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第5讲 体积、面积、周长、距离最值与范围问题
一、单选题
1．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， ，直线
与平面 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则下列说法中不正确的有（ ）
A．三棱锥 体积的最小值为
B．三棱锥 体积的最大值为
C．直线 与平面 所成的角取到最小值时，二面角 的平面角为锐角
D．直线 与平面 所成的角取到最小值时，二面角 的平面角为钝角
【答案】B
【解析】如图（1）所示，作 平面 ，连接 ，
因为直线PA与平面ABC所成的角为 ，直线PB与平面ABC所成的角为 ，
所以 ，即
所以 ，即 ，
以 所在的直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建立如图（2）平面直角坐标系，
设 ， ， ，
则 ，整理得 ，可得圆心 ，半径 ，
设点圆 与 轴的交点分别为 ，可得 ，
因为 ，所以
又由 且 ， 所以 ，
则 ， ，所以A正确，B错误；
因为 ，可设 ，
设 与平面 所成角为 ，且 ，
可得 ，且 ，
又由
，
令 ，根据斜率的几何意义，可得 表示圆 与定点 连线的斜率，
又由 与圆 相切时，
可得 ，解得 或 ，即 ，当 时，此时 取得最小值，即 最小时，此时H在 外部，
如图（3）所示，此时二面角 的平面角为锐角， 的平面角为钝角，所以C、D正确．
故选：B
2．（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形 的边长为4， 点在边 上且 ，将
沿 翻折到 的位置，使得 ．空间四点 的外接球为球 ，过 点作球
的截面 ，则 截球 所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取 的中点为 ，
由正方形 的边长为4，得 ，
因此 为四面体 的外接球球心，外接球半径 ，设球心到平面 的距离为 ，截面圆的半径为 ，
则有 ，即 ，
当 截面 时， 最大，此时截面面积最小，且 ，
在 中， ， ， ．
由余弦定理可得， ．
此时 ，所以截面面积最小值为 .
故选：C
3．（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）如图，与圆柱底面成 角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面
上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将该几何体旋转后与原几何体组合成一个圆柱体，如图；
则 ，过 作 ，则 ，则 ，
∴该几何体的体积： ，
故选：C.4．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形 中， ， ，
M为 的中点，现将 沿 翻折，得到三棱锥 ，记二面角 的大小为 ，
，下列说法不正确的是（ ）
A．存在 ，使得
B．存在 ，使得
C． 与平面 所成角的正切值最大为
D．记三棱锥 外接球的球心为O，则 的最小值为
【答案】A
【解析】对于A，由条件知， 沿 翻折得到的几何体是圆锥，
设 为D在平面 的射影，
在平面 的轨迹是一条线段，且这条线段是一条以 为中点的线段，长为 ，该线段还与 垂直，
若 ，则 在平面 上的射影 ，
因为 ，所以不可能有 ，故A错误；
对于B，翻折过程中点M为半圆上的一点，圆心为 的中点N，则必存在 ，
使得 ，即 ，故B正确；
对于C，此时 与圆相切于点M，即 与平面 所成的角也达到最大，
因为圆半径为 ，切线长为 ，所以正切值为 ，故C正确；
对于D，首先设正 的中心为G，过点G的直线 平面 ，
沿 翻折过程中，过 中点且垂直 的平面必过点M且与直线l相交，
交点即为三棱锥 外接球的球心O，此时 ，要使切线长 最小，即 最小，则O与G重合，
易知 ，所以 ，故D正确.
故选：A.
5．（2025·福建厦门·二模）已知正方体 的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，
且满足 平面 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点 ，内切球半径 .
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，同理可得 平面 ，
∵ 平面 ， ，∴平面 平面 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，故点 的轨迹是平面 与正方体内切球的交线，此交线为圆，
记圆心为 .如图，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
∴ ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，故 ，
∴点 到平面 的距离为 ，
∴圆 的半径为 ，
由 得， ，
∴ ，∴ 的最小值为 .
故选：A.
6．（2025·湖北·模拟预测）若正六棱锥 的体积为 ，则PA的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】
设正六棱锥的底面边长与高分别为 ,
底面 为正六边形，设底面 的中心为 ，连接 ，
则 ， 底面 ， 为正六棱锥 的高，
所以 ，
因为正六棱锥的体积为 ，所以 ，即 ，
则 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时取最小值，
则 的最小值为 .
故选：A.
7．（2025·高三·山东·开学考试）已知正方体 的棱长为3，平面 平面 且与线段， 分别交于点 ，则 长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，连接 ，
因为正方体 的棱长为3，所以 ， ，
， ， ，而 ， ，
， ，由题意得 共线， 共线，
设 ， ， ， ，
则 ， ， ，
得到 ， ， ，解得 ，则 ，
而 ，故 ，
得到 ， ， ，
解得 ， ， ，则 ，
故 ，
设面 的法向量为 ，结合 ， ，则 ， ，
令 ，解得 ， ，故 ，
因为平面 平面 ，所以 也是面 的法向量，
则 ，即 ，解得 ，此时 ，
由向量模长公式得 ，
，
若 最小，则 最小即可，
令 ，由二次函数性质得对称轴为 ，
而 ，则当 时， 取得最小值，最小值为 ，
则 的最小值为 ，即 的最小值为 ，故C正确.
故选：C
8．（2025·黑龙江·一模）如图， 是圆台上底面的圆心， ， 是圆台下底面圆周上的两个动点， 是
圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为 ， ．若 ， 平面 ，且
的最小值为6，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取圆台下底面圆心 ，令 ，连接 ，显然 ，
由平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，得则四边形 为平行四边形， ，
在 中， ， ，在圆 中，当且仅当 时， 取最小值6，
由 ，解得 ，因此 ，圆台的高 ，
所以该圆台的体积为 .
故选：C
9．（2025·高三·全国·专题练习）图甲是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上、下底面中心，将其上
底面绕直线l顺时针旋转 ，得图乙所示几何体．已知 为正三角形，若将图乙所示几何体放在一
个球形容器内，则该球形容器表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，所求球的表面积最小时就是该几何体外接球的表面积．
旋转后所得几何体的上底面为正方形，且与下底面平行．
设旋转后得到的几何体上、下底面中心分别为点M，N，连接MN，则MN为两底面的垂线．
上、下底面的外接圆半径均为 ，
故该几何体的外接球球心O是线段MN的中点．球心O到两底面的距离均为 ．
如图5，取EF的中点H，连接MH，BH，则 ， ，
且 ，连接NB，则 ， ．
在直角梯形MNBH中， ， ，
所以 ，
所以 ．
连接OB，则OB的长为外接球半径R，
在 中， ，
于是该几何体外接球的表面积为 ．
故选：A．
10．（2025·高二·四川成都·期中）已知正方体 的棱长为2，且满足
且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意得， ，
∴ ，即 ，
由共面向量定理得， ，E，A，C四点共面，即点E在平面 上，
则 的最小值为点D到平面 的距离．
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
D到平面 的距离 ，
即 的最小值为 ．
故选：B
11．（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）在正方体 中，N是 上靠近点B的一个四等分点，
M是棱 上的动点，若平面 与平面 所成锐二面角的最小值为θ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
平面 平面 ，过点D作 ，垂足为G，连接 ，
则 即为平面 与平面 所成的锐二面角， ，
当 最大时， 最小，不妨设 ，
因为 ，
所以 ，
，
故选：C．
12．（2025·高三·全国·专题练习）已知点 是棱长为2的正方体 的底面 上一个动点
（含边界），若 是 的中点，且满足 平面 ，则（ ）
A． 所在的平面与正方体表面的交线为五边形
B． 所在的平面与正方体表面的交线为六边形
C． 长度的最大值是2
D． 长度的最小值是
【答案】B【解析】如图，
因为满足 平面 ，则 所在的平面与正方体表面的交线，上下平面交线平行于 ，
前后平面交线平行于 ，左右平面交线平行于 ，
所以 所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确；
以 所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
其中， 分别是 的中点，
则直线 的方程为
因为满足 平面 ，则 在所以设线段 上的点 ，
点 ，则 ，
所以当 时， ；当 时， ．故C，D错误．
故选：B．
13．（2025·高二·山西太原·期中）在如图所示的试验装置中，正方形框 的边长是 ，矩形框 中
，它们所在的平面互相垂直.活动弹子 ， 分别在线段 和 上移动，则 的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，因平面 平面 ，且平面 平面 ，
又矩形 ，则 ，
又 平面 ，则 平面 ，
因正方形 ，故可以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.
则 ，连结 ，
设 ，
设 ，
则 ，
则
，故当 时， 取得最小值为 ，
此时 取得最小值 .
故选：C.
14．（2025·高二·浙江·阶段练习）正方体 的棱长为 是面 内一动点，且
是棱 上一动点，则 周长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】由正方体的结构特征可知， 平面 ，
点M是 内一动点，且 ，所以点 在线段 上运动，
动线段 在 内运动，动线段 在 内运动，动线段 在 内运动，
以 为基准，将 和 翻折使其与 共面，如图所示：其中 翻折至 ， 翻折至 ，
的周长等于 ,最小值等于
，
由余弦定理可求得 ，
所以 ，
故 的周长最小值等于 ，
故选：B.
15．（2025·高三·山东青岛·期末）如图，正方形 的边长为1， 为等边三角形，将
分别沿 向上折起，使得点D，E重合并记为点P．若三棱锥 可以在一个圆柱内任意转动，
则此圆柱表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 的中点为 ，因为 与 是直角三角形，则 ，
所以 是三棱锥 的外接球的球心，由正方形 的边长为1，
所以可求得外接球的半径为 ，
要使三棱锥 可以在一个圆柱内任意转动，则三棱锥 的外接球能放入圆柱，则三棱锥 可以在一个圆柱内任意转动，
要使圆柱表面积最小，则三棱锥 的外接球恰好内接于圆柱，
此时圆柱的表面积为 .
故选：C.
16．（2025·高三·云南文山·期末）已知正方体 的棱长为1， 为底面 上一点，则
的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】
如图，以 ， ， 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设点 ， ， ，
则 ， ，
，
当 时， 的最小，最小值为 .
故选：A.
17．（2025·高三·黑龙江·阶段练习）半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数
不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点 满足 ，则直
线 与平面 所成角的正弦值（ ）
A．为定值 B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1 D．存在最小值，且最小值为
【答案】A
【解析】 ，即 在线段 （不包括点 ）.
如图，将该半正多面体补成正方体，则平面 平面 ，
因此直线 与平面 所成角等于直线 与平面 所成角.
在正四面体 中，设正四面体的棱长为2，作 平面 ，垂足为 ，
连接 ，则 即为直线 与平面 所成角.
易求 ，所以 ，
所以 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：A.
18．（2025·高三·重庆长寿·期末）如图所示，正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ， 是
棱 上的动点， 为棱 的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．当 为 中点时， 四点共面
B．当 为 中点时，直线 与 所成角为
C．三棱锥 的体积为定值1
D． 的最小值为
【答案】B
【解析】对于A，因为 为 中点， 为棱 的中点，所以 ，
因为 ， ‖ ，所以 ， ‖ ，所以四边形 为平行四边形，所以 ‖ ，
因为 ‖ ，所以 ‖ ，所以 四点共面，所以A正确；
对于B，由选项A可知当 为 中点时， ‖ ，所以 为直线 与 所成角，
在 中， ，所以 ，
所以 ，所以直线 与 所成角不为 ，所以B错误，
对于C，因为 ‖ ， 平面 ， 平面 ，所以 ‖平面 ，
所以 ，所以C正确，
对于D，因为 为等边三角形， 是 上的动点，所以当 为 中点时， 取得最小值，
因为等边 的边长为2，所以 边上的中线为 ，
所以 的最小值为 ，所以D正确.
故选：B
19．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在四棱锥 中， 平面 ，二面角
的大小为 ，若点 均在球 的表面上，则球 的表面积最小值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设， ， ， ， 在一个圆上，故 ，又 ，
所以 ，即 ，故 是四边形 外接圆的直径，
由 平面 ， ， ， 平面 ，则 ， ， ，
由 ， ， 平面 ，则 平面 ， 平面 ，则 ，
由 ， ， 平面 ，则 平面 ， 平面 ，则 ，
故 ， ， 都是以 为斜边的直角三角形，故 中点为 外接球球心，
且 为二面角 的平面角，故 ，
因为 ， ，
令 且 ，则 ， ，
故 ，
所以外接球半径 ，
当 时， ，此时球 的表面积的最小值为 ．
故选：C
20．（2025·高二·广西南宁·期中）我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与
设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为 的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底面
半径为 ，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时， （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
设圆柱的高为 ，
则 ，故
设圆柱的外接球半径为 ，则 ，
故 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
故当 时，圆柱的外接球表面积取得最小值.
故选：C
21．（2025·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体 的对棱 的中点.过 的
平面 与正四面体 相截，得到一个截面多边形 ，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形 不可能是平行四边形 B．截面多边形 的周长是定值
C．截面多边形 的周长的最小值是 D．截面多边形 的面积的取值范围是
【答案】D
【解析】对于A，当平面 过 或 时，截面为三角形.
易知正四面体关于平面 对称，将平面 从平面 开始旋转与 交于点 时，
由对称性可知，此时平面 与 交于点 ，且 ，
此时截面为四边形 ，且注意到当 分别为 的中点时，此时满足 ，
且 ，即此时截面四边形 是平行四边形，故A错误；对于BC，设 ，由余弦定理得 ，
，
由两点间距离公式知， 表示动点 到定点 和 的距离之和，
当三点共线时取得最小值 ，
由二次函数单调性可知，当 或 时， 取得最大值 ，
所以截面多边形 周长的取值范围是 ，故BC错误；
对于D，记 与 的交点为 ，由对称性 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
记 ，
则 ，
因为 ，所以
，
由二次函数性质可知， ，即 ，
所以 ，故D正确；
故选：D.
22．（2025·高一·吉林长春·期中）在棱长为2的正方体 中，若在线段 和线段 上分
别取点E，F，使得直线 平面 ，则EF的长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】过点 作棱 的平行线，分别交 于点 ，连接 ，
平面 ， 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，
平面 ，于是平面 平面 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ，因此 ，
设 ，则 ， ，
又四边形 为矩形，则 ，
当且仅当 时取等号，所以EF的长的最小值为 .
故选：A23．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为 的正方体 中，点E，F在线段BD
上，点H，G分别在线段AD，AB上，且 ， ， ，动点P在平面
内．若PH，PG与平面 所成的角相等，则BP的最小值是( )
A． B． C．5 D．
【答案】B
【解析】∵ ，且 ，∴ ．
又∵ ，且 ，∴ 平面 ．
∵ ，∴ 平面 ．
∴PH，PG与平面 所成角分别为 ， ，则 ．
∵ ， ，且 ，∴ ．
又∵ ，∴ ，
在平面 中，以EF为x轴，其垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则 ， ， ．
设 ，
由 ，可得 ，整理得 ，
∴点P在圆心为 ，半径长为 的圆上，
此时BP的最小值是 ．
故选：B．
24．（2025·高三·福建龙岩·阶段练习）已知正三棱锥 的棱长均为2，点 在以 为直径的球上运
动，且 ，则三棱锥 的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图，设 为 的中点，设 中点为 ，连接 ，
由 得 在 的中垂面上且在以 为圆心，1为半径的圆上，
连接 ，
为正三棱锥， ，
平面 ， ， 平面 ，平面 与圆面 重合，
又 正三棱锥 的棱长为2， ，
当点 三点共线时，
三棱锥 体积最大，作 平面 ，点
易知 ， ， ，
.
故选：B.
25．（2025·安徽·模拟预测）已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四
面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为 的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任
意转动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，正四面体 底面 的中心记为点 ，连接 ， .
由正四面体的性质可得： 面 .因为正四面体 棱长为2，
所以底面三角形 的高为 ，则 ，
所以正四面体 的高 .
设正四面体 内切球的半径为 ，球心为 .由等体积法可得： ，
即 ，解得： ，
所以正四面体的内切球的半径 ，
因为正方体的棱长为 ，
所以正方体的外接球的半径 ，因此 .
故选：C
26．（2025·高三·河北·开学考试）已知四棱锥 中，底面 是周长为 的矩形，点 为 与
的交点，且 底面 ，平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，则四棱锥 的
体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，点 为 与 的交点，且 底面 ，
所以 ，
所以 ，又因为底面 是周长为 的矩形，
设 ，则 ，所以矩形 的面积为 ，
又因为平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
取点 为 的中点，连接 ，可得 ， ，
所以 为平面 与平面 的夹角，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以四棱锥 的体积
，设 ，则 ．
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取最大值，即 取最大值，且最大值为 .
故选：A
27．（2025·高三·重庆沙坪坝·开学考试）四面体 中，
，点 在三角形 内部 (包含边界) 且 ，
则三棱锥 的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
过点 作 于点 ，过点 作 交 于点 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为点 在三角形 内部，所以点 为 上的点，
由图可知当点 在点 处时，点 到平面 的距离最大，又 ，所以点 在点 处时，三棱锥 的体积最大，
在 中， ， ，
则 ， ，
在 中， ，
则 ， ，
设点 到平面 的距离为 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
因为平面 平面 ，所以点 到平面 的距离为点 到 的距离，
在 和 中，
，
解得 ，
在 中 ，则 ，
，即 ，
解得 ，
所以 .
故选：D.28．（2025·云南·一模）已知正四棱锥的高为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：
设正四棱锥的高为 ，球的体积为 ，所以球的半径 ，
设正四棱锥的底面边长为 ，则 ，解得 ，
所以正四棱锥的体积 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
故当 时，正四棱锥的体积 取得最大值，最大值为 .
故选：C
29．（2025·福建泉州·一模）如图，已知 是圆锥 的轴截面， 分别为 的中点，过点
且与直线 垂直的平面截圆锥，截口曲线 是抛物线的一部分．若 在 上，则 的最大值为（ ）A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
过点 作 ，交底面圆于 两点，连接 ， ， ，
设 ，则 ，
所以当 最大时， 最大，
由圆锥的性质得 底面，
因为 底面，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 分别是 的中点，所以 ，则 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
则平面 为截面，
因为 为 中点，所以 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以 ，
则当 最大时， 最大，
如图为截面的平面图，以 为原点， 为 轴，过点 垂直 向上的方向为 轴正方向建系，
， ， ，则抛物线方程为 ，
设 ， ，则 ，
所以 ，
则此时 ， .
故选：C.
30．（2025·湖北鄂州·一模）在三棱锥 中， ， ， ， ，则三棱锥
的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，将三棱锥 放于平行六面体 中，
则 ，又 ， ，
则 ， .又四边形 ，四边形 为平行四边形，
则四边形 ，四边形 为菱形.
则 .
注意到 ，
又 ，则 ，设PH与底面HBGC夹角为 ，
则
，当且仅当 时取等号，则 .
故选：D
31．（2025·高三·安徽亳州·期末）已知四面体 的棱 ， 分别是同一个圆柱上、下底面的直径，
若圆柱的体积为 ，则四面体 体积的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】设圆柱 的底面圆半径为 ，圆柱的高为 ，点 到平面 的距离为 ，
因 是 的中点，故 到平面 的距离也为 ，
由圆柱 的体积为 ，可得 ，
故
.
当且仅当 时取最大值4.
故选：B.32．（2025·高三·吉林通化·期末）已知三棱锥 的外接球半径为 ，且 外接圆的面积为 ，
若三棱锥 体积的最大值为 ，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：
设 的外接圆半径为 ，由 .
下面简单说明圆内接三角形为等边三角形时，面积最大.
当边 确定时，要使三角形面积最大，需要点 到 边距离最大，此时 ；
同理，当 确定时，要使三角形面积最大，须有 .
所以当 为等边三角形时， 的面积最大，此时 .
所以 的最大面积为： .
当三棱锥 的高 时，三棱锥的体积最大，此时 .由 .
所以三棱锥外接球的体积为： .
故选：D
33．（2025·高三·吉林长春·期末）三棱锥 中， ， 为 中点，且 ，
， 和 均为面积为 的锐角三角形，则当三棱锥 的体积取得最大值时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意， ， ，
平面 ， 平面 ，
过 作 ，垂足为 ，由 平面 ，
可得 ，由 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 为棱锥的高.
记 ， ，则 ， ．根据三角形面积得 ，
要使三棱锥 的体积最大，则 最大．
，
．
，其中 ，
令 ，记 ， ，
令 ，或 （舍），
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 有最大值，即 有最大值，此时三棱锥体积最大，
所以此时 ，
故选：A．
34．（2025·高三·河南·阶段练习）已知在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， ，则三棱锥 的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，即 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，在 中 ， ，由余弦定理 ，
即 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号；
所以 ，即 的面积最大值为 ；
所以 ，即三棱锥 的体积的最大值为 ；
故选：D
二、多选题
35．（2025·高三·安徽阜阳·期末）如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，
容器的底面半径 ， 为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点 倾斜 后，当
且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容
器下底面距离的最大值与最小值分别为 ， ；当 时，水的最大深度为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2
B．若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为
C．若容器的高为4， ，则
D．若容器的高为4， ，则
【答案】BD
【解析】对于A，当容器倾斜时，水面形成一个椭圆．椭圆的短轴长等于圆柱底面的直径，即 ．因此，该椭圆的短轴长为4，而不是 ．故A是错误的．
对于B，当容器倾斜时，短半轴长 ，长半轴长 ，
所以 ，故B正确；
对于C， 当 时，水的体积 ，
当 时，水的体积保持不变，此时水的体积可以看作是一个底面为弓形的柱体，
设容器高为 ，根据水的体积不变可得：
，
(该式是根据水的体积的两种表示方法列出的，左边是竖直放置时水的体积，右边是倾斜放置时水的体积，
由一个矩形和一个半圆柱组成)，
若容器的高为4， ， ，
代入上式可得： ，
设 ，则 ，此方程无解，故C错误.
对于D，若容器的高为4， ， ，
代入上式可得： ，
设 ，则 ，解方程可得： ，
所以 ，故D正确；
故选：BD.36．（2025·高三·贵州黔东南·期末）在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，动点
在正方形 内（包括边界），若 平面 ，则（ ）
A．点 的轨迹长度为 B． 的最小值为
C．存在点 ，使得 D． 与平面 所成角的正切值的最大值为
【答案】AD
【解析】在棱长为2的正方体 中，取 的中点 ，
连接 ， ，点 平面 ，
， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
，则四边形 是平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，则 平面 ，而 ，
平面 ，因此平面 平面 ，而 平面 ，
则 平面 ，又点 在正方形 内（包括边界），于是点 ，
即点 的轨迹为线段 ，其长度为 ，A正确；
点 到 的距离为 ，则点 到 的距离为 ， 即的最小值为 ，B错误；
， 平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
平面 ，于是 平面 ，若 ，则 平面 ，
点 ，而线段 与 无公共点，因此 与 不垂直，C错误；
平面 ， 与平面 所成的角 ， ，又 ，因此 ，D正确.
故选：AD
37．（2025·高三·广东惠州·阶段练习）如图，在边长为4的正方体 中， 分别是棱
A B C D
的中点， 是底面
1 1 1 1
内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在 满足
B．若 平面 ，则点 的轨迹长度为
C．若 ，则点 到平面 距离最小值为
D．若 是棱 的中点，则三棱锥 的外接球的表面积是
【答案】BCD
【解析】对A：如图：因为 ，且 ， ，所以不存在 满足 ，故A错误；
对B：如图：
取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ， ，
易证平面 平面 .
因为 平面 ，所以 点轨迹为线段 ，且 .故B正确.
对C：如图：以 为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为 ，所以 .
因为 ， ， ，设 （ ）.
则 ， ， .设平面 的法向量为 ，
由 ，令 ，可得 .
所以点 到平面 的距离为： .
因为 ，所以 ，所以 .故C正确.
对D：如图：
连接 ，取其中点 ，连接 .
因为 是棱 的中点，，则 .
所以 为 外接圆圆心.
过 作平面 的垂线，则三棱锥 外接球的球心 一定在该垂线上.
连接 ，设 ，则 ，
连接 ， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为： ，故D正确.故选：BCD
38．（2025·高三·湖南·开学考试）在三棱锥 中， ， ，直线 与平面
所成的角为 ，二面角 为 ，二面角 和 均为锐角，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B． 与 一定不相等
C．三棱锥 体积的最小值为
D．当三棱锥 的体积取得最小值时， 与平面 所成角的正切值为
【答案】BCD
【解析】
设点 在平面 内的投影为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，即 ，
， ， ，
平面 ， ，
为二面角 的平面角，即 ，
， ，
则点 到直线 的距离与到点 的距离相等，
的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线.
又 二面角 和 均为锐角，
在 内部，所以 与 一定不相等，
当 三点共线时， ，所以A错误，B正确；过 作 垂直于 ，垂足为 ，
， ，
，
当 位于 的中点时， 最小，此时 最小，三棱锥 的体积取得最小值，最小值为
，C正确；
当三棱锥 的体积取得最小值时，
为 与平面 所成的角， ，D正确.
故选：BCD.
39．（2025·高二·河南洛阳·期末）如图所示，有一个棱长为2的正四面体 容器，D是 的中点，
E是 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与 所成的角为
B． 的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
【答案】ABD
【解析】A选项，连接 ，由于 为 的中点，所以 ， ，
又 ， 平面 ，
所以直线 平面 ，又 平面 ，
所以 ，故A正确；
B选项，把 沿着 展开与平面 同一个平面内，连接 交 于点 ，
则 的最小值即为 的长，
由于 ， ，
，
，
所以 ，
故 ， 的周长最小值为 ，B正确；
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
设球心为 ，取 的中点 ，连接 ，过点 作 垂直于 于点 ，
则 为 的中心，点 在 上，过点 作 于点 ，
因为 ，所以 ，同理 ，则 ，
故 ，
设 ，故 ，
因为 ∽ ，所以 ，即 ，
解得 ，C错误；
D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平
面相切，
设小球半径为 ，四个小球球心连线是棱长为 的正四面体 ，
由C选项可知，其高为 ，
由C选项可知， 是正四面体 的高， 过点 且与平面 交于 ，作平面 平面
且与小球相切， 与平面 交于 ，
则 ， ，
由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的 得，如图正四面体 中， ， ，
正四面体 高为 ，解得 ，D正确.故选：ABD
40．（2025·湖北·模拟预测）在一次数学兴趣小组的实践活动中，李怡同学将一张边长为 的菱形纸片
沿对角线 折叠，形成一个二面角模型 ，如图所示.下列叙述中正确的有
（ ）
A．四面体 体积的最大值为 ；
B．在折叠的过程中，存在某个时刻使 ；
C．当 时，动点 在平面 内且 ，则动点 所形成区域的面积为 ；
D．在C的条件下，若直线 与直线 所成的角为 ，则 的最大值为 .
【答案】BCD
【解析】
连接 交 于 ，则 ，连接 ，则 ，
，根据勾股定理可得对于A，当 平面 时，四面体 的体积最大，
此时 ，故A错；
对于B，因为 ，且 ，所以 平面 ,则平面 平面 ，
又因为平面 平面 ，过 作 于 ，则 平面 ，所以 平面
，则 在平面 的投影就是 ，
当 时， ，故B正确；
对于C，当 时， 为正三角形，又因为 平面 ，
即 平面 ，
所以平面 平面 且平面 平面 ，
过 作 于点 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，且 ，
在 中，根据勾股定理， ，
即点 在以 为圆心，半径为 的圆面上，其面积为 ，故C正确；
对于D，由前面分析知： 与平面 所成角最小时，其余弦值 ，
所以 与 所成角 最小时，即 在平面 的射影与 平行时， 为最大值，故D正确.
故选：BCD.
41．（2025·福建莆田·二模）在三棱锥 中， 平面 分别
为 中点，下列结论正确的是（ ）
A． 为直角三角形 B． 平面
C．三棱锥 的体积最大值为 D．三棱锥 外接球的半径为定值
【答案】ACD
【解析】对A，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 是平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 为直角三角形，正确；
对B，连接 相交于点 ，连接 ，
若 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 为 的中线，所以 为 的重心， ，
因为 为 的中点，所以 ，与 矛盾，故B错误；
对C，因为 ，得 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，正确；
对D，将三棱锥补形成长方体，易知 即为外接球的直径，
易得 ，外接球半径 ，正确.
故选：ACD
42．（2025·高三·海南海口·期末）在棱长为2正方体 中， 、 分别为棱 、 的中
点，过直线 的平面截该正方体外接球所得的截面面积为 .下列选项正确的是（ ）
A． 与 所成的角为
B． 的最大值为
C．当 取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形
D． 的最小值为
【答案】BCD【解析】对于A，连接 ，如下图所示：
由于 、 分别为棱 、 的中点，所以 ，
所以 与 所成的角与 与 所成的角相等，即为 （或其补角）；
易知 为正三角形，所以 ，
因此 与 所成的角为 ，可得A错误；
对于B，设正方体外接球的半径为 ，则 ，
解得 ,
因此当截面过球心时，截面圆半径最大，为球的半径 ,
此时 的最大值为 ，即B正确；
对于C，由选项B可知当 取最大值时，该截面与正方体表面的交线是一个正六边形，如下图所示：
图中六边形 均为所在棱的中点，因此C正确；
对于D，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，
设正方体外接球的球心为 ，如下图：显然 为边长为 的正三角形，所以 到 的距离为 ，
即可知当球心到截面的距离为 时，截面半径为 ，
此时 的最小值为 ，即D正确.
故选：BCD
43．（2025·高二·浙江·阶段练习）如图，把正方形纸片 沿着 （ 是线段 的中点）翻折成平面
， 是原正方形的中心，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）
A．
B． 与 所成角的最大值是
C．若 是 的中点，则 与平面 所成角的正弦值的最大值是
D．过 做 的垂线与 交于点 ，
【答案】ABD
【解析】对于A：过点 作 的垂线，交 于点 ，连接 ，
则 ，又 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，所以 ．故 正确；对于B：连接 ，过点 作 的平行线交 于点 ，则 ，
直线BD与直线 的夹角，就是直线 与 的夹角，
设 ，
当 在平面ABCD时， ，
因此直线BD与直线 的夹角最大值是 ．故 正确；
对于C选项，如图所示， 的轨迹是圆G，当 与圆G相切时，
则 与平面ABCD所成角的正弦值的最大，
设正方形的边长是2， ，故C错误．
对于D： 与 都是等腰三角形， ，
因此 ．故 正确.
故选： .
44．（2025·高三·浙江宁波·阶段练习）在棱长为2的正方体 中， 为面 内以
为直径的半圆上的动点，则（ ）
A． 的最大值为
B． 与平面 所成角的最大值的正弦值为C． 的最小值为
D．二面角 的最小值的正切值为
【答案】ACD
【解析】如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，
对于A， ，
则 ，
所以 的最大值为 ，故A正确；
对于B，因为 轴垂直平面 ，
则平面 的法向量可取 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 与平面 所成角的最大值的正弦值为 ，故B错误；
对于C， ，
则 ，所以 的最小值为 ，故C正确；
对于D，因为 轴垂直平面 ，
则平面 的法向量可取 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，
令 ，则 ，
所以 ，
设二面角 为 ，由图可知 为锐角，
则
，
所以 ，
则
，
当 ，即 时， 取得最小值 ，所以二面角 的最小值的正切值为 ，故D正确.
故选：ACD.
45．（2025·高三·山西吕梁·期末）如图，在正方体 中， 为四边形 内（含边界）
的一个动点，且 ，则（ ）
A． 与 一定是异面直线
B．三棱锥 的体积为定值
C． 平面
D．异面直线 与 所成角的范围为
【答案】BC
【解析】对于A选项，连接 、 、 、 ，因为四边形 为正方形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，同理可证 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 为四边形 内（含边界）的一个动点，
故当 时， 平面 ，则 ，故点 的轨迹为线段 ，
当点 与点 重合时，因为 且 ，则四边形 为平行四边形，
此时， ，A错；
对于B选项，连接 、 、 、 ，
在正方体 中，平面 平面 ，
因为 平面 ，所以，点 到平面 的距离为定值，
又因为 的面积为定值，故三棱锥 的体积为定值，
即三棱锥 的体积为定值，B对；
对于C选项，连接 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ，因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
同理可证 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，所以， 平面 ，C对；
对于D选项，因为 ，所以，异面直线 与 所成角等于直线 与 所成的角，
易知 为等边三角形，如下图所示：
当点 为 的中点时， ，此时，直线 与 所成的角取最大值 ，
当点 与点 或点 重合时，直线 与 所成的角取最小值 ，
因此，异面直线 与 所成角的范围为 ，D错.
故选：BC.
三、填空题
46．（2025·高二·河北邯郸·期末）如图，正方体 的棱长为2，点M为侧面 内的动
点， ，点N在对角线 上且 ，则MN的最小值为 ．【答案】
【解析】点M在侧面 内的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆弧 ．
以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
当 时， 最小，最小值为 ．
故答案为：
47．（2025·湖北武汉·二模）四棱锥 中， ， ， ， ，， 内部点 满足四棱锥 与三棱锥 的体积相等，则 长的最小值为
．
【答案】
【解析】在四棱锥 中，延长 交 于点 ，令 ，
由 ， ，得 ，又 ，
则 ，
由 ，得 ，则 ， ，
，
，设点 到底面距离为 ，
依题意， ， 由 ，
得 ，则 ，
而 ，则 ，
，令 ，
当 ，即 时， ，所以 长的最小值为 .故答案为：
48．（2025·辽宁·二模）我们规定：在四面体 中，取其异面的两条棱的中点连线称为 的
一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图.
如右图，在空间直角坐标系中， 平面内有椭圆 ， 为其下焦点，经过 的直线
与 交于 两点， 为 平面下方一点，若 为垂棱四面体，则其外接球表面积 是 的函数
.
（1） 的定义域是 ；（2） 的最小值是 .
【答案】
【解析】如图，连接 ，由题知， 平行且等于 ， 平行且等于 ，
所以 ， ，故 为平行四边形，
所以对角线 ，则 是 的中点，
同理 也是 的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点，
由三条内棱两两垂直，易知 为菱形，则 ，
显然 ，故 ，同理 ，
所以“垂棱四面体” 可补为如下图示的长方体，
综上，题设右图可将 补成长方体，设长宽高分别为 ，
则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，为 ，
所以 ，
显然 ， ， ，则 ，
设 ，因直线 过椭圆焦点 ，所以 ，
联立 ，得 ，则 ，所以 ，则 ，又 ， ， ，
所以 ，
则 ，即 ，
由 为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知 中 为锐角，
所以只需角 为锐角，即 ，则 ，可得 ，
由 ，
所以 最大时， 最小，
令 ，则 ，
由 在 上单调递增，故 ，
所以 .
故答案为： ， .
49．（2025·高三·全国·专题练习）直三棱柱 中， ，侧棱长为2，该三棱柱的体
积为 ，则三棱柱 外接球的表面积的最小值为 .
【答案】
【解析】如图：由三棱柱的体积为 ，可得 ，所以 ，所以
，
由余弦定理可得：
，
当且仅当 时取等号，
设底面 的外接圆半径为 ，
由正弦定理得 ，所以 .
所以外接球半径为 ，所以求得表面积为 .
故答案为：
50．（2025·高三·浙江·开学考试）四棱锥 满足 底面 ，且 ， ，
，动点 在以 为球心1为半径的球与 （包括边界）的交线上，动点 在
直线 上，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】以 为球心1为半径的球与 （包括边界）的交线上事实上就是 内以 为圆心，1为
半径的一截圆弧，如图所示：由于 距离为定值1，则当 点固定时，由余弦定理可知，EF的距离只取决于 ， 越小，
距离越小.
过 作面 的垂线，垂足为 ，
则 ，
因为 中， ， ，所以 ；
在 中， ， ，所以 .
由 .
做 ，垂足为 ，则
所以 点与 点重合，此时连接 交圆弧为 ，此时 为线面角，取到最小，
此时 ，
过 作 垂线， 取到最小值．
故答案为：
51．（2025·高三·北京·开学考试）如图，已知正四面体 的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱 ，
于E，F两点，且四面体 的体积为四面体 体积的 ，则 ， 的最小值为
.【答案】 / /
【解析】因为 ，则 ，
记 ，
因为 ，即 。
又因为 ，
当且仅当 ，即 时，取等号.
所以a的最小值为 .
故答案为： ； .
52．（2025·山西晋中·模拟预测）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图， ，
分别是椭圆柱 的上、下底面椭圆的长轴， ，且底面椭圆的离心率为 ， 分别为
下底面椭圆的左、右焦点， 为母线 上的动点， 为线段 上的动点， 为过点 的下底面椭圆
的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥 体积的最大值为 .【答案】
【解析】连接 ， ，由 ，
要使三棱锥 体积最大，
只需 的面积和 到平面 距离之和都最大，
，令 ，且 ，则 ，
，
当 时，有最大值 ，
在下底面内以 为原点，构建如图所示的直角坐标系，
由题设，长轴长 ，
因为底面椭圆的离心率为 ，所以焦距为 ，所以短轴长 ，
则椭圆方程为 ， ，且 ，设 ，
联立椭圆得 ， ，
， ，
令 ， ，
由对勾函数性质可知 在 上递增， ，综上，三棱锥 体积的最大值为 .
故答案为： .
