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第 08 讲 第七章 立体几何与空间向量（基础拿分卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·上海·上外附中高二阶段练习）下列四个命题中的真命题是（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
2．（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，在四面体OABC中， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西宜春·高一期末）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿
建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个
正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为 ，侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个角接近30°，若取
，则下列结论正确的是（ ）
A．正四棱锥的底面边长为48m
B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为
D．正四棱锥的侧面积为4．（2022·湖南· 邵东市第一中学高一阶段练习）已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列
命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）已知 ， ，如果 与 为共线向
量，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习） 为空间任意一点，若 ，若
四点共面，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·吉林·长春市实验中学高一期末）如图，在长方体 中， ， 为
的中点，则异面直线 与 所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二阶段练习）如图，在正方体 中，点 是线段
（含端点）上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．存在点 ，使
B．异面直线 与 所成的角最小值为
C．无论点 在线段 的什么位置，都有D．无论点 在线段 的什么位置，都有 平面
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·江苏·高一课时练习）如图，点 ， ， ， ， 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足
平面 的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为 ，直线m的方向向量为 ，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则l⊥α
D．平面α经过三点 是平面α的法向量，则
11．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在棱长为3的正方体 中，点 在棱 上运动
（不与顶点重合），则点 到平面 的距离可以是（ ）A． B． C．2 D．
12．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，M，N分别是AB，BC
1 1 1 1 1 1
上的点，且BM=2AM，C N=2BN.设 ， ， ，若 ， ，
1 1 1
AB=AC=AA=1，则下列说法中正确的是（ ）
1
A． B．
C．直线AB 和直线BC 相互垂直 D．直线AB 和直线BC 所成角的余弦值为
1 1 1 1
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）已知向量 则 在 上的投
影向量的模为___________.
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体 的棱长为 ， 、 分别为 和
上的点， ，则 与平面 的位置关系是______．
15．（2022·北京·101中学高二阶段练习）如图，在棱长为 的正方体 中，点 为棱 的
中点，点 为底面 内一点，给出下列三个论断：① ；
② ；
③ .
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.
16．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）在长方体 中，已知 ，E、
F分别为 、 的中点，则三棱锥 的外接球半径为______，平面 被三棱锥 外
接球截得的截面圆面积为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知 ， .
（1）若 ，分别求 与 的值；
（2）若 ，且 与 垂直，求 .
18．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）如图，正四棱柱ABCD﹣ABC D 中，AA＝2AB，E为棱
1 1 1 1 1
CC 的中点．
1
（1）证明：AC∥平面BED；
1 1 1
（2）求直线BD与平面BED 所成角的正弦值．
1 1 119．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设 ，OA、OB是底面半径，且 ，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB
所成的角的余弦值.
20．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）如图，在边长为2的正方体 中， 分
别为 的中点.
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， 底面ABC， 点D，E，N
分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点， ， .
（1）求证： 平面BDE；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长.
22．（2022·天津市第二南开中学高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面
，且 ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
