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参照秘密级管理★启用前 试卷类型A
二〇二〇年全市初中学生学业水平考试
数学试题
亲爱的同学，伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前，一定要
仔细阅读以下说明：
1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共6 页．选择题36 分，非选择题84 分，共120 分．
考试时间120 分钟．
2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置．
3 试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．
4．考试结束，答题卡和试题一并交回．
5．不允许使用计算器．
愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．
选择题（共36 分）
一、选择题（本题共12 个小题，每小题3 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1.在实数
，
，0，
中，最小的实数是（ ）．
A.
B.
C. 0
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】∵
，
∴在实数
，
，0，
中，最小的实数是
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负
实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.如图所示的几何体的俯视图是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据俯视图的定义，找到从上面所看到的图形即可．
【详解】解：从上往下看，得到两个矩形组成的一个大矩形，且左边的矩形较大，全部为实线．
故选：C
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．注意看得到的线为实线，看不
到的线为虚线．
3.如图，在
中，
，
，点
是
边上任意一点，过点
作
交
于
点
，则
的度数是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，进而可根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数，然后根据平行线
的性质可得∠DEC=∠A，进一步即可求出结果．
【详解】解：∵
，
，
∴∠B=∠C=65°，
∴∠A=180°－∠B－∠C=50°，
∵DF∥AB，
∴∠DEC=∠A=50°，
∴∠FEC=130°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟
练掌握上述基础知识是解题的关键．
4.下列计算正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一分析即可．
【详解】A．
，该项不符合题意；
B．
，该项不符合题意；
C．
，该项符合题意；
D．
，该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式等内容，解题的关键是掌
握运算法则．
5.为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的30 名参赛同学的
得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ）
成绩/分
84
88
92
96
100
人数/人
2
4
9
10
5
A. 92 分，96 分
B. 94 分，96 分
C. 96 分，96 分
D. 96 分，100 分
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中位数的定义和众数的定义分别求解即可．
【详解】解：由统计表得共有30 个数据，第15、16 个数据分别是92,96，
∴中位数是
；
由统计表得数据96 出现的次数最多，
∴众数
96．
故选：B
【点睛】本题考查了求一组数据的中位数和众数．中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位
于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数．
6.计算
的结果正确的是（ ）．
A. 1
B.
C. 5
D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7.如图，在
的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，
的顶点都在这些小正方形的顶点
上，那么
的值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
过点A 作
于点D，在
中，利用勾股定理求得线段AC 的长，再按照正弦函数的定义计
算即可．
【详解】解：如图，过点A 作
于点D，则
，
∴
，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
8.用配方法解一元二次方程
，配方正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【详解】解：
移项得
，
二次项系数化1 的
，
配方得
即
故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）
把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
9.如图，
是
的直径，弦
，垂足为点
．连接
，
．如果
，
，
那么图中阴影部分的面积是（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据
是
的直径，弦
，由垂径定理得
，再根据
证得
，即可证明
，即可得出
．
【详解】解：
是
的直径，弦
，
，
．
又
在
和
中，
，
故选：B
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，
解此题的关键是证出
，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC 的面积，题目比较典型，难
度适中．
10.如图，有一块半径为
，圆心角为
的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），
那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面周长是l，则l=
m，
则圆锥的底面半径是：
m，
则圆锥的高是：
m．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，
理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
11.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块
地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第
个图形用图表示，那么图
中的白色小正方形地砖的
㊿
块数是（ ）．
…
A. 150
B. 200
C. 355
D. 505
【答案】C
【解析】
【分析】
由图形可知图①中白色小正方形地砖有12 块，图②中白色小正方形地砖有12+7 块，图③中白色小正方形
地砖有12+7×2 块，…，可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5，再令n=50，代入即可．
【详解】解：由图形可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5（块）
当n=50 时，原式=7×50+5=355（块）
故选：C
【点睛】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相
比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
12.如图，在
中，
，
，将
绕点
旋转得到
，使点
的
对应点
落在
上，在
上取点
，使
，那么点
到
的距离等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得
的长，进而可得
的长，过点D 作DM⊥BC 于
点M，过点
作
于点E，
于点F，如图，则四边形
是矩形，解Rt△
可得
的长，即为FM 的长，根据三角形的内角和易得
，然后解Rt△
可求
出DF 的长，进一步即可求出结果．
【详解】解：在
中，∵
，
，
∴AC=2AB=4，
∵将
绕点
旋转得到
，使点
的对应点
落在
上，
∴
，
∴
，
过点D 作DM⊥BC 于点M，过点
作
于点E，
于点F，交AC 于点N，如图，则四
边形
是矩形，
∴
，
在Rt△
中，
，∴FM=1，
∵
，
∴
，
在Rt△
中，
，
∴
，
即点
到
的距离等于
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌
握解直角三角形的知识是解题的关键．
非选择题（共84 分）
二、填空题（本题共5 个小题，每小题3 分，共15 分．只要求填写最后结果）
13.因式分解：
________．
【答案】
【解析】
【分析】
先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式
即可．
【详解】解：原式
【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
14.如图，在
中，四边形
为菱形，点
在
上，则
的度数是________．
【答案】
【解析】
分析】
连接OB，证明△OAB，△OBC 都是等边三角形，得到∠AOC=120°，进而求出
．
【详解】解：连接OB，
∵四边形
为菱形，OA=OB，
∴OA=OB=OC=AB=BC,
∴△OAB，△OBC 都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∵
，
∴
．
故答案为：60°
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的半径都相等，圆周角定理，等边三角形性质，综合性较强．解题关
键是连接OB，得到△OAB，△OBC 都是等边三角形．
15.计算：
________．
【答案】
【解析】
【分析】
分式的混合运算，根据分式的加减乘除混合运算法则可以解答本题，括号里先通分运算，再进行括号外的
除法运算，即可解答本题.
【详解】解：
=
=
=
=−a
故答案是：-a
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，能正确运用运算法则是解题的关键.
16.某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地
抽取一本，抽到同一类书籍的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】
先画出树状图求出所有等可能的结果数，再找出抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍分别用A、B、C 表示，则所有可能出现的结果如
下图所示：
由上图可知：共有9 种等可能的结果数，其中抽到同一类书籍的结果数有3 种，
∴抽到同一类书籍的概率=
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了求两次事件的概率，属于基础题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键．
17.如图，在直角坐标系中，点
，
是第一象限角平分线上
两点，点
的纵坐标为1，且
，在
轴上取一点
，连接
，
，
，
，使得四边形
的周长最小，这个最
小周长的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出AC=BC=2，作点B 关于y 轴对称的点E，连接AE，交y 轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD 值
最小，即此时四边形
的周长最小；作FG∥y 轴，AG∥x 轴，交于点G，则GF⊥AG，根据勾股定
理求出AE 即可．
【详解】解：∵
，点
的纵坐标为1，
∴AC∥x 轴，
∵点
，
是第一象限角平分线上的两点，
∴∠BAC=45°，
∵
，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠C=90°，
∴BC∥y 轴，
∴AC=BC=2，
作点B 关于y 轴对称的点E，连接AE，交y 轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD 值最小，
∴此时四边形
的周长最小，
作FG∥y 轴，AG∥x 轴，交于点G，则GF⊥AG，
∴EG=2，GA=4，
在Rt△AGE 中，
，
∴ 四边形
的周长最小值为2+2+
=4+
．
【点睛】本题考查了四条线段和最短问题．由于AC=BC=2,因此本题实质就是求AD+BD 最小值，从而转
化为“将军饮马”问题，这是解题关键．
三、解答题（本题共8 个小题，共69 分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18.解不等式组
，并写出它的所有整数解．
【答案】该不等式组的解集是
，它的所有整数解为0，1，2．
【解析】
【分析】
分别求出两个不等式，确定不等式组的解集，写出整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，得
．
解不等式②，得
．
在同一数轴上表示出不等式①，②的解集：
所以该不等式组的解集是
．
它
所有整数解为0，1，2．
【点睛】本题考查了解不等式组，确定不等式组的解集可以借助数轴分别表示各不等式的解集，确定公共
部分即可．
19.为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：
“剪纸”、
“沙画”、
“葫芦雕刻”、
“泥塑”、
“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分
同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为________；统计图中的
________，
________；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校共有2500 名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
【答案】（1）120，12，36；（2）详见解析；（3）625
【解析】
【分析】
（1）由A 所占的百分比及参加A 类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B 和D 所占的百分比即可
求得a 和b 的值，
（2）先求得E 类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可；
（3）先求出抽样调查中喜爱“葫芦雕刻”的学生所占的百分比，即可求得全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
【详解】解：（1）
，
，
，
故答案为：120，12，36；
（2）
类别的人数为：
（人）
补全条形统计图如图所示：
（3）
类别所占的百分比为：
，
（人）
答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625 人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以看出每个量所占的
百分比．
20.今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的
，
两种树苗，每捆
种树苗比每捆
种树苗多
10 棵，每捆
种树苗和每捆
种树苗的价格分别是630 元和600 元，而每棵
种树苗和每棵
种树苗的价
格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9 倍和1.2 倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共5500 棵，
种树苗至多购进3500 棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，
应购进
种树苗和
种树苗各多少棵？并求出最低费用．
【答案】（1）这一批树苗平均每棵的价格是20 元；（2）购进
种树苗3500 棵，
种树苗2000 棵，能使
得购进这批树苗的费用最低为111000 元．
【解析】
【分析】
（1）设这一批树苗平均每棵的价格是
元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆
种树苗比每捆
种树苗多10 棵”列方程即可求解；
（2）设购进
种树苗棵，这批树苗的费用为
，得到w 与t 的关系式，根据题意得到t 的取值范围，根
据函数增减性即可求解．
【详解】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是
元，
根据题意，得
，
解之，得
．
经检验知，
是原分式方程的根，并符合题意．
答：这一批树苗平均每棵的价格是20 元．
（2）由（1）可知
种树苗每棵价格为
元，种树苗每棵价格为
元，
设购进
种树苗棵，这批树苗的费用为
，则
．
∵
是的一次函数，
，
随着的增大而减小，
，
∴当
棵时，
最小．此时，
种树苗有
棵，
．
答：购进
种树苗3500 棵，
种树苗2000 棵，能使得购进这批树苗
费用最低为111000 元．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关
“数量关系”，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键．
21.如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F，且AF＝
AD，连接BF，求证：四边形ABFC 是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理与性质可
得
，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABFC 是平行四边形，又根据等量代换可得
，最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形ABFC 是矩形．
【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形
∴
∴
∵E 为BC 的中点
∴
∴
∴
∵
∴四边形ABFC 是平行四边形
∴平行四边形ABFC 是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、矩形的判定等知识点，熟
练运用各判定与性质是解题关键．
22.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼
的高度进行测量．先测得
居民楼
与
之间的距离
为
，后站在
点处测得居民楼
的顶端
的仰角为
，居民
楼
的顶端
的仰角为
，已知居民楼
的高度为
，小莹的观测点
距地面
．求居民
楼
的高度（精确到
）．（参考数据：
，
，
）
【答案】居民楼
的高度约为
．
【解析】
【分析】
过点
作
交
于点
，交
于点
，通过解
得到线段NF 的长度，进而得到线
段NE 的长度，再解
得到BE 的长度，即可解决．
【详解】解：过点
作
交
于点
，交
于点
．
则
，
，
．
∵
，
．
则
．
在
中，∵
，
∴
．
∴
．
在
中，∵
，
∴
．
∴
．
答：居民楼
的高度约为
．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三
角函数解直角三角形．
23.如图，已知反比例函数
的图象与直线
相交于点
，
．
（1）求出直线
的表达式；
（2）在
轴上有一点
使得
的面积为18，求出点
的坐标．
【答案】（1）
；（2）当点
在原点右侧时，
，当点
在原点左侧时，
．
【解析】
【分析】
（1）通过点A 的坐标确定反比例函数的解析式，再求得B 的坐标，利用待定系数法将A，B 的坐标代入，
即可得到一次函数的解析式；
（2）直线
与
轴的交点为
，过点
，
作
轴的垂线
，
，垂足分别为
，
，得到
，即
，分情况讨论即可解决．
【详解】解：（1）∵
在
的图象上，
∴
，
，
又点
在
的图象上，
，即
．
将点
，
的坐标代入
，得
，
解得
．
∴直线的表达式为
．
（2）设直线
与
轴的交点为
，
当
时，解得
．即
．
分别过点
，
作
轴的垂线
，
，垂足分别为
，
．
．
又
，即
，∴
．
当点
在原点右侧时，
，
当点
在原点左侧时，
．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握数形结合的思想.
24.如图，在
中，
，以
的边
为直径作
，交
于点
，过点
作
，垂足为点
．
（1）试证明
是
的切线；
（2）若
的半径为5，
，求此时
的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接
，
，证出
是等腰三角形，结合图形得出
是
的中位线，因为
，
，证出
即可得出
是
的切线；
（2）由（1）可得，
，
，在
中，由勾股定理求得BD 的长度，
证出
，根据相似三角形对应边成比例可求得DE 的长．
【详解】（1）证明：连接
，
，
∵
为
的直径，
∴
，
又∵
，
是等腰三角形，
∴
又是
边上的中线，
∴
是
的中位线，
∴
，
又
，
∴
，
∴
是
的切线．
（2）由（1）知，
是
边上的中线，
得
．
∵
的半径为5，
∴
．
在
中，
∵
，
∴
．
在
和
中，∵
，
，
∴
，
∴
，
即
，解得
．
【点睛】本题考查了圆的切线判定定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线判定以及相似三
角形的判定是解题的关键．
25.如图，二次函数
的图象与
轴交于点
，
，与
轴交于点
，抛物线的
顶点为
，其对称轴与线段
交于点
，垂直于
轴的动直线分别交抛物线和线段
于点
和点
，
动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿
轴正方向移动到
点．
（1）求出二次函数
和
所在直线的表达式；
（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形
为平行四边形的点
的坐标；
（3）连接
，
，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点
，使得以点
，
，
为顶点
的三角形与
相似，如果存在，求出点
的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）存在，点
的坐标是
．
【解析】
【分析】
（1）将
，
代入
，解出a，b 得值即可；求出C 点坐标，将C，B 代入线段
所在直线的表达式
，求解即可；
（2）根据题意只要
，四边形
即为平行四边形，先求出点D 坐标，然后求出DE，设点
的横坐标为，则
，
，得出
，根据
，得
，求解即可；
（3）由（2）知，
，根据
与
有共同的顶点
，且
在
的内
部，只有当
时，
，利用勾股定理，可得
，
，根据
，即
，解出t
值，即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意，将
，
代入
，
得
，
解得
，
∴二次函数的表达式
，
当
时，
，得点
，又点
，
设线段
所在直线的表达式
，
∴
，解得
，
∴
所在直线的表达式
；
（2）∵
轴，
轴，
∴
，
只要
，此时四边形
即为平行四边形，
由二次函数
，
得点
，
将
代入
，即
，得点
，
∴
，
设点
的横坐标为，则
，
，
由
，得
，
解之，得
（不合题意舍去），
，
当
时，
，
∴
；
（3）由（2）知，
，
∴
，
又
与
有共同的顶点
，且
在
的内部，
∴
，
∴只有当
时，
，
由
，
，
，
利用勾股定理，可得
，
，
由（2）以及勾股定理知，
，
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
∴点
的坐标是
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判
定和性质，勾股定理，灵活运用知识点是解题关键．
