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§8.2 两条直线的位置关系
(分值：73 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知直线l1：x+(a-1)y-3=0 与直线l2：x+2y+3=0 相互垂直，则a 的值为( )
A.1
2
B.1
C.3
D.-1
2
2.“m=-3”是“直线2x+(m+1)y+4=0 与直线mx+3y-2=0 平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.直线3x-(k+2)y+k+5=0 与直线kx+(2k-3)y+2=0 相交，则k 的取值范围是( )
A.{k|k≠1}
B.{k|k≠-9}
C.{k|k≠1 且k≠9}
D.{k|k≠1 且k≠-9}
4.(2025·绵阳模拟)已知A(-2，0)，B(4，m)两点到直线l：x-y+1=0 的距离相等，则m 等于( )
A.-2
B.6
C.-2 或4
D.4 或6
5.(2024·绍兴模拟)原点O 到直线l：λx+y-λ+1=0(λ∈R)的距离的最大值为( )
A.√2
5
B.2√2
5
C.4√2
5
D.√2
6.过定点M(1，2)作两条相互垂直的直线l1，l2，设原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最大
值为( )
A.√5
B.2√5
C.√10
D.√5
2
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
7.(2024·南平模拟)已知直线l1：4x-3y-3=0，直线l2：(m+2)x-(m+1)y+m=0(m∈R)，则( )
A.当m=-1 时，l1⊥l2
B.当m=2 时，l1∥l2
C.当l1∥l2时，l1与l2之间的距离为1
D.直线l1与l2不可能重合
8.若三条不同的直线l1：ax+y+2=0，l2：x+y-1=0，l3：x-y+3=0 不能围成一个三角形，则a 的取值可能为(
)
A.-1
B.-1
2
C.1
D.4
9.(2024·太原模拟)已知直线l1：x+y=0，l2：2x-3y-6=0，则下列说法正确的是( )
A.直线l1与l2相交于点(
6
5 ，- 6
5)
B.直线l1，l2和x 轴围成的三角形的面积为6
5
C.直线l2关于原点O 对称的直线方程为2x-3y+6=0
D.直线l2关于直线l1对称的直线方程为3x-2y+6=0
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
10.经过点P(1，0)和两直线l1：x+2y-2=0，l2：3x-2y+2=0 交点的直线方程为 .
11.已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕点A，B 旋转，平行线之间的距离最大时
两平行直线方程分别为 .
12.(2024·贵州模拟)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗
句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军观望烽火之后，从山脚下的某处返
回军营，途中须到河边让马饮水然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐
标系中，军营所在位置为坐标原点O(0，0)，将军从山脚下的点P(1，1)处出发返回军营，河岸线所在直线
方程为x-y+2=0.则返回总路程最短为 .
每小题5 分，共10 分
13.设m∈R，过定点A 的动直线x+my=0 和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0 交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最
大值是( )
A.√5
B.√10
C.5
D.10
14.正方形ABCD 的两个顶点A，B 在直线x+y-4=0 上，另两个顶点C，D 分别在直线2x-y-1=0，4x+y-23=0
上，那么正方形ABCD 的边长为 .
答案精析
1.A [∵l1⊥l2，∴1×1+(a－1)·2＝0，解得a＝1
2.]
2.A [由直线2x+(m+1)y+4＝0 与直线mx+3y－2＝0 平行，得2
m ＝m+1
3
≠4
-2 且m≠0，解得m＝2 或m＝－
3，所以“m＝－3”是“直线2x+(m+1)y+4＝0 与直线mx+3y－2＝0 平行”的充分不必要条件.]
3.D [由题意得3(2k－3)－k·[－(k+2)]≠0，
解得k≠1 且k≠－9.]
4.D [点A 到直线l 的距离为
|-2+1|
√1
2+(-1)
2 ＝√2
2 ，
点B 到直线l 的距离为
|4 -m+1|
√1
2+(-1)
2 ＝√2|5- m|
2
，
因为点A 到直线l 的距离和点B 到直线l 的距离相等，
所以|5－m|＝1，所以m＝4 或m＝6.]
5.D [直线l：λx+y－λ+1＝0，
可化为l：λ(x－1)+y+1＝0，
令{
x -1＝0,
y +1＝0,解得{
x＝1,
y ＝-1,
所以直线l 过定点P(1，－1)，
当OP⊥l 时，原点到直线l：λx+y－λ+1＝0(λ∈R)的距离最大，最大值为|OP|＝√2.]
6.C [如图所示，作OP⊥l1交l1于点P，作OQ⊥l2交l2于点Q，
可得四边形OPMQ 为矩形，连接OM，
所以d1
2+d2
2＝|OM|2＝12+22＝5，
又由基本不等式可知，
d1+d2
2
≤√
d1
2+d2
2
2
，
所以d1+d2
2
≤√
5
2，
即d1+d2≤√10，当且仅当d1＝d2＝√10
2 时，等号成立，
故d1+d2的最大值为√10.]
7.BCD [当m＝－1 时，l2：x－1＝0，显然与l1不垂直，A 不正确；
当m＝2 时，l2：4x－3y+2＝0，因为4
4 ＝-3
-3 ≠-3
2 ，所以l1∥l2，B 正确；
当l1∥l2时，4m+4＝3m+6 且3m≠－3m－3，解得m＝2，此时l2：4x－3y+2＝0，l1与l2之间的距离为d＝
|2-(-3)|
√4
2+(-3)
2＝1，C 正确；
若两直线重合，则m+2
4
＝-(m+1)
-3
＝m
-3 ，该方程无解，所以两直线不可能重合，D 正确.]
8.ACD [若l1∥l2，则a＝1；
若l1∥l3，则－a＝1，解得a＝－1；
若l1，l2，l3交于一点，联立方程组
{
x + y -1＝0,
x - y +3＝0,解得{
x＝-1,
y ＝2,
代入ax+y+2＝0，
得－a+2+2＝0，解得a＝4，
综上，a 的取值集合为{4，－1，1}.]
9.AC [由{
x + y ＝0,
2 x -3 y -6＝0,
解得{
x＝6
5 ,
y ＝- 6
5 ,
所以交点坐标为(
6
5 ，- 6
5)，
所以A 选项正确；
直线l2：2x－3y－6＝0 与x 轴的交点为(3，0)，与y 轴的交点为(0，－2)，直线l1过原点，由图可知，直线
l1，l2和x 轴围成的三角形的面积为1
2×3×6
5 ＝9
5，所以B 选项错误；
由上述分析可知，直线l2关于原点O 对称的直线过点(－3，0)，(0，2)，所以直线l2关于原点O 对称的直线
方程为y－2＝
2-0
0-(-3)(x－0)，
即2x－3y+6＝0，所以C 选项正确；
点(3，0)关于直线x+y＝0 的对称点是(0，－3)，点(0，－2)关于直线x+y＝0 的对称点是(2，0)，所以直线l2
关于直线l1对称的直线方程为x
2 + y
-3 ＝1，即3x－2y－6＝0，所以D 选项错误.]
10.x+y－1＝0
解析 设所求直线方程为x+2y－2+λ(3x－2y+2)＝0，点P(1，0)在直线上，
∴1－2+λ(3+2)＝0，解得λ＝1
5，
∴所求直线方程为x+2y－2+1
5×(3x－2y+2)＝0，
即x+y－1＝0.
11.3x+y－20＝0 和3x+y+10＝0
解析 两条平行直线分别过点
A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B 旋转，
当直线AB 与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，
因为直线AB 的斜率kAB＝2+1
6+3 ＝1
3，
故这两条平行直线的斜率为－3，
则两平行直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)，y+1＝－3(x+3)，
即3x+y－20＝0 和3x+y+10＝0.
12.√10
解析 过P 作关于直线x－y+2＝0 对称的点Q，如图，
设Q(a，b)，所以{
b-1
a-1 ＝-1,
a+1
2
- b+1
2
+2＝0,
解得{
a＝-1,
b＝3, 所以Q(－1，3)，
故最短距离为|QO|＝√10.
13.C [显然x+my＝0 过定点A(0，0)，
直线mx－y－m+3＝0 可化成y＝m(x－1)+3，则经过定点B(1，3)，
根据两条直线垂直的一般式方程的条件，得1×m+m×(－1)＝0，
于是直线x+my＝0 和直线
mx－y－m+3＝0 垂直，
又P 为两条直线的交点，则PA⊥PB，
又|AB|＝√(1-0)
2+(3-0)
2
＝√10，
由勾股定理和基本不等式，
|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10≥2|PA|·|PB|，则|PA|·|PB|≤5，
当且仅当|PA|＝|PB|＝√5时，等号成立，所以|PA|·|PB|的最大值是5.]
14.2√2或14√2
解析 设直线CD 的方程为x+y+m＝0，
联立{
2 x - y -1＝0,
x + y +m＝0,
得C(
1-m
3
，-1-2m
3
)，
联立{
4 x + y -23＝0,
x + y +m＝0,
得D(
m+23
3
，-23- 4 m
3
)，
∴由两点间的距离公式可得
|CD|＝2√2
3 |m+11|，
又直线AB 与CD 的距离为
d＝|m + 4|
√2
，
∴2√2
3
|m+11|＝|m + 4|
√2
，
解得m＝－8 或m＝－32，
即|CD|＝2√2或14√2.
即正方形的边长为2√2或14√2.
