文档文本内容
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专题07 函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................9
题型一：含参数函数单调性讨论
9
题型二：导数与数列不等式的综合问题
11
题型三：双变量问题
13
题型四：证明不等式
15
题型五：极最值问题
17
题型六：零点问题
19
题型七：不等式恒成立问题
21
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
23
题型九：利用导数解决一类整数问题
26
题型十：导数中的同构问题
27
题型十一：洛必达法则
30
题型十二：导数与三角函数结合问题
32
重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题
34
1
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本节内容在高考中常作为压轴题出现，涉及函数零点个数、不等式证明及存在性等问题，综合性强且
难度较大。解决这类导数综合问题，需要综合运用分类讨论、构造函数、等价转化、设而不求等多种思维
方法，并结合不等式、方程等相关知识。这类问题不仅思维难度大，而且运算量也相当可观。可以说，考
生一旦攻克了本节内容，就将具备出色的逻辑推理、数学运算、数据分析和直观想象等核心素养。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
不等式
掌握技巧，灵活
应用求解
2024 年天津卷第20 题，16 分
2023 年I 卷第19 题，12 分
2023 年甲卷第21 题，12 分
2023 年天津卷第20 题，16 分
2022 年II 卷第22 题，12 分
函数与导数在高中数学
中占据重要地位，不仅是重
点考查内容，也是高等数学
的基础。通过对近十年高考
数学试题的分析，可以总结
出五大核心考点：一是含参
函数的单调性、极值与最值
问题；二是函数的零点求解
问题；三是不等式恒成立与
存在性的探讨；四是函数不
等式的证明技巧；五是导数
中涉及三角函数的问题。其
中，函数不等式证明中的极
值点偏移、隐零点问题、含
三角函数形式的问题以及不
等式的放缩技巧，是当前高
考函数与导数压轴题的热门
考点。
极最值
明确概念，掌握
求解方法
2024 年II 卷第16 题，15 分
2023 年乙卷第21 题，12 分
2023 年II 卷第22 题，12 分
恒成立与有解
理解概念，熟练
转化求解
2024 年I 卷第18 题，17 分
2024 年甲卷第21 题，12 分
2022 年 北京卷第20 题，12 分
2021 年天津卷第20 题，16 分
2020 年I 卷第21 题，12 分
零点问题
理解原理，熟练
求解应用
2022 年甲卷第21 题，12 分
2022 年I 卷第22 题，12 分
2022 年乙卷第20 题，12 分
2
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3
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1、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极
值点为
），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0．
（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数
，若证
，则令
．
（3）判断单调性，即利用导数讨论
的单调性．
（4）比较大小，即判断函数
在某段区间上的正负，并得出
与
的大小关系．
（5）转化，即利用函数
的单调性，将
与
的大小关系转化为与
之间
的关系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明
的符号问题，还需进一步讨论
与x0的大小，得出
所在
的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿
于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内
在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单
调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个
适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能
获得简洁明快的思路，有着非凡的功效
2、应用对数平均不等式
证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到
；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题．
3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可．
4
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5
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1．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
2．（2024 年天津高考数学真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若
对任意x∈(0,+∞)成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
3．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
6
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4．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
5．（2023 年北京高考数学真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
6．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线y = f (x)在点
处的切线方程．
(2)若函数
在(0,+∞)单调递增，求
的取值范围．
7
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7．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
8．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
9．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
10．（2023 年天津高考数学真题）已知函数
．
8
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(1)求曲线y = f (x)在
处的切线斜率；
(2)求证：当
时，
；
(3)证明：
．
11．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
12．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
13．（2022 年新高考天津数学高考真题）已知
，函数
(1)求曲线y = f (x)在
处的切线方程；
(2)若曲线y = f (x)和y = g(x)有公共点，
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（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
．
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题型一：含参数函数单调性讨论
【典例1-1】设
，
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
，试讨论
的单调性.
【典例1-2】已知函数
.
(1)若函数
存在一条对称轴，求
的值；
(2)求函数
的单调区间.
1、导函数为含参一次型的函数单调性
导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数
不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调
区间．
2、导函数为含参二次型函数的单调性
当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次
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函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：
（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；
（2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判
定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．
3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性
当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．
“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．
在此我们首先要清楚
之间的联系是如何判断原函数单调性的．
（1）二次求导目的：通过
的符号，来判断
的单调性；
（2）通过赋特殊值找到
的零点，来判断
正负区间，进而得出
单调性．
【变式1-1】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
【变式1-2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，
，讨论函数
的单调性.
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1．已知函数
．讨论当
时，
的单调性．
题型二：导数与数列不等式的综合问题
【典例2-1】[新考法]（2024·陕西榆林·模拟预测）不动点在数学和应用中具有重要作用，不动点是指被函
数映射到其自身的点.对于函数
，我们把满足
的
称为函数
的不动点，已知函数
.
(1)证明：
在
有唯一的不动点
；
(2)已知
，且
的前
项和为
.证明：
①
为递增数列，
为递减数列，且
；
②
.
【典例2-2】已知函数
.
(1)讨论函数
极值点的个数；
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(2)当
时，数列
满足：
.求证：
的前
项和满足
.
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
【变式2-1】[新考法]（2024·高三·辽宁·开学考试）已知函数
（是自然对数的底数）.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，求
；
(3)利用（2）中求得的
，若
，数列
满足
，且
，证明：
.
【变式2-2】已知函数
在点
处的切线与
轴重合．
(1)求函数
的单调区间与极值；
(2)已知正项数列
满足
，
，
，记数列
的前
项和为
，求证：
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．
1．牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似如图设是y = f (x)的一个零点，任意选取
作为
的初始近似值，过点(x0,f (x0))作曲线y = f (x)的切线，与
轴的交点为横坐标为
，称
为的1 次
近似值，过点(x1,f (x1))作曲线y = f (x)的切线
，
与
轴的交点为横坐标为
，称
为的2 次近似值．
一般地，过点
作曲线y = f (x)的切线
，
与
轴的交点为横坐标为
，就称
为的
次近似值，称数列
为牛顿数列．
(1)若
的零点为，
，请用牛顿切线法求的2 次近似值；
(2)已知二次函数
有两个不相等的实数根
，数列
为
的牛顿数列，数列
满足
，且
．
（ⅰ）设
，求
的解析式；
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（ⅱ）证明：
题型三：双变量问题
【典例3-1】已知函数
．
(1)求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
．
【典例3-2】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)已知
有两个极值点
，且
，
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）求
的最小值．
破解双参数不等式的方法：
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一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【变式3-1】（2024·高三·江苏无锡·期中）已知函数
.
(1)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)过点
可以作曲线
的两条切线，切点分别为
.
①求实数的取值范围；
②证明：若
，则
.
【变式3-2】（2024·四川成都·模拟预测）定义运算：
，已知函数
．
(1)若函数
的最大值为0，求实数a 的值；
(2)证明：
．
(3)若函数
存在两个极值点
，证明：
．
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1．已知函数
.
(1)若直线
与函数
的图象相切，求实数
的值；
(2)若函数
有两个极值点
和
，且
，证明：
.（为自然对数的底
数）
题型四：证明不等式
【典例4-1】（2024·高三·四川·期中）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，证明：
.
【典例4-2】已知
，证明：
.
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利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【变式4-1】已知函数
（
）.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，证明：
.
【变式4-2】已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与
轴平行，求
的值；
(2)设函数
，给出
的定义域，并证明：曲线
是轴对称图形；
(3)证明：
.
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1．已知函数
.
(1)当
时，求函数在
的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)证明：当
时，
.
题型五：极最值问题
【典例5-1】已知函数
.
(1)若
在其定义域内单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若
，且
有两个极值点
，
，其中
，求
的取值范围.
【典例5-2】（2024·四川眉山·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的零点个数；
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(2)设
，函数
.
（i）判断
的单调性；
（ii）若
，求
的最小值.
利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．
只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定
单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，
对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【变式5-1】（2024·高三·天津·期末）已知函数
.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)令
.
（i）讨论函数
极值点的个数；
（ii）若
是
的一个极值点，且
，证明：
.
【变式5-2】（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
存在最大值，且最大值小于0，求
的取值范围．
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1．已知函数
．
(1)判断
在区间
上的单调性；
(2)求
在区间
上的极值点的个数．
题型六：零点问题
【典例6-1】已知曲线
在
处的切线方程为
．
(1)求a，b；
(2)若函数
有两个零点，求实数m 的取值范围．
【典例6-2】（2024·高三·湖北·期中）设函数
.
(1)讨论函数
在区间
上的单调性；
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(2)判断并证明函数
在区间
上零点的个数.
函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参
数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线
）在某区间上的
交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
【变式6-1】已知
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若
恰有1 个极大值点和1 个极小值点．
①求极大值与极小值的和；
②判断
零点的个数．
【变式6-2】已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
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(2)若
有两个零点，求
的取值范围．
1．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)设
，求证：当
时，
有且仅有2 个不同的零点．
（参考数据：
）
题型七：不等式恒成立问题
【典例7-1】（2024·高三·天津滨海新·期末）已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若存在
时，使
成立，求a 的取值范围.
(3)若不等式
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围.
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【典例7-2】已知函数
．
(1)已知
在
处取得极小值，求a 的值；
(2)对任意
，不等式
恒成立，求a 的取值范围．
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
，
，
，
．
（1）若
，
，有
成立，则
；
（2）若
，
，有
成立，则
；
（3）若
，
，有
成立，则
；
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（4）若
，
，有
成立，则
的值域是
的值域的子集．
【变式7-1】已知函数
.
(1)求
的极值；
(2)设
.
（i）当
时，求函数
的单调区间；
（ii）若
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）设
，已知函数
.
(1)当函数
在点
处的切线
与直线
平行时，求切线
的方程；
(2)若函数
的图象总是在
轴的下方，求
的取值范围.
1．已知
，函数
，
（是自然对数的底数）．
(1)讨论函数
极值点的个数；
(2)若
对任意的x∈R恒成立，求实数
的值；
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(3)在第（2）小题的条件下，若存在
，使得
，求实数
的取值范围．
题型八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
【典例8-1】已知函数
.
(1)若
，当
与
的极小值之和为0 时，求正实数
的值；
(2)若
，求证：
.
【典例8-2】已知函数
，
．
(1)若
在
处取得极值，求
的值；
(2)设
，试讨论函数
的单调性；
(3)当
时，若存在实数
，
满足
，求证：
．
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
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称性．若函数f ( x )在x=x0处取得极值，且函数y=f ( x)与直线y=b 交于A( x1,b),B( x2,b)两点，则
AB 的中点为M ( x1+x2
2
,b)，而往往x0≠x1+x2
2
．如下图所示．
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数y=f ( x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0 ，方程f ( x )的解分别为
x1、x2，且a<x1<x2<b ，（1）若
x1+x2
2
≠x0，则称函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 偏移；
（2）若
x1+x2
2
>x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 左偏，简称极值点x0 左偏；（3）若
x1+x2
2
<x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 右偏，简称极值点x0 右偏．
【变式8-1】已知函数
，
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）对实数
，令
，正实数
，
满足
，求
的最小值.
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【变式8-2】已知函数
，其中为自然对数的底数．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若方程
有两个不同的根
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
1．已知函数
为其导函数．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数
，使得
，证明：
．
2．[新考法]已知函数
．
(1)讨论
的单调区间；
(2)已知
，设
的两个极值点为
，且存在
，使得
的图象与
有三
个公共点
；
①求证：
；
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②求证：
．
题型九：利用导数解决一类整数问题
【典例9-1】已知函数
.
(1)证明：
有两个极值点，且分别在区间
和
内；
(2)若
有3 个零点，求整数
的值.
参考数据：
，
，
，
.
【典例9-2】已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)当
时，若
在
时恒成立，求整数
的最大值．
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分离参数、分离函数、半分离
【变式9-1】函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若
只有一个解，则当
时，求使
成立的最大整数k.
【变式9-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
，若存在
，使得
.
①求
的取值范围；
②设
为整数，若当
时，相应的
总满足
，求
的最小值.
1．已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率小于1，求
的取值范围．
(2)若整数k 使得
对
恒成立，求整数k 的最大值．
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题型十：导数中的同构问题
【典例10-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
【典例10-2】已知函数
．
（1）讨论函数
的单调性；
（2）当
时，求证：
在
上恒成立；
（3）求证：当
时，
．
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1 ）在方程中的应用：如果方程
和
呈现同构特征，则
可视为方程
的两个根
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（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进
而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：
，
；寻找“亲戚函数”是
关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果
满足的方程为同构式，则
为方程所表示曲
线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线
的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于
与
的同
构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
【变式10-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数
和
．
(1)若曲线数
与
在
处切线的斜率相等，求
的值；
(2)若函数
与
有相同的最小值．
①求
的值；
②证明：存在直线
，其与两条曲线
与
共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点
的横坐标成等差数列．
【变式10-2】对任意
，若不等式
恒成立，求a 的取值范围.
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1．2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数
，
，直线
为曲线
与
的一条公切线.
(1)求
；
(2)若直线
与曲线
，直线，曲线
分别交于
三
点，其中
，且
成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.
2．已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围.
题型十一：洛必达法则
【典例11-1】已知函数
在
处取得极值，且曲线
在点
处
的切线与直线
垂直.
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(1)求实数
的值；
(2)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【典例11-2】设函数
.当
时，
，求
的取值范围.
法则1、若函数
和
满足下列条件：
（1）
及
；
（2）在点的去心邻域
内，
与
可导且
；
（3）
，那么
=
．
法则2、若函数
和
满足下列条件：（1）
及
；
（2）
，
和
在
与
上可导，且
；
（3）
，
那么
=
．
法则3、若函数
和
满足下列条件：
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（1）
及
；
（2）在点的去心邻域
内，
与
可导且
；
（3）
，
那么
=
．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的
，
，
，
洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理
，
，
，
，
，
，
型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足
，
，
，
，
，
，
型定式，否
则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
【变式11-1】设函数
．如果对任何
，都有
，求
的取值范围．
【变式11-2】已知
．
（1）求
的单调区间；
（2）若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
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1．已知函数
．
（1）若函数
在点
，
（1）处的切线经过点
，求实数
的值；
（2）若关于
的方程
有唯一的实数解，求实数
的取值范围．
题型十二：导数与三角函数结合问题
【典例12-1】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知
(1)将
，
，
，
按由小到大排列，并证明；
(2)令
求证:
在
内无零点.
【典例12-2】已知函数
．
(1)讨论
的单调区间
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(2)若函数
，
，证明：
．
分段分析法
【变式12-1】已知函数
，
，
(1)求证：
，
；
(2)若
在
上单调递增，求
的最大值；
(3)设
，
，
，试判断
的大小关系.
【变式12-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程：
(2)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(3)若
，
，证明：
．
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1．已知函数
，
．
(1)函数
在
处与
处的切线分别为，
，且直线，
之间的距离为
，求证
；
(2)若
为空集，求实数
的取值范围．
2．已知函数
，其中
，
(1)证明：
；
(2)探究
是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
重难点突破：函数与导数背景下的新定义压轴解答题
【典例13-1】若存在一个数
，使得函数
定义域内的任意
，都有
，则称
有下界，
是
的一个下界．
(1)求函数
的下界
的取值范围；
(2)判断
是否是下界为
的函数，并说明理由；
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(3)若函数
，
是
的一个整数下界，求
的最大值．（参考数据：
，
）
【典例13-2】一般地，设函数
在区间
上连续，用分点
将区间
分成
个小区间，每个小区间的长度为
，在每个小区间
上任取一点
，作和式
．如果当
无限接近于0（亦即
时，
上述和式
无限趋近于常数，那么称该常数为函数
在区间
上的定积分，记为
．
当
时，定积分
的几何意义表示由曲线y = f (x)，两直线
与
轴所围成的曲边梯
形的面积（如下图）．
如果
是区间
上的连续函数，并且
，那么
(1)求
；
(2)设函数
．
（1）若
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）数列
满足
，利用定积分的几何意义，证明：
．
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函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生
对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点
考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
【变式13-1】（2024·上海徐汇·一模）已知定义域为
的函数y = f (x)，其导函数为y = f
' (x)，若点
在导函数y = f
' (x)图象上，且满足
，则称
为函数y = f (x)的一个“
类数”，函数
y = f (x)的所有“
类数”构成的集合称为“
类集”.
(1)若
，分别判断
和
是否为函数y = f (x)的“
类数”，并说明理由；
(2)设y = f
' (x)的图象在R上连续不断，集合
.记函数y = f (x)的“
类集”为集合，若
，求证：
；
(3)已知
，若函数y = f (x)的“
类集”为R时
的取值构成集合
，求当
时
的最大值.
【变式13-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）定义：如果函数
在定义域内，存在极大值
和极小值
且存在一个常数
，使
成立，则称函数
为极值可差比函数，常数
称
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为该函数的极值差比系数．已知函数
．
(1)当
时，判断
是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在
使
的极值差比系数为
?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
(3)若
，求
的极值差比系数的取值范围．
1．已知曲线
的图象上存在A，B 两点，记直线AB 的方程为
，若AB 恰为曲线
的
一条切线，且直线
与曲线
相切于A，B 两点，
，
，则称函数
为
“切线上界”函数.
(1)试判断函数
是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理
由；
(2)已知
为“切线上界”函数，求实数a 的取值范围；
(3)证明：当
时，
为“切线上界”函数.
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