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专题09 导数及其应用-
（新课标全国Ⅰ卷）1．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
（新课标全国Ⅱ卷）2．已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
（新课标全国Ⅱ卷）3．若函数
既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
（新课标全国Ⅱ卷）4．（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
（全国乙卷数学（文））5．函数
存在3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
（全国乙卷数学（文））6．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
（全国乙卷数学（理））7．设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值范
围是______.
（全国乙卷数学（理））8．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
1
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（全国甲卷数学（文））9．曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
（全国甲卷数学（文））10．已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
（全国甲卷数学（文））11．已知
(1)若
，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
（新高考天津卷）12．已知函数
．
(1)求曲线
在
处切线的斜率；
(2)当
时，证明：
；
(3)证明：
．
1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线
与曲线
和曲线
均相切，则实数
的解的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数
2．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）已知函数
的最小正周期
为T，若
，且
是
的一个极值点，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
3．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数
，
，若存在
，使得
成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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4．（2023·山东聊城·统考三模）若直线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．
5．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于
的不等式
在
内有解，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的极值点个数；
(2)若不等式
在
上恒成立，求
可取的最大整数值.
7．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)讨论函数
极值点的个数；
(2)对任意的
，都有
，求实数
的取值范围.
8．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）（1）当
时，求证：
.
（2）已知函数
有唯一零点
，求证：
且
.
9．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
在
处的切线斜率为
，求实数
的值；
(2)若函数
有且仅有三个不同的零点，分别设为
（i）求实数
的取值范围；
（ii）求证：
．
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数
有两
个零点
，且
．
(1)求a 的取值范围；
(2)若
在
和
处的切线交于点
，求证：
．
11．（2023·山东日照·三模）已知函数
有三个零点.
(1)求
的取值范围；
3
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(2)设函数
的三个零点由小到大依次是
.证明：
.
12．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数
，其中
．
(1)讨论方程
实数解的个数；
(2)当
时，不等式
恒成立，求
的取值范围．
13．（2023·山东德州·三模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若
存在两个极值点
的取值范围为
，求
的取值范围．
14．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数
，
.
(1)求证：
；
(2)若函数
在
上有唯一零点，求实数
的取值范围.
15．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
，且
时，
．
16．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数
.
(1)若不等式
有解，求实数
的取值范围；
(2)若
有两个不同的零点
，证明：
.
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数
在
处取得极小值
．
(1)求实数
的值；
(2)当
时，证明：
．
18．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆C：
与y 轴交于
，
两点，椭圆上异于A，B 两点的动点D 到A，B 两点的斜率分别为
，
，已知
．
(1)求椭圆C 的方程；
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(2)过定点
与动点D 的直线，与椭圆交于另外一点H，若AH 的斜率为
，求
的取值范围．
19．（2023·山东泰安·统考模拟预测）若
，则实数
最大值为______.
20．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知
是定义在
上的可导函数，若
，
，且
时，
恒成立，则
的取值范围是
_________.
5
