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第1 讲 函数的图象与性质
微点一 函数的图象
例1 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x 在区间[-2.8，2.8]的图象大致为( )
答案 B
解析 f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)
=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，
又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]，
故该函数为偶函数，可排除A，C，
又f(1)=-1+(e−1
e)sin 1>-1+(e−1
e)sinπ
6 =e
2-1- 1
2e >1
4 - 1
2e >0，
故可排除D.
(2)已知函数f(x)={
|ln x|, x>0,
2
x , x ≤0,
若a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，则cf(c)的取值范围为( )
A.(0，e]
B.(0，e)
C.[e，+∞)
D.(e，+∞)
答案 A
解析 因为f(x)={
|ln x|, x>0,
2
x , x ≤0,
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当x>0 时，f(x)=|ln x|={
ln x , x ≥1,
−ln x ,0< x<1,
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，且f (
1
e)=f(e)=1；
当x≤0 时，f(x)=2x，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，且f(0)=1，
所以f(x)的图象如图所示，又a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，不妨令f(a)=f(b)=f(c)=t，
结合图象可知，0<t≤1 且a≤0<1
e ≤b<1<c≤e，即0<f(c)≤1，
所以0<cf(c)≤e，即cf(c)的取值范围为(0，e].
[规律方法] (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用
一些特殊点排除不符合要求的图象.
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、
最值、交点、方程的根等问题.
跟踪演练1 (1)(2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=
x
1−|x|
B.f(x)=
x
|x|−1
C.f(x)= |x|
1−x
2
D.f(x)= |x|
x
2−1
答案 D
解析 由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=
x
1−|x|和函数f(x)=
x
|x|−1为奇函数，故A，B 错误；
又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)= |x|
1−x
2>0，f(x)= |x|
x
2−1
<0，由题图可知当x∈(0，1)时，
f(x)<0，故C 错误，D 正确.
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(2)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga(x + 1
a)的图象一定经过( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案 D
解析 当x=0 时，y=loga1
a=-1，则当0<a<1 时，如图1，函数图象经过第二、三、四象限；
当a>1 时，如图2，函数图象经过第一、三、四象限，
所以函数y=loga(x + 1
a)的图象一定经过第三、四象限.
微点二 函数的性质
例2 (1)(2025·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2时，
x2f ( x1)−x1f ( x2)
x1 x2( x1−x2)
>0 恒成立，f(2 025)=2 025，则不等式f(x)-x>0 的解集为( )
A.(-∞，-2 025)∪(2 025，+∞)
B.(-2 025，0)∪(2 025，+∞)
C.(-∞，-2 025)∪(0，2 025)
D.(-2 025，0)∪(0，2 025)
答案 B
解析 当x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2时，
x2f ( x1)−x1f ( x2)
x1 x2( x1−x2)
>0 恒成立，
即
f ( x1)
x1
−f ( x2)
x2
x1−x2
>0，
构造函数g(x)=f ( x)
x
，所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，
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又g(-x)=f (−x)
−x
=f ( x)
x
=g(x)，故函数g(x)为偶函数，
所以函数g(x)在(-∞，0)上单调递减，
因为f(2 025)=2 025，则g(2 025)=f (2 025)
2 025
=1，g(-2 025)=g(2 025)=1.
因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)=0.
当x=0 时，由f(x)-x=f(0)-0=0 得，f(x)-x>0 无解；
当x>0 时，由f(x)-x>0 得，f ( x)
x
>1，即g(x)>g(2 025)，解得x>2 025；
当x<0 时，由f(x)-x>0 得，f ( x)
x
<1，即g(x)<g(-2 025)，解得-2 025<x<0.
综上所述，不等式f(x)-x>0 的解集为(-2 025，0)∪(2 025，+∞).
(2)(多选)(2025·银川模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=-f (x + 3
2)，f(-1)=1，f(0)=-2，且f (x−3
4)
为奇函数，则( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为偶函数
C.f(x)是周期为3 的周期函数
D.f(0)+f(1)+…+f(30)=-2
答案 BCD
解析 对于A，因为f(x)是定义在R 上的函数，且f(0)=-2，所以f(x)不是奇函数，故A 错误；
对于B，因为f (x−3
4)为奇函数，所以f (x−3
4)=-f (−x−3
4)，
由f(x)=-f(x + 3
2)可得，
f (x−3
4)=-f(x−3
4 + 3
2)=-f (x + 3
4)，
所以-f (−x−3
4)=-f (x + 3
4)，
即f (−x−3
4)=f (x + 3
4)，
所以f(-x)=f(x)，即f(x)是偶函数，故B 正确；
对于C，由f(x)=-f (x + 3
2)可得，f(x+3)=-f (x + 3
2)=f(x)，所以f(x)是周期为3 的周期函数，故C 正确；
对于D，f(2)=f(-2)=f(1)=f(-1)=1，
所以f(0)+f(1)+f(2)=0，由周期性可得，
f(0)+f(1)+…+f(30)=10[f(0)+f(1)+f(2)]+f(0)=-2，故D 正确.
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[规律方法] (1)函数的奇偶性的判断方法有定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函
数)；函数单调性的判断方法有定义法、图象法、导数法、性质法(在共同的单调区间内，增函数+增函数为
增函数等)；函数的单调性和奇偶性的联系密切，涉及比较大小、解不等式、求函数最值(值域)、零点等.
(2)函数的周期性和对称性的常用结论
①若f(x+a)=-f(x)(或f ( x +a)=
1
f ( x) ，其中f ( x)≠0)，则f(x)的一个周期为2|a|.
②若f(x)的图象关于直线x=a 和x=b 对称，则f(x)的一个周期为2|a-b|.
③若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b 对称，则f(x)的一个周期为4|a-b|.
④若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.
⑤若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b
2
对称.
跟踪演练2 (1)(2025·黄冈模拟)已知函数f(x)=sin x+ex-e-x，若a=f(-2)，b=f (
1
2)，c=f(ln 2)，则( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
答案 A
解析 由f(x)=sin x+ex-e-x得，
f'(x)=cos x+ex+e-x，
∵ex+e-x≥2√e
x·e
−x=2，
当且仅当ex=e-x，即x=0 时等号成立，
而cos x∈[-1，1]，∴f'(x)=cos x+ex+e-x>0，
即f(x)在R 上单调递增，
∵-2<1
2=ln√e<ln 2，
∴f(-2)<f (
1
2)<f(ln 2)，即a<b<c.
(2)(多选)(2025·海口模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(2+x)+f(2-x)=6，函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为
偶函数，则( )
A.函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)
B.f(0)=2
C.函数f(x)为周期函数，且一个周期为4
D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14
答案 AD
解析 对于A，由f(2+x)+f(2-x)=6 知函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)，故A 正确；
对于B，因为函数f(x)的图象关于点(2，3)对称，则f(2)=3，
由函数F(x)=f(1+x)-(1+x)为偶函数，故f(1+x)-(1+x)=f(1-x)-(1-x)，即f(1+x)=f(1-x)+2x，
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令x=-1，则f(0)=f(2)-2=3-2=1，故B 错误；
对于C，由函数f(x)图象的一个对称中心为(2，3)，f(0)=1，则f(4)=5，即f(0)≠f(4)，故函数f(x)的周期不是
4，故C 错误；
对于D，由f(2+x)+f(2-x)=6，令x=1，有f(3)+f(1)=6，
又f(2)=3，f(4)=5，故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=14，故D 正确.
微点三 三类函数(高斯函数、倍值函数、类周期函数)
1.高斯函数y=[x]
(1)定义：不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3，这一规定最早
为数学家高斯所使用，故函数y=[x]称为高斯函数，又称取整函数.
(2)性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
(3)图象.
2.倍值函数
对于函数f(x)的定义域为D，若存在区间[a，b]⊆D，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为[ka，kb](k>0)，则称函数
f(x)为k 倍值函数，区间[a，b]称为函数f(x)的“倍值区间”.特别地，当k=1 时，函数f(x)称为保值函数.此
类问题可转化为对应“不动点”“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题.
3.类周期函数
“类周期函数”是指函数图象特征与周期函数的图象特征类似的函数.
(1)平移型f(x+T)=f(x)+a
如图1，f(x)=f(x-2)+1，当0≤x<2 时，f(x)=2(1-|1-x|).
如图2，f(x)=f(x-2)-1，当0≤x<2 时，f(x)=2(1-|1-x|).
(2)伸缩型f(x+T)=af(x)
如图3，f(x)=1
2f(x-2)，当0≤x<2 时，f(x)=4(1-|1-x|).
如图4，f(x)=2f(x-2)，当0≤x<2 时，f(x)=1-|1-x|.
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(3)横纵伸缩型f(kx)=nf(x)
如图5，f(x)=2f (
1
2 x)，当1≤x<2 时，f(x)=1-|2x-3|.
如图6，f(x)=1
2f (
1
2 x)，当1≤x<2 时，f(x)=8-8|2x-3|.
例3 (1)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一.以其名命名的函数f(x)=[x]称为高斯函数，
其中x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]=3，[-3.14]=-4.则( )
A.f(x)是奇函数且为增函数
B.g(x)=x-[x]的值域为[0，1]且为周期函数
C.若f(x)=2，则h(x)=x+
3
2( x−1)的最小值为√6+1
D.∀t>0，满足t[f(x)]2+tf(x)≤t2+1 的实数x 的取值范围是[-2，2]
答案 C
解析 对A，f(2)=f(2.1)=2，所以函数f(x)不是增函数，故A 错误；
对B，当x∈[k，k+1)(k∈Z)时，g(x)=x-[x]=x-k，且g(x)的值域为[0，1)，故B 错误；
对C，因为f(x)=2，所以x∈[2，3)，h(x)=x+
3
2( x−1)=(x-1)+
3
2( x−1)+1，
因为x∈[2，3)，所以x-1∈[1，2)，则(x-1)+
3
2( x−1)+1≥2√( x−1)·
3
2( x−1)+1=√6+1，
当且仅当x-1=
3
2( x−1)，即x=√6
2 +1 时取等号，故C 正确；
对D，∀t>0，满足t[f(x)]2+tf(x)≤t2+1 恒成立，等价于∀t>0，[f(x)]2+f(x)≤t
2+1
t
恒成立，
因为t
2+1
t
=t+1
t ≥2，当且仅当t=1
t ，即t=1 时取等号，
所以[f(x)]2+f(x)≤2，即-2≤f(x)≤1，所以x 的取值范围是[-2，2)，故D 错误.
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(2)如果函数y=f(x)在定义域内存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域是[2a，2b]，那么称f(x)为“倍
增函数”，若函数f(x)=ln(ex+m)为“倍增函数”，则实数m 的取值范围是( )
A.(−1
4 ，+ ∞)
B.(−1
2 ，0)
C.(-1，0)
D.(−1
4 ，0)
答案 D
解析 由于f(x)=ln(ex+m)在定义域上是增函数，根据“倍增函数”的定义可知{
f (a)= ln(e
a+m)=2a,
f (b)= ln(e
b+m)=2b,且
a<b，则{
e
2a=e
a+m,
e
2b=e
b+m,
所以{
m=e
2a−e
a,
m=e
2b−e
b.
构造函数g(x)=e2x-ex，即g(x)=m 有两个解.
g'(x)=2e2x-ex=ex(2ex-1)，
令g'(x)=0，解得x=-ln 2，
所以g(x)在区间(-∞，-ln 2)上单调递减，在(-ln 2，+∞)上单调递增，
极小值也即是最小值为g(-ln 2)=e-2ln 2-e-ln 2
=1
4 -1
2=-1
4 .
注意到当x<0 时，g(x)=ex(ex-1)<0，g(0)=0，
当x>0 时，g(x)=ex(ex-1)>0，
所以-1
4 <m<0.
[规律方法] 解决函数新定义问题时需运用所学函数的相关知识和方法理解新定义，将新定义问题转化为
已知问题.
跟踪演练3 (多选)定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k 对定义域内的任意实
数x 恒成立，则称函数f(x)为“k 距周期函数”，其中T 称为函数的“类周期”.则( )
A.一次函数均为“k 距周期函数”
B.存在某些二次函数为“k 距周期函数”
C.若“1 距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f(1)=1，则f(x)=x
D.若g(x)是周期为2 的函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间
[2n，2n+2](n∈N*)上的值域为[2n，2n+1]
答案 AD
解析 设一次函数为f(x)=ax+b(a≠0)，
则f(x+T)=a(x+T)+b=ax+b+aT=f(x)+aT，其中k=aT，A 正确；
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设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
f(x+T)=a(x+T)2+b(x+T)+c=ax2+(2aT+b)x+aT2+bT+c，
若f(x)是“k 距周期函数”，则2aT=0，则T=0，不满足新定义，B 错误；
设f(x)={
x , x∈Q ,
x +2, x∉Q ,则f(x)是“1 距周期函数”，且类周期为1，f(1)=1，C 错误；
x∈[2n，2n+2]，则x-2n∈[0，2]，
又g(x)=g(x-2n)，
则f(x-2n)=x-2n+g(x-2n)∈[0，1]，
则f(x)=x+g(x)=(x-2n)+g(x-2n)+2n=f(x-2n)+2n∈[2n，2n+1]，D 正确.
专题强化练
[分值：73 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x 对称，则f (
1
3)+f(9)等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析 因为函数y=f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x 对称，所以f(x)=log3x，所以f (
1
3)+f(9)=log31
3
+log39=-1+2=1.
2.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为2 的偶函数，当2≤x≤3 时，f(x)=5-2x，则f (−3
4)等于(
)
A.-1
2
B.-1
4
C.1
4
D.1
2
答案 A
解析 由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R 成立，
于是f (−3
4)=f (
3
4)=f (
11
4 )=5-2×11
4 =-1
2.
3.(2025·天津滨海新区模拟)已知a=30.9，b=log29，c=e-ln 3，则( )
A.b>a>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.a>c>b
答案 A
解析 由题意得，c=e-ln 3=e
ln 1
3=1
3<1=30<a=30.9<31=3=log28<log29=b，即c<a<b，故b>a>c.
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4.(2025·北京)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位：小
时)，其中k 为常数.在此条件下，已知训练数据量N 从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增
加20 小时；当训练数据量N 从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(
)
A.2
B.4
C.20
D.40
答案 B
解析 设当N 取106个单位，1.024×109个单位，4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，
由题意，T1=klog2106=6klog210，
T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210)，
T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210)，
因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20，所以k=2，
所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4，
所以当训练数据量N 从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4 小时.
5.下列可以作为方程x3+y3=4xy 的图象的是( )
答案 D
解析 当x<0 时，x3=4xy-y3=y(4x-y2)<0，
若y<0，则4x-y2>0，即y2<4x<0，不成立，
故x<0，y<0 不可能同时成立，故A，B，C 错误.
6.(2025·石家庄模拟)已知函数g(x)=ax2+bx+a-b，其中a，b 为常数，若函数f(x)=(
1
a)
x−b
的图象如图所示，
则( )
A.g(x)的图象与坐标轴有三个交点
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B.g(x)的图象的对称轴在y 轴左侧
C.关于x 的方程g(x)=1 有两个不等实根
D.g(x)在区间(1，+∞)上单调递增
答案 D
解析 函数f(x)的图象在R 上为减函数，则0<1
a<1，即a>1，又图象经过点(-1，1)，即f(-1)=(
1
a)
−1−b
=1，
故得-1-b=0，解得b=-1，
于是g(x)=ax2-x+a+1 为开口向上的抛物线，对称轴为直线x= 1
2a，又1
2a∈(0，1
2)，故B 错误；
由g(x)在(
1
2a ，+ ∞)上单调递增，得g(x)在区间(1，+∞)上单调递增，故D 正确；
令g(x)=ax2-x+a+1=0，
因为a>1，所以Δ=1-4a(a+1)<0，所以函数g(x)的图象与x 轴没有交点，与y 轴有唯一交点，即g(x)的图象
与坐标轴只有一个交点，故A 错误；
对于C，方程g(x)=1 即为ax2-x+a=0，又a>1，故Δ=1-4a2<0，所以方程无实数根，故C 错误.
7.若存在0<a<b 使函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[
m
b ，m
a](m>0)，则称函数f(x)为区间[a，b]的“限定函
数”，m 为函数f(x)的“限定数”.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足当x<0 时，f(x)=-x-2，且f(x)为区间[a，
b]的“限定函数”，则“限定数”m 的取值范围是( )
A.(0，1
2)
B.(0，1)
C.(1，3
2)
D.(1，2)
答案 B
解析 由f(x)是R 上的奇函数得f(0)=0，
当x>0 时，-x<0，∴f(-x)=-(-x)-2=x-2，故f(x)=-f(-x)=-x+2，
∴f(x)={
−x +2, x>0,
0, x =0,
−x−2, x<0,
∴f(x)在(0，+∞)上单调递减，
又存在0<a<b 使函数f(x)在[a，b]上的值域为[
m
b ，m
a]，
∴f(a)=m
a ，f(b)=m
b ，
即-a+2=m
a ，-b+2=m
b ，
令-z+2=m
z ，则-z2+2z-m=0 在(0，+∞)上有两个不相等的实数根a，b，
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又g(z)=-z2+2z-m 的对称轴为直线z=1，
故需满足{
Δ>0,
g(0)<0⇒{
4−4 m>0,
−m<0
⇒{
m<1,
m>0,
故m 的取值范围是(0，1).
8.(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z 的大小关系不可能为( )
A.x>y>z
B.x>z>y
C.y>x>z
D.y>z>x
答案 B
解析 方法一 设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m，
令m=2，则x=1，y=3-1=1
3，z=5-3= 1
125，此时x>y>z，A 有可能；
令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C 有可能；
令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D 有可能.
方法二 设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t，
则x=2t-2，y=3t-3，z=5t-5.
当x>y 时，2t-2>3t-3，解得t<3 ln3−2ln 2
ln3−ln 2 <5；
当z>y 时，5t-5>3t-3，解得t>5ln5−3ln3
ln5−ln3
>5.
因此当x>z>y 时，t 无解，故选B.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若f (
3
2 −2 x)，g(2+x)
均为偶函数，则( )
A.f(0)=0
B.g(−1
2)=0
C.f(-1)=f(4)
D.g(-1)=g(2)
答案 BC
解析 方法一 (转化法)因为f (
3
2 −2 x)，g(2+x)均为偶函数，
所以f (
3
2 −2 x)=f (
3
2 +2 x)，
即f (
3
2 −x)=f (
3
2 + x)，
g(2+x)=g(2-x)，
所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，
则f(-1)=f(4)，故C 正确；
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函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=3
2，x=2 对称，
又g(x)=f'(x)，且函数f(x)可导，
所以g(
3
2)=0，g(3-x)=-g(x)，
所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，
所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)，
所以g(−1
2)=g(
3
2)=0，
g(-1)=g(1)=-g(2)，故B 正确，D 错误；
若函数f(x)满足题设条件，
则函数f(x)+C(C 为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(0)的函数值，故A 错误.
方法二 (特例法)因为f (
3
2 −2 x)，g(2+x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=3
2对称，函数g(x)
的图象关于直线x=2 对称.取符合题意的一个函数f(x)=1(x∈R)，则f(0)=1，排除A；
取符合题意的一个函数f(x)=sin πx，则f'(x)=πcos πx，即g(x)=πcos πx，所以g(-1)=πcos(-π)=-π，g(2)=πcos
2π=π，所以g(-1)≠g(2)，排除D.故选BC.
10.(2025·白银模拟)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x+2)=6，且∀t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，则下列说法正
确的是( )
A.函数y=f(x+1)-3 为偶函数
B.函数f(x)为减函数
C.函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称
D.f(3x-2)-3>0 的解集为(1，+∞)
答案 BC
解析 因为f(-x)+f(x+2)=6，所以f(-x+1)-3=-[f(x+1)-3]，
所以函数y=f(x+1)-3 为奇函数，
函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称，故A 错误，C 正确；
因为∀t≠0，tf(x+t)-tf(x)<0，即t[f(x+t)-f(x)]<0，当t>0 时，f(x+t)<f(x)，
当t<0 时，f(x+t)>f(x)，所以函数f(x)为减函数，故B 正确；
令x=-1，则f(1)+f(-1+2)=6，所以f(1)=3，
则f(3x-2)-3>0 等价于f(3x-2)>f(1)，
因为函数f(x)为减函数，
所以3x-2<1，即x<1，故f(3x-2)-3>0 的解集为(-∞，1)，故D 错误.
11.设函数y=f(x)的定义域为R，如果存在常数T(T≠0)，对于任意x∈R，都有f(x+T)=T·f(x)，则称函数
y=f(x)是“类周期函数”，T 为函数y=f(x)的“类周期”.现有下面四个命题，正确的是( )
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A.函数f(x)=3-x是“类周期函数”
B.函数f(x)=x3是“类周期函数”
C.如果函数f(x)=cos ωx 是“类周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”
D.如果“类周期函数”y=f(x)的“类周期”为-1，那么它是周期为2 的周期函数
答案 ACD
解析 对于A，若函数f(x)=3-x是“类周期函数”，
则存在非零常数T，使f(x+T)=T·f(x)，
即3-x-T=T·3-x，
即(T-3-T)·3-x=0，即T-3-T=0，
令g(T)=T-3-T，
因为g(0)=0-1=-1<0，g(1)=1-1
3=2
3>0，且函数g(T)在(0，1)上连续，
所以函数g(T)=T-3-T在(0，1)上存在零点，即方程T-3-T=0 在(0，1)上有解，
即存在常数T(T≠0)，对于任意x∈R，都有f(x+T)=T·f(x)，
所以函数f(x)=3-x是“类周期函数”，故A 正确；
对于B，若函数f(x)=x3是“类周期函数”，
则存在非零常数T，使f(x+T)=T·f(x)，
即(x+T)3=T·x3，则T=( x +T )
3
x
3
，
即
3√T= x +T
x
=1+T
x 对任意的x 恒成立，
则T=0，矛盾，所以不存在常数T(T≠0)，对于任意x∈R，都有f(x+T)=T·f(x)，
所以函数f(x)=x3不是“类周期函数”，故B 错误；
对于C，若函数f(x)=cos ωx 是“类周期函数”，
则存在非零常数T，使f(x+T)=T·f(x)，
即cos(ωx+ωT)=Tcos ωx，
故T=1 或T=-1，
当T=1 时，cos(ωx+ω)=cos ωx，由诱导公式得ω=2kπ，k∈Z；
当T=-1 时，cos(ωx-ω)=-cos ωx，由诱导公式得ω=(2k+1)π，k∈Z，
故“ω=kπ，k∈Z”，故C 正确；
对于D，如果“类周期函数”y=f(x)的“类周期”为-1，
则f(x-1)=-f(x)，即f(x-1)=-f(x)=-[-f(x+1)]=f(x+1)，
故它是周期为2 的周期函数，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
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12.已知函数 f(x)=loga(3-x)+1
4 (a>0 且 a≠1) 的图象经过定点A，若幂函数y=g(x)的图象也经过该点，则g
(
1
2)= .
答案 4
解析 因为f(2)=1
4 ，所以A(2，1
4)，
设幂函数y=g(x)=xα，
因为幂函数y=g(x)的图象经过A(2，1
4)，
所以2α=1
4 ，解得α=-2，故g(x)=x-2，
因此g(
1
2)=(
1
2)
−2
=4.
13.(2025·河南名校学术联盟模拟)已知定义在R 上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足
f(x)=f(4-x)，f(x)在区间(-∞，2)上单调递减，f(0)=0，则关于x 的不等式f ( x)
2−x <0 的解集为 .
答案 (0，2)∪(4，+∞)
解析 由f(x)=f(4-x)得，f(x)的图象关于直线x=2 对称，
所以f(4)=f(0)=0，
由f(x)在(-∞，2)上单调递减，可知f(x)在(2，+∞)上单调递增，
画出f(x)的大致图象如图所示，
结合图象及f ( x)
2−x <0 可得，
{
2−x>0,
0< x<4 或{
2−x<0,
x<0 或x>4 ,
解得0<x<2 或x>4，
故不等式f ( x)
2−x <0 的解集为(0，2)∪(4，+∞).
14.(2025·镇江模拟)已知A，B，C 是函数f(x)=|log2x|的图象上的三点，且A 在x 轴上，BC∥x 轴，BC=15
4 ，
则⃗AB·⃗AC= .
答案 7
4
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解析 函数f(x)的大致图象如图所示，
因为点A 在x 轴上，所以A(1，0)，
因为BC=15
4 ，根据对称性，不妨设B(x，|log2x|)，
C(x + 15
4 ，|lo g2(x + 15
4 )|)，x>0，
则-log2x=log2(x + 15
4 )，所以1
x =x+15
4 ，
化简得4x2+15x-4=0，
解得x=-4(舍去)或x=1
4 ，
所以B(
1
4 ，2)，C(4，2)，
所以⃗AB=(−3
4 ，2)，⃗AC=(3，2)，
所以⃗AB·⃗AC=-3
4 ×3+2×2=7
4
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