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第 08 讲 第七章 立体几何与空间向量（基础拿分卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·上海·上外附中高二阶段练习）下列四个命题中的真命题是（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
【答案】D
【详解】对于A，B，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故A，B错误，
对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误，
对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确，
故选：D
2．（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，在四面体OABC中， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ．
故选：D
3．（2022·江西宜春·高一期末）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿
建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个
正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为 ，侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个角接近30°，若取
，则下列结论正确的是（ ）A．正四棱锥的底面边长为48m
B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为
D．正四棱锥的侧面积为
【答案】C
【详解】如图，在正四棱锥 中， 为正方形 的中心， ，
则 为 的中点，连接 ，则 平面 ， ，
则 为侧面与底面所成的锐二面角，
设底面边长为 ．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 ，
这个角接近30°，取 ，∴ ，
则 ， ， ．
在 中， ，解得 ，故底面边长为 ，
正四棱锥的高为 ，侧面积为 ，
体积 ．故选：C．
4．（2022·湖南· 邵东市第一中学高一阶段练习）已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列
命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【详解】对于A选项， ， ，则 或 ，故A错误；
对于B选项， ， ，则 或 或 与 斜交，故B错误；
对于C选项， ， ，则 或 ，故C错误；
对于D选项， ， ，根据面面平行，可证得线面平行，即
故选：D.
5．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）已知 ， ，如果 与 为共线向
量，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 与 为共线向量，
所以 ，
故选：D
6．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习） 为空间任意一点，若 ，若
四点共面，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若A，B，C，P四点共面，则存在有序实数对 ，使 ，
所以 ，
整理得： ，
又由题知 ，
由空间向量的基本定理知：解得
所以 .
故选：C.
7．（2022·吉林·长春市实验中学高一期末）如图，在长方体 中， ， 为
的中点，则异面直线 与 所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，由 ，则 ， ，
所以 ， ， ， ， ，
因为 为 的中点，所以 ，
， ，
所以 ，
所以 ，即异面直线 与 所成角的为 .
故选：D.
8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二阶段练习）如图，在正方体 中，点 是线段
（含端点）上的动点，则下列结论错误的是（ ）A．存在点 ，使
B．异面直线 与 所成的角最小值为
C．无论点 在线段 的什么位置，都有
D．无论点 在线段 的什么位置，都有 平面
【答案】B
【详解】解：对于A，当点 与点 重合时， ， ，所以 ，即 ，故A
正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则
，
设 ，则 ，
，
所以， ，当且仅当 ，即点 是线段
中点时，等号成立，
所以异面直线 与 所成的角 的余弦值 ，
所以 的最小值小于 ，故B不正确；
对于C，结合B选项的讨论， ， ，则 ，所以
，故C正确；
对于D，在正方体 中，有 ，
因为 平面 ， 平面
所以， 平面 ， 平面 ，
因为 ， 平面 ，所以平面 平面
因为 平面 ，所以 ，故D正确.
故选：B
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·江苏·高一课时练习）如图，点 ， ， ， ， 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足
平面 的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A选项，由下图可知 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面
，A正确.对于B选项，设 是 的中点，由下图，结合正方体的性质可知， ，所
以 六点共面，B错误.
对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知 ，由于 平面 ，所以 平面 .
所以C错误.对于D选项，设 ，由于四边形 是矩形，所以 是 中点，由于 是 中点，所以
，由于 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，D正确.
故选：AD
10．（2022·江苏常州·高二期中）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为 ，直线m的方向向量为 ，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则l⊥α
D．平面α经过三点 是平面α的法向量，则
【答案】ABD【详解】对于A，若 不能构成空间的一个基底，则 共面，可得A，B，M，N共
面，A正确；
对于B， ，故 ，可得l与m垂直，B正确；
对于C， ，故 ，可得l在α内或 ，C错误；
对于D， ，易知 ，故 ，故 ，D正确.
故选：ABD.
11．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在棱长为3的正方体 中，点 在棱 上运动
（不与顶点重合），则点 到平面 的距离可以是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】CD
【详解】以D为原点， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，设
所以 ， ，
设 为平面 的法向量，
则有： ，令 ，可得 ，则点 到平面 的距离为 ，
因为 ，所以距离的范围是 .
故选：CD.
12．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，M，N分别是AB，BC
1 1 1 1 1 1
上的点，且BM=2AM，C N=2BN.设 ， ， ，若 ， ，
1 1 1
AB=AC=AA=1，则下列说法中正确的是（ ）
1
A． B．
C．直线AB 和直线BC 相互垂直 D．直线AB 和直线BC 所成角的余弦值为
1 1 1 1
【答案】ABD
【详解】A：
，
又 ，∴ .
B：∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
对于C、D： ，，
所以D正确，C错误，
故选：ABD.
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·湖南·永兴县童星学校高二阶段练习）已知向量 则 在 上的投
影向量的模为___________.
【答案】
【详解】因为 ，，
所以 ；
所以向量 在向量 上的投影向量的模 ．
故答案为： ．
14．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体 的棱长为 ， 、 分别为 和
上的点， ，则 与平面 的位置关系是______．
【答案】平行
【详解】因为 是正方体，且棱长为 ，
故以 为坐标原点建立空间直角坐标系，如下所示：则 ，
由题可知 ，设点 坐标为 ，
则 ，故可得 ，即 ；
，设点 坐标为 ，
则 ，故可得 ，即 ；
故 所在的方向向量为 ，
又平面 的一个法向量 ，
故 ，故直线 //面 .
故答案为：平行.
15．（2022·北京·101中学高二阶段练习）如图，在棱长为 的正方体 中，点 为棱 的
中点，点 为底面 内一点，给出下列三个论断：
① ；
② ；③ .
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.
【答案】若 ，则 ；若 ，则 .
【详解】如图,建立空间直角坐标系
则
设 ,则
而
所以以其中的一个论断作为条件,另一个论断作为结论,可以写出两个正确的命题:
若 ,则
若 ,则
答案任填其中一个即可
故答案为:若 ,则 (若 ,则 )
16．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）在长方体 中，已知 ，E、
F分别为 、 的中点，则三棱锥 的外接球半径为______，平面 被三棱锥 外
接球截得的截面圆面积为______．
【答案】 ##【详解】解：以点 为原点建立空间直角坐标系如图所示：
依题意得： ， ， ，
则 ， ，
所以 ，则 即 ；
设 为 中点，因为 ， ，则 ，
所以点 为三棱锥 外接球的球心，则三棱锥 外接球的半径为 ，
设球心 到平面 的距离为 ，又因为 为 中点，
所以点 到平面 的距离为 ，
由于 ，所以 ，
故截面圆的半径为 ，所以截面圆面积为 ，
故答案为： ；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）已知 ， .
（1）若 ，分别求 与 的值；
（2）若 ，且 与 垂直，求 .
【答案】（1） ， ；（2） .【详解】（1）由 得： ，即 ，解得： ；
（2） ， ，
又 ， ，即 ，
由 得： ， .
18．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）如图，正四棱柱ABCD﹣ABC D 中，AA＝2AB，E为棱
1 1 1 1 1
CC 的中点．
1
（1）证明：AC∥平面BED；
1 1 1
（2）求直线BD与平面BED 所成角的正弦值．
1 1 1
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【详解】（1）证明：连接AC 与BD 相交于O，连接EO，
1 1 1 1 1 1
由于E，O 分别是CC ，AC 的中点，则EO∥AC，
1 1 1 1 1 1
因为EO
1
平面B
1
D
1
E，A
1
C⊄平面B
1
D
1
E，所以A
1
C∥平面B
1
ED
1
．
⊂
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
1设AB＝1，AA＝2，则B（1，1，2），D（0，0，0），E（0，1，1），D（0，0，2），
1 1 1
∴ ， ，∴ ，
设 是面BED 的法向量 ，
1 1
⇒
令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，即 ，
设BD与面BED 所成角为θ，
1 1 1
，
∴BD与面BED 所成角的正弦值为 ．
1 1 1
19．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设 ，OA、OB是底面半径，且 ，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与OB
所成的角的余弦值.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1） 圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，
圆锥的体积；
（2） ，OA，OB是底面半径，且 ，
M为线段AB的中点，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
0， ， 0， ， 2， ，
1， ， 0， ，
1， ， 2， ，
设异面直线PM与OB所成的角为 ，
则 .
异面直线PM与OB所成的角的余弦值为 .
20．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）如图，在边长为2的正方体 中， 分
别为 的中点.
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离.【答案】(1)见解析
(2)
（1）
建立以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的空间直角坐标系如图：
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，0，
， 分别为 ， 的中点，
，1， ， ，1， ，
，0， ， ，2， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ,即 ，令 ，则
因为 ， ，所以
平面 ．
（2）
, ,
设点 到平面 的距离为 ，所以
21．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， 底面ABC， 点D，E，N
分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点， ， .
（1）求证： 平面BDE；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长.【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）4
【详解】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，
为AD中点，
，
平面BDE， 平面BDE，
平面BDE.
为BC中点，
，
又D、E分别为AP、PC的中点，
，则 .
平面BDE， 平面BDE，
平面BDE.
又 ， 平面MFN， 平面MFN，
平面 平面BDE，又 平面MFN，
则 平面BDE；
（2） 底面ABC， .
以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
， ，
0， ， 0， ， 4， ， 0， ， 2， ， 2， ，则 ， ，
设平面MEN的一个法向量为 ，
由 ，得
取 ，得 .
由图可得平面CME的一个法向量为 .
.
由图可知二面角 的平面角为锐角，
二面角 的余弦值为 ，则正弦值为 ；
（3）设 ，则 0， ， ， .
直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，
.
解得： .
当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，此时线段AH的长为4.
22．（2022·天津市第二南开中学高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面
，且 ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析(2) (3)存在 ，且 .
（1）
过 作 ，垂足为 ，则 ，
如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
为 的中点， ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，令 ，解得： .
，即 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
（2）
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
所以 ，令 ，解得 .所以 .
即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
（3）
假设线段 上存在一点 ，设 ， ， .
， ，则
又直线 与平面 所成角的正弦值为 ，平面 的一个法向量
，
化简得 ，即 ，
， ，故存在 ，且 .
