文档文本内容
2020 年浙江省宁波市中考数学试题
一、选择题
1.﹣3 的相反数为（ ）
A. ﹣3
B. ﹣
C.
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．
【详解】解：﹣3 的相反数是3．
故选：D．
【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．
2.下列计算正确的是（ ）
A. a3•a2＝a6
B. （a3）
2＝a5
C. a6÷a3＝a3
D. a2+a3＝a5
【答案】C
【解析】
分析】
根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则逐一判断即可得．
【详解】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；
B、（a3）
2＝a6，故此选项错误；
C、a6÷a3＝a3，正确；
D、a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同
类项法则．
3.2019 年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000 吨，比上年增长3.3%，连续11 年蝉联世界首位．数
1120000000 用科学记数法表示为（ ）
A. 1.12×108
B. 1.12×109
C. 1.12×1010
D. 0.112×1010
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法
表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】1120000000＝1.12×109，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
4.如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据主视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B 符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．
5.一个不透明的袋子里装有4 个红球和2 个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红
球的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用红球的个数除以球的总个数解答即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝
．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键．
6.二次根式
中字母x 的取值范围是（ ）
A. x＞2
B. x≠2
C. x≥2
D. x≤2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0 列不等式求解即可．
【详解】由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E，使BE＝BC，连结DE，F 为DE 中
点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF 的长为（ ）
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD 的长度；结合题意知
线段BF 是△CDE 的中位线，则BF=
CD．
【详解】解：∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝
＝
＝10．
又∵CD 为中线，
∴CD＝
AB＝5．
∵F 为DE 中点，BE＝BC，即点B 是EC 的中点，
∴BF 是△CDE 的中位线，则BF＝
CD＝2.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知
线段CD 的长度和线段BF 是△CDE 的中位线．
8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，
不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再量木条，
木条剩余1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（ ）
A.
B.
C
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5 尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条
剩余1 尺”可知：
绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，
那么可列方程组为：
，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元
一次方程组．
9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴正半轴交于点C，它的对称
轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（ ）
A. abc＜0
B. 4ac﹣b2＞0
C. c﹣a＞0
D. 当x＝﹣n2﹣2（n 为实数）时，y≥c
【答案】D
【解析】
【分析】
由图象开口向上，可知a＞0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得
到abc＞0，故A 错误；根据一次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x 轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-
b2＜0，故B 错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1 时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故C 错误；当
x=-n2-2（n 为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）+b（-n2-2）=an2（n2+2）+c，于是得到
y=an2（n2+2）+c≥c，故D 正确．
【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0，
与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣
＜0，所以b＞0，
∴abc＞0，故A 错误；
∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x 轴交于A，B 两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故B 错误；
∵﹣
＝﹣1，
∴b＝2a，
∵当x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣2a+c＜0，
∴c﹣a＜0，故C 错误；
当x＝﹣n2﹣2（n 为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D 正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是
解题的关键．
10.△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边
形DECHF 的周长，则只需知道（ ）
A. △ABC 的周长
B. △AFH 的周长
C. 四边形FBGH 的周长
D. 四边形ADEC 的周长
【答案】A
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而
可根据AAS 证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形
DECHF 的周长＝AB+BC，从而可得结论．
【详解】解：∵△GFH 为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF 的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC 的周长即可．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边
三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题（每小题5 分，共30 分）
11.实数8 的立方根是_____．
【答案】2．
【解析】
【分析】
根据立方根的定义解答.
【详解】∵
，∴8 的立方根是2．故答案为2．
【点睛】本题考查立方根的定义，熟记定义是解题的关键.
．
12.分解因式：2a2
18=
﹣
________．
【答案】2（a+3）（a
3
﹣）
【解析】
【分析】
先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】2a2﹣18＝2（a2
9
﹣）＝2（a+3）（a
3
﹣）．
故答案为2（a+3）（a
3
﹣）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用
其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5 棵，每棵产量的平均数
（单位：千克）及
方差S2（单位：千克2）如表所示：
甲
乙
丙
45
45
42
S2
1.8
2 3
1.8
明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是__．
【答案】甲
【解析】
【分析】
先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．
【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，
又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，
即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，
则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．
14.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中
的长为__cm（结果保留π）．
【答案】18π
【解析】
【分析】
根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，
∴
的长＝
＝18π（cm），
故答案为：18π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
15.如图，⊙O 的半径OA＝2，B 是⊙O 上的动点（不与点A 重合），过点B 作⊙O 的切线BC，BC＝
OA，连结OC，AC．当△OAC 是直角三角形时，其斜边长为__．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据切线的性质和等腰直角三角形的判定方法证得△OBC 是等腰直角三角形，当 AOC＝90°，连接
OB，根据勾股定理可得斜边AC 的长，当 OAC＝90°，A 与B 重合，不符合题意．
【详解】解：连接OB，
∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵BC＝OA，
∴OB＝BC＝2，
∴△OBC 是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠ACO≤45°，
当∠AOC＝90°，△OAC 是直角三角形时，
∴OC＝
OB＝2
，
∴AC＝
＝
＝2
；
当 OAC＝90°，A 与B 重合，不符合题意，故排除此种情况；
∴其斜边长为2
，
故答案为：2
．
【点睛】本题考查切斜的性质、等腰直角三角形的判定及其性质、勾股定理，解题的关键是综合运用所学
的知识求出OC．
16.如图，经过原点O 的直线与反比例函数y＝
（a＞0）的图象交于A，D 两点（点A 在第一象限），点
B，C，E 在反比例函数y＝
（b＜0）的图象上，AB∥y 轴，AE∥CD∥x 轴，五边形ABCDE 的面积为
56，四边形ABCD 的面积为32，则a﹣b 的值为__，
的值为__．
【答案】 (1). 24 (2). ﹣
【解析】
【分析】
如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB 交DC 的延长线于T，设AB 交x 轴于K．求出证明四边形
ACDE 是平行四边形，推出S△ADE=S△ADC=S 五边形ABCDE-S 四边形ABCD=56-32=24，推出S△AOE=S△DEO=12，可得
a-
b=12，推出a-b=24．再证明BC∥AD，证明AD=3BC，推出AT=3BT，再证明AK=3BK 即可解决问题．
【详解】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB 交DC 的延长线于T，设AB 交x 轴于K．
由题意A，D 关于原点对称，
∴A，D 的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C 的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C 在反比例函数y＝
的图象上，
∴E，C 关于原点对称，
∴E，O，C 共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE 是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S 五边形ABCDE﹣S 四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，
∴
a﹣
b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴
＝
，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，
∴AK：BK＝3：1，
∴
＝
＝
，
∴
＝﹣
．
故答案为24，﹣
．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例
定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题有8 小题，共80 分）
17.（1）计算：（a+1）
2+a（2﹣a）．
（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．
【答案】（1）4a+1；（2）x＞﹣3
【解析】
【分析】
（1）先根据完全平方公式计算前一项，再计算单项式乘以多项式，最后相加减即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1 即可．
【详解】解：（1）
＝
＝
；
（2）3x﹣5＜2（2+3x）
去括号得：3x﹣5＜4+6x，
移项得：3x﹣6x＜4+5，
合并同类项：﹣3x＜9，
系数化1 得：x＞﹣3．
【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和解一元
一次不等式的步骤．
18.图1，图2 都是由边长为1 的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3 个小等边三角形已涂上阴影．
请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4 个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得4 个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2 中，均只
需画出符合条件的一种情形）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）．
【详解】解：（1）轴对称图形如图1 所示．
（2）中心对称图形如图2 所示．
【点睛】本题考查利用中心对称设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
19.图1 是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条
可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1 的方式立在
地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2 是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝
50cm，∠ABC＝47°．
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?（参考数据：
sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
【答案】（1）68cm；（2）当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位
【解析】
【分析】
（1）过点A 作AH⊥BC 于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）根据锐角三角函数的定义求出AH 的长度即可判断．
【详解】解：（1）过点A 作AH BC
⊥
于点H，
AB
∵
＝AC，
BH
∴
＝HC，
在Rt
ABH
△
中，∠B＝47°，AB＝50，
BH
∴
＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，
BC
∴
＝2BH＝68cm．
（2）在Rt
ABH
△
中，
AH
∴
＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，
36.5
∴
＞30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．
20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3 图象的顶点是A，与x 轴交于B，C 两点，与y 轴
交于点D．点B 的坐标是（1，0）．
（1）求A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0 时x 的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D 恰好落在点A 的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0 时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）
2+5
【解析】
【分析】
（1）把点B 坐标代入抛物线的解析式即可求出a 的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A 的坐
标，根据二次函数的对称性即可求出点C 的坐标，二次函数的图象在x 轴上方的部分对应的x 的范围即为
当y＞0 时x 的取值范围；
（2）先由点D 和点A 的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解
答即可．
【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）
2+1，
∴A（2，1），
∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C 两点关于直线x＝2 对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0 时，1＜x＜3；
（2）∵D（0，﹣3），A（2，1），
∴点D 平移到点A，抛物线应向右平移2 个单位，再向上平移4 个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）
2+5．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线
与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键．
21.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500 名学生中随机抽取
部分学生进行知识测试（测试满分100 分，得分x 均为不小于60 的整数），并将测试成绩分为四个等第：
基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图
统计图（部分信息未给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图．
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数．
（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？
（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
【答案】（1）见解析；（2）144°；（3）这次测试成绩的中位数的等第是良好；（4）估计该校获得优
秀的学生有300 人
【解析】
【分析】
（1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题；
（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可；
（3）根据中位数的定义判断即可；
（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【详解】解：（1）30÷15%＝200（人），
200﹣30﹣80﹣40＝50（人），
直方图如图所示：
；
（2）“良好”所对应的扇形圆心角的度数＝360°×
＝144°；
（3）这次成绩按从小到大的顺序排列，中位数在80 分-90 分之间，
∴这次测试成绩的中位数的等第是良好；
（4）1500×
＝300（人），
答：估计该校获得优秀的学生有300 人．
【点睛】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
22.A，B 两地相距200 千米．早上8：00 货车甲从A 地出发将一批物资运往B 地，行驶一段路程后出现故
障，即刻停车与B 地联系．B 地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲
后，用了18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B 地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千
米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y 关于x 的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B 地的时间最多晚1 个小
时，问货车乙返回B 地的速度至少为每小时多少千米？
【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B 地的车速至少为75 千米/小时
【解析】
【分析】
（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可
得到函数关系式；
（2）先求出货车甲正常到达B 地的时间，再求出货车乙出发回B 地时距离货车甲比正常到达B 地晚1 个
小时的时间以及故障地点距B 地的距离，然后设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，最后列出不等式并
求解即可．
【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得
，
解得：
，
∴y 关于x 的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；
（2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h）
∴货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），
当y＝200﹣80＝120 时，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：货车乙返回B 地的车速至少为75 千米/小时．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握待定系数法，并求出函数
解析式，根据题意正确列出一元一次不等式．
23.【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，
求AD 的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝
∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD 的边长．
【答案】（1）见解析；（2）AD＝
；（3）5
﹣2
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论；
（2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；
（3）如图，分别延长EF，DC 相交于点G，先证明四边形AEGC 为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，
可得
，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝
EF，再根据
，可推出DG＝
DF=5
，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴
，
∴AC2＝AD•AB；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴
，
∴BF2＝BE•BC，
∴BC＝
＝
=
，
∴AD＝
；
（3）如图，分别延长EF，DC 相交于点G，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC＝
∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC 为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF＝
∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴
，
∴DE2＝EF•EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DE＝
EF，
又∵
，
∴DG＝
DF=5
，
∴DC＝DG﹣CG＝5
﹣2．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似
是解题关键．
24.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个
内角的遥望角．
（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A＝α，请用含α 的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O，
＝
，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F，连
结BF 并延长交CD 的延长线于点E．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC 是⊙O 的直径．
①求∠AED 的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF 的面积．
【答案】（1）∠E＝
α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；②
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出
∠ACD=∠DCT，则CE 是△ABC 的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明
△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则
可求出答案；
②过点A 作AG⊥BE 于点G，过点F 作FM⊥CE 于点M，证得△EGA∽△ADC，得出
，求出
，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）
2+52=（5x）
2，解得x=
，求出ED，CE 的长，求出DM，由
等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
【详解】解：（1）∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝
（∠ACD﹣∠ABC）＝
α，
（2）如图1，延长BC 到点T，
∵四边形FBCD 内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF 平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE 是∠ABC 的平分线，
∵
，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE 是△ABC 的外角平分线，
∴∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，
∵∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A 作AG⊥BE 于点G，过点F 作FM⊥CE 于点M，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝
∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴
，
∵在Rt△ABG 中，AG＝
，
Rt△ADE 中，AE＝
AD，
∴
，
在Rt△ADC 中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）
2+52＝（5x）
2，
∴x＝
，
∴ED＝AD＝
，
∴CE＝CD+DE＝
，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝
CE＝
，
∴DM＝DE﹣EM＝
，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝
，
∴S△DEF＝
DE•FM＝
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的
判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形
的判定与性质是解题的关键.
