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第 03 讲 空间直线、平面的平行 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平
面，则 的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断线面平行、线面关系有关命题的判断、判断命题的充分不必要条件
【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，由 可得 或 ，故A错误；
对于B，由 可得 或 ，故B错误；
对于C，由 可得 ，故C正确；
对于D，由 可得 相交或 ，故D错误；
故选：C
2．（23-24高一下·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线， ， 为两个不同的平
面，且 ， ，则“ ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】面面平行证明线面平行、判断命题的充分不必要条件
【分析】根据给定条件，利用面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由 ， ， ，则 且 ，
反之，当 且 时，若 ，则 或 与 相交，
所以“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件.
故选：A
3．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在空间四边形 中，F，G分别是
BC，CD的中点， 平面 ，则EH与FG的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
【答案】A
【知识点】线面平行的性质
【分析】由三角形的中位线及线面平行的性质定理即可选出答案.
【详解】因为 分别为 的中点，
所以 ,
因为 平面 ,平面 平面 , 平面 ,
所以 ,
由平行的传递性可知 .
故选：A.
4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知正方体 ，平面 与平面
的交线为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行公理、面面平行证明线线平行【分析】利用面面平行的性质定理可得 ，再逐项分析求解即可.
【详解】正方体 中，平面 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
正方体中， 且 ，四边形 为平行四边形，
则有 ，所以 ，C选项正确；
都与 相交，则 与 都不平行，
ABD选项都错误.
故选：C.
5．（2024·陕西榆林·模拟预测）在正方体 中，E，F分别是 ， 的
中点，则（ ）
A． B． 平面BCE
C． D． 平面
【答案】B
【知识点】判断线面平行、证明线面平行、证明面面平行、证明线面垂直
【分析】对于A，说明 异面即可判断；对于B，说明平面 平面 即可判
断；对于C，可以用反证法导出矛盾，进而判断；对于D，显然不垂直.
【详解】对于A，设 为 中点，则 ，但 相交，所以 异面，故A错误；
对于B，设 的中点为H，则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又因为 平面 ，
故平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面BCE，选项B正确．
对于C，在 中， ， ，故EF与 不可能垂直（否则 垂直平
分 ，会得到 ，这与 矛盾），C选项错误．
对于D，易知 平面 ，又 ，故D选项错误．
故选：B.
6．（2024·四川乐山·三模）在三棱柱 中，点 在棱 上，满足
，点 在棱 上，且 ，点 在直线 上，若 平
面 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】线面平行的性质
【分析】作出示意图，根据体积关系可得 为 的靠近 的三等分点，再根据面面平行
的判定定理及性质，可找到 点位置，从而可求解.
【详解】如图所示：
因为 ，所以 ，
所以所以 ，所以 ，则 ，
设三棱柱 的侧棱长为6，则 ， ，
又 为 的中点，取 的中点 ，连接 ，则 。
过 作 ，且 ，连接 ，又 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 ，
故选：D
7．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体 中，下列四对截面彼
此平行的一对是（ ）
A．平面 与平面 B．平面 与平面
C．平面 与平面 D．平面 与平面
【答案】A
【知识点】证明线面平行、证明面面平行
【分析】根据面面平行的判定定理进行判断即可.
【详解】如图，对于A： ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 ，同理可证 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
平面 平面 ，因此A正确;
对于B： 平面 ，且 与 相交，又 平面 ， 平
面 ，
故平面 与平面 不可能平行，因此B不正确;
对于C：平面 与平面 有公共点 ，故平面 与平面 不可能平行，因
此C不正确;
对于D： 平面 ，且 与 相交，又 平面 ， 平面
，
故平面 与平面 不可能平行，因此D不正确;
故选：A.
8．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶
点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不平行的是
（ ）．A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断线面平行
【分析】对于A，利用与直线 平行的直线和平面 相交，可得直线AB与平面MNQ
不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和 平行的
直线平行平面 ，可得 平面 ；对于D，利用和 平行的直线平行平面
，可得 平面 .
【详解】对于A，如图取底面中心 ，连接 ，
由于 为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得 ，
因为 与平面 相交，所以 与平面 相交，即直线AB与平面MNQ不平行；
对于B，如图连接 ，因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
M，N分别为所在棱的中点，所以 ，
因为 ， 平面 ，
， 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 ；
对于C，如图，连接 ，则 ，
因为 ， 分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得
，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
对于D，如图，连接 ，则 ，因为 ， 分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知四棱锥 的底面ABCD是边长为4的
正方形，PA⊥平面ABCD，且 ，E，F，G分别为PB，PD，BC的中点，点Q是线段
PA上靠近点P的四等分点，则（ ）
A． 平面PCD
B．直线FG与AB所成的角为30°
C．
D．经过E，F，G的平面截四棱锥 所得到的截面图形的面积为
【答案】ACD
【知识点】棱锥中截面的有关计算、平行公理、求异面直线所成的角、判断线面平行
【分析】根据线面平行判断A,应用定义得出异面直线所成角判断B,平行公理判断C,先证明
线面垂直得出线线平行即可求出截面再计算判断D.
【详解】因为EG是 的中位线，所以 ，
又 平面PCD， 平面PCD，所以 平面PCD，A正确．
如图，取PA的中点M，连接MF，BM，则 ， 且 ．
因为 且 ，所以 且 ．
所以四边形MFGB为平行四边形，所以 ，
所以∠MBA或其补角即为直线FG与AB所成的角．
由 平面ABCD， 面 ，得 ．
因为 ，
所以FG与AB所成角的正切值为 ，B错误．
由题意，得Q是PM的中点，所以 ，又 ，所以 ，C正确．
显然E，G，F，Q四点共面，取CD的中点H，连接FH，GH，
可得四边形EGHF为平行四边形，所以E，G，H，F四点共面，
所以E，G，H，F，Q五点共面，即五边形EGHFQ即为所求的截面．
设 ，则 ，且 ，
， ．
由题意及线面垂直的性质有 ， ， 且都在面 ，所以
BD⊥平面PAC．
而 面 ，所以 ，又 ， ，所以 ，
所以 ，D
正确．
故选：ACD．
三、填空题
10．（2024·西藏拉萨·二模）如图，正四棱锥 的所有棱长都为 为 的中
点， 是底面 内（包括边界）的动点，且 平面 ，则 长度的取值范围
是 .【答案】
【知识点】证明线面平行、证明面面平行、由线面平行求线段长度
【分析】画出草图辅助分析，设 的中点分别为 ，连接 ，先证明平面
平面 .得到动点 在线段 上运动. 再作辅助线，将 长度的取值范
围转化为求出点 与线段 上的点的距离的取值范围.后抽出等腰梯形 ，借助
等腰梯形的性质解题即可.
【详解】如图（1），设 的中点分别为 ，连接 ，则 .因为
平面 平面 ，所以 平面 .
又 平面 平面 ，所以 平面 .
又 ，所以平面 平面 ，所以动点 在线段 上运动.
设 的中点分别为 ，连接 ，
则在等腰梯形 中，只需求出点 与线段 上的点的距离的取值范围.
易知 ，如图（2），作 ，则，所以 长度的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题
11．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体 如图所示
(1)求证: 平面 .
(2)平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【知识点】证明面面平行、证明线面平行
【分析】（1）先证明平行四边形得出线线平行，再结合线面平行判定定理证明；
（2）先证明线面平行，再应用面面平行判定定理证明.
【详解】（1）由题设得： ， ，∴四边形 为平行四边形.
∴ .
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2） ， ，
∴四边形 为平行四边形.
∴ .
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 . 平面 .
又 平面 ，
∴平面 平面 .．
B能力提升
1．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）如图，已知四棱锥 的底面是菱形，平面
平面 ， 为等腰直角三角形， ， ， 为 的
中点．
(1)线段 上是否存在一点 ，使得 平面PAD？若存在，请说明理由；
(2)求四面体 的体积．
【答案】(1)在 上存在一点 ，且F为 的中点，使得 平面PAD(2)
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行
【分析】（1）取 中点 ,可说明四边形 是平行四边形，即可解决问题；
（2）取AD的中点H，先证得 平面ABCD．再通过等体积即可求解.
【详解】（1）在 上存在一点 ，且 为 的中点，使得 平面 ．
理由如下：取 的中点 ， 中点 ，连接 ．
为 的中点，
， ， ，
四边形 是平行四边形，
．
平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）如图，取 的中点 ，连接 ．
为等腰直角三角形， ，
．
平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
平面 ．
又 为 的中点，
点 到平面 的距离等于 的一半，
又 ，， ，
点 到平面 的距离等于 ．
在菱形 中， ，
．
，
，
，
四面体 的体积为 ．
