文档文本内容
第08讲 导函数中的同构法
目录
第一部分：题型篇....................................................1
题型一：同构函数比较大小.........................................1
题型二：通过同构函数证明不等式...................................5
题型三：通过同构函数解决零点问题.................................9
题型四：通过同构函数解决恒成立问题..............................15
第一部分：题型篇
题型一：同构函数比较大小
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ， ，
故设 ，
则 ，
求导得， ，
令 ，则 ，
所以函数 在 单调递减，
所以 ，
所以 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
例题2．（2023·广东·统考二模）已知 ， ， ，则（参考数据： ）
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，
考虑构造函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，故 ，
故选：B.
例题3．（2023春·山东日照·高二统考期中）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
由 可得 ；由 可得 .
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，所以， ，即 ，即 ，故 ，
因为 ，所以， ，即 ，
所以， ，即 ，所以， ，
所以， ，因此， .
故选：A.
精练核心考点
1．（2023春·浙江·高二期中）已知 ，则 的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：因为 ， ，
设 ，
则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ， ，
又因为 ，
所以 .
故选：D.
2．（2023·山西·统考二模）已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知 ，于是构造函数 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，
又 ，故 ，
故选：B
3．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）若 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，
由 ．得 ，
由 ，得 ．
设函数 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又因为 ，
所以 ，
又因为 ， ， ，所以 ，
又因为 ， ， ，
所以a，b，c均大于 ，
又因为 在 上单调递增，
所以 ．
故选：A.
题型二：通过同构函数证明不等式
典型例题
例题1．（2023·四川达州·统考二模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线过点 ，求 的值；
(2)若 在 内有两个不同极值点 ， .证明： .
【答案】(1)e
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由 得 ， .
∴曲线 在 处的切线的方程为 .
根据条件得 ，即 .
设 ，则 ， .
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.
因 ，所以 ，即e是 唯一零点.所以 .
（2）由（1）知， .
令 ，得， ， ， .
∴ 有两不同解，令 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
.
构造函数 ，则 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
所以 .
例题2．（2023·陕西渭南·统考二模）已知函数 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求实数 的取值范围；
(3)证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）令 ， ，由 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 递减， 递增，
即 ，即 ；（2）由 可得：
由（1）知 （当且仅当 取等号），
，所以 ，即 ；
（3）由（1）知 ，令 ，可得 ，
所以
因为数列 是首项为1，公比为 的等比数列，
所以 .
精练核心考点
1．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)设 ，在（1）的条件下，若满足 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1） ，即切点为 ，
该点处的斜率 ．
则 ，故 ．
（2）由（1）知 ．
则 等价于 ，
故
设 ，则 ，所以当 时， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即当 时， ，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ．
令 ，则 ，
当 ，则 在 上为增函数．
因为 ，所以 ，又 ，
由于 ，即 ，
则 ，即 ．
2．（2023·山东日照·统考二模）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求实数 的值：
(2)若 ， ， ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得： 定义域为 ， ；
①当 时， ， 在 上单调递增，
若 ，则 ， 时， ，不合题意；
若 ，则 ，不合题意；
②当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ；
若 恒成立， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
又 ， ；
则当 时， 符合题意；
综上所述： .（2）由 得： ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增；
由 得： ；
， ，
当 时，由 得： ， ；
当 时，要证 ，只需证 ，
， ，则只需证 ，
又 ， 只需证 ；
令 ， ，
则 ，
在 上单调递减， ， ，
即 ，即 得证， ；
综上所述： 成立.
题型三：通过同构函数解决零点问题
典型例题
例题1．（2023春·河北衡水·高二校考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ， .
当 时，由 可得 ，由 可得 ，此时函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 .
（2）解：函数 的定义域为 ，
因为函数 在 上有两个零点，即 有两个不同的正实数根，
即 有两个不同的正实数解，
即 有两个不同的正实数解，
令 ，则 ，可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的值域为 ，所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
且当 时， ；当 时， ，
因为函数 有两个不同的零点，则直线 与函数 的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
例题2．（2023·北京朝阳·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 对 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明：若 在区间 上存在唯一零点 ，则 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题设 ，
当 时， ，则 在R上递增；
当 时，令 ，则 ，
若 ，则 ， 在 上递减；
若 ，则 ， 在 上递增；
综上， 时 的递增区间为R，无递减区间；
时 的递减区间为 ，递增区间为 .
（2）由 ，
当 时， 在 上恒成立，故 在 上递增，则 ，满足要求；
当 时，由（1）知： 在 上递减，在 上递增，而 ，所以 在 上递减，在 上递增，要使 对 恒成立，
所以，只需 ，
令 且 ，则 ，即 递减，
所以 ，故在 上 不存在 ；
综上，
（3）由（2）知： 时，在 恒有 ，故不可能有零点；
时， 在 上递减，在 上递增，且 ，
所以 上 ，无零点，即 ，且 趋向于正无穷时 趋向正无穷，
所以，在 上存在唯一 ，使 ，
要证 ，只需 在 上恒成立即可，
令 ，若 ，则 ，
令 ，则 ，即 在 上递增，故 ，
所以 ，即 在 上递增，故 ，
所以 在 上恒成立，得证；
故 ，得证.
精练核心考点
1．（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若函数 有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ， ，
所以 在 上是单调递增的，且 ， ，
所以 ，使得 ，
得 在 上是单调递减，在 上是单调递增．
所以 ．由于 ，
故 的最大值为
（2）（方法一）解：因为 ，记
则 ，
∵ ，∴ ，∴ 在 上是单调递增，
且 ， ，
所以存在 ，使得
，
当 时， ，所以 在 单调递减的，
当 时， ，所以 在 单调递增的．
当 时， ，又因为 ，
所以要使 在 上有两个零点，
则需要 ，即 ．
，
设 ，则有 ，令 ， ．
因为 ，所以 单调递减，
∵ ，∴ ，即 ，
设 ， ，所以 单调递减，
所以 ，所以a的取值范围 ．
（方法二）因为
令 ，则 ，所以 为单调递增，
，因此 有两个实数根 ， ，
令 ，则 ，可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ， ， ，
（也可利用 ， ），
当 ， ，可知 ，即 ．
（方法三）由（1）知 是增函数且有唯一零点t，
所以 是减函数且有唯一零点 ，
所以 ， ．所以a的取值范围为 ．
2．（2023春·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）已知函数
.
(1)若 ，判断 在区间 上是否存在极小值点，并说明理由；
(2)已知 ，设函数 .若 在区间 上存在零点，求实数 的取值范
围.
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【详解】（1）当 时，则 ，
则 .
令 ，
则 ，由 单调递增，且 ，
得 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，
则 在 上单调递增，不存在极小值点.
（2）令 ，
则 .又 ，
所以 ，令 ，即可转化为 有解.
设 ，
则由 可得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，所以 有唯一的零点 .
若 在区间 上存在零点，
则 在 有解,整理得 ,
设 ，
由 ，知 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， ，则 ，
所以 ，得 ，
故实数 的取值范围是 .
题型四：通过同构函数解决恒成立问题
典型例题
例题1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)存在正实数 ，使得 成立，（e为自然对数的底数），求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 【详解】（1）函数 恒成立．即 ，在 上恒成立
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以当 时 取得最大值，即 ，即 ，
故 的取值范围是 ；
（2）因为 时，存在正实数 成立，即 在 上有解，
即 在 上有解，令 ， ，
又 ，所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 有最小值 ，则 ，
则 在 上有解
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ，所以存在
使得 ，
所以当 时 ，当 时 ，当 时 ，
所以只需 ，即 时满足题意，故实数 的取值范围是 ．
例题2．（2023·新疆·校联考二模）已知函数 ， ， ，
其中 为自然对数的底数．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明：对于 ，都有 恒成立．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得
当 时， ， ； ， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增．
当 时， ， ； ， ； ，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增．
当 时， ， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ， ； ， ； ，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增．当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增．
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增．
（2）当 时， ，对于 ，都有 恒成立．
等价于
构造函数 ， ，令 ，解得
当 ， ，当 时， ，所以 先减后增，
所以 ，即
因此 成立，故对于 ，都有 恒成立．
精练核心考点
1．（2023·全国·模拟预测）已知 ，函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，所以
所以 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）由题意得 ，即 ，
因为 ，所以
设 ，
令 ，则 在区间 上恒成立，即 在区间 上单调递增，又
时， ，又 时， ，所以存在 ，使 ，
令 ，因为 ，
所以当 时， ，即 在区间 上单调递减，
当 时， ，即 在区间 上单调递增，所以 ，所以 ，
即 ，得到 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
当且仅当 时取等号，所以 ，又 ，
所以a的取值范围是 .
2．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知函数 （ ）．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若对于任意的 ，有 ，求正数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：当 时， ，得 ，
切点 ，斜率 ，所求切线方程为： ，
即 ．
（2） ，即 （ ， ），
（ ， ），
（ ， ）．
令 ，显然 是增函数，于是上式可化为 ，
即 ．
令 （ ），则 ，易知 在 上递减，在 上递增，
故 ，于是 ，可得 ．
故 ．
