
4 ＝5
4 －5
4 ＝0.
12.(14 分)已知P＝80.25×
4√2＋(
27
64)
- 1
3－(－2 024)0,Q＝2log32－log332
9 ＋log38.
(1)分别求P 和Q；(8 分)
(2)若2a＝5b＝m,且1
a ＋1
b＝Q,求m.(6 分)
解 (1)P＝80.25×
4√2＋(
27
64)
- 1
3－(－2 024)0
＝(8×2)
1
4 ＋[(
3
4)
3
]
- 1
3－1
＝2＋4
3 －1＝7
3 ,
Q＝2log32－log332
9 ＋log38＝log3(4÷ 32
9 ×8)＝log39＝2.
(2)因为2a＝5b＝m>0,
所以a＝log2m,b＝log5m,
由换底公式得1
a＝logm2, 1
b＝logm5,则m≠1,
则1
a ＋1
b＝logm2＋logm5＝logm10,
由于1
a ＋1
b＝Q,故logm10＝2,
所以m＝√10.
13 题5 分,14 题6 分,共11 分
13.(2025·连云港模拟)19 世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时,偶然发现表中以1 开头的数出现的频
率更高.约半个世纪后,物理学家本·福特又重新发现这个现象,从实际生活得出的大量数据中,以1 开头的数出
现的频数约为总数的三成,并提出本·福特定律,即在大量b 进制随机数据中,以n 开头的数出现的概率为Pb(n)
＝logbn＋1
n
,如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.若
14
Σ
n＝k
P10(n)＝lo g29-lo g23
1＋lo g25
(k∈N*,k≤14),则k 的值为( )
A.3
B.5
C.7
D.9
答案 B
解析
14
Σ
n＝k
P10(n)＝P10(k)＋P10(k＋1)＋…＋P10(14)＝lg k ＋1
k
＋lg k ＋2
k ＋1＋…＋lg 15
14 ＝lg 15
k ,
又lo g29-lo g23
1＋lo g25
＝lo g23
lo g210＝lg 3,故k＝5.
14.(多选)已知3a＝8b＝24,则a,b 满足的关系是( )
A.1
a ＋1
b ＝1
B.1
a ＋1
b＝2
C.(a－1)2＋(b－1)2<2
D.(a－1)2＋(b－1)2>2
答案 AD
解析 由3a＝8b＝24,则(3
a)
b＝24b,(8
b)
a＝24a,即3ab＝24b,8ab＝24a,两式相乘得(24)ab＝24a＋b,所以ab＝a＋b,又
因为a≠0,b≠0,有1
a ＋1
b＝1,A 选项正确,B 选项错误；
由a≠b,有a2＋b2>2ab,则(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2>2ab－2(a＋b)＋2＝2,C 选项错误,D 选项正确.
