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第04 章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算
考点体系
考点1：与线段有关的计数问题
典例：（2018·内蒙古宁城·初一期末）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A 点与B、C 两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B 点与A、C 两点分别作
直线，可以作______________条；经过C 点与A、B 两点分别作直线，可以作___________条.
通过以上分析和总结，图1 共有___________条直线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2 共有_____________条直线；
图3 共有_____________条直线；
(3)探索归纳：
如果平面上有n(n≥3)个点，且每3 个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n 的
式子表示)
(4)解决问题：
中职篮（CBA）2017——2018 赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20 支，截止2017 年12 月21 日赛程
过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？
方法或规律点拨
本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．
巩固练习
1．（2019·河南许昌·）观察表格：
1 条直线
0 个交点
平面分成（1+1）块
2 条直线
1 个交点
平面分成（1+1+2）
块
3 条直线
（1+2）个交点
平面分成（1+1+2+3）块
4 条直线
（1+2+3）个交点
平面分成（1+1+2+3+4）块
根据表格中的规律解答问题：
（1）5 条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（2）n 条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10 刀（不许重叠），最多可得到 块饼．
2．（2019·全国）平面内5 条相交直线最多可以有几个交点？
条直线呢？
3．（2018·浙江全国·初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题．
(1)5 条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；
(2)n 条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．
4．（2019·全国初一）往返于A、B 两地的客车,途中要停靠C、D 两个车站,如图所示. 则需要设定几种不
同的票价?需要准备多少种车票?
5．（2019·全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB 上有两个点C、D，请分别写出以点A、
B、C、D 为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建：如果线段上有m 个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你
结论的正确性；
（3）拓展应用：8 位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场
比赛），那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.
考点2：线段作图与计算的综合题
典例：（2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP 和点B，C，请用尺规按下列要
求作图：
（1）连接AB，并在射线AP 上截取AD＝AB；
（2）连接BC、BD，并延长BC 到E，使BE＝BD．
（3）在（2）的基础上，取BE 中点F，若BD＝6，BC＝4，求CF 的值．
方法或规律点拨
本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知线段
的长为
．
（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点
在线段
的延长线上，且
；
（2）在上题中，如果在线段
上有一点
，且线段
、
长度之比为
，求线段
的长．
2．（2020·福建宁化·初一期末）如图，已知线段a 和线段AB，
（1）延长线段AB 到C，使BC＝a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，BC＝3，点O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长．
3．（2020·河北涞源·初一期末）已知：如图，线段AB.
（1）根据下列语句顺次画图.
① 延长线段AB 至C，使BC=3AB，
② 画出线段AC 的中点D.
（2）请回答：
① 图中有几条线段；
② 写出图中所有相等的线段.
4．（2019·广西防城港·初一期末）如图，已知线段a 和射线OA，射线OA 上有点B．
（1）用圆规和直尺在射线OA 上作线段CD，使点B 为CD 的中点，点C 在点B 的左边，且BC=a．（不用
写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，若OB=12cm，OC=5cm，求线段OD 的长．
5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图，已知四点A、B、C、D．
（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：
①画直线AB．
②画射线DC．
③延长线段DA 至点E，使
．(保留作图痕迹)
④画一点P，使点P 既在直线AB 上，又在线段CE 上．
（2）在（1）中所画图形中，若
cm，
cm，点F 为线段DE 的中点，求AF 的长．
6．（2019·广东龙华·初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点
、
、
，其中
，且
．
（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）
①作射线
；
②在线段
上截取
；
③在线段
上截取
．
恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点
就称为线段
的
“黄金分割点”．
（2）阅读下面材料，并完成相关问题；
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618 倍，则称这个点为黄金分
割点．如图，
为线段
上一点，如果
，那么点
为线段
的黄金分割点．
已知某舞台的宽为30 米，一次演出时两位主持人分别站在舞台
上的两个黄金分割点
和
处，如图，
则这两位主持人之间的距离
约为_________米．
7．（2019·闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），
并填空．
（1）作线段AB，使得AB＝a＋b；
（2）在直线AB 外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB（填“＜”或“＞”号），理由
是 ．
考点3：动点有关的线段问题
典例：（2020·江西东湖·期末）已知：如图1，点M 是线段AB 上一定点，AB＝12cm，C、D 两点分别从
M、B 出发以1cm/s、2cm/s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段
BM 上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D 运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D 运动了2s，求AC+MD 的值．
（3）若点C、D 运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN﹣BN＝MN，求
的值．
方法或规律点拨
本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题
关键．
巩固练习
1．（2020·浙江镇海·期末）已知数轴上，点
为原点，点
对应的数为9，点
对应的数为
，点
在点
右侧，长度为2 个单位的线段
在数轴上移动．
（1）当线段
在
、
两点之间移动到某一位置时恰好满足
，求此时
的值．
（2）当线段
在射线
上沿
方向移动到某一位置时恰好满足
，求此时
的值．
2．（2021·重庆开学考试）如图，
是线段
上任意一点，
，
两点分别从点
开始，
同时向点
运动，且点
的运动速度为
，点
的运动速度为
，运动时间为
．
（1）若
．
①求运动
后，
的长；
②当点
在线段
上运动时，试说明
．
（2）如果
，试探索
的长．
3．（2020·全国初一课时练习）已知
，
两点在数轴上表示的数为
和
，
，
均为数轴上的点，
且
．
（1）若
，
的位置如图所示，试化简：
；
（2）如图，若
，
，求图中以
，
，
，
，
这5 个点为端点的所有线段（无
重复）长度的和；
（3）如图，
为
中点，
为
中点，且
，
，若点
为数轴上一点，且
，试求点
所对应的数．
4．（2020·河南太康·初一期末）(1)如图，已知点C 在线段AB 上，AC＝6 cm，且BC＝4 cm，M，N 分别是
AC，BC 的中点，求线段MN 的长度；
(2)在(1)题中，如果AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请你用一句简洁的话
表述你发现的规律；
(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6 cm，BC＝4 cm，点C 在直线AB 上，M，N 分别是
AC，BC 的中点，求MN 的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
5．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P 是线段AB 上一点，AB=12cm，C、D 两点分别从P、B 出
发以1cm/s、2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上），运动的时间为t.
（1）当t=1 时，PD=2AC，请求出AP 的长；
（2）当t=2 时，PD=2AC，请求出AP 的长；
（3）若C、D 运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP 的长；
（4）在（3）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ 的长.
6．（2020·山东崂山·初一期末）如图，已知线段AB、a、b．
（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
①延长线段AB 到C，使BC＝a；
②反向延长线段AB 到D，使AD＝b．
（2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，且点E 为CD 的中点，求线段AE 的长度．
7．（2019·河北初三二模）如图，已知数轴上有两点
，它们的对应数分别是
，其中
（1）在
左侧作线段
，在
的右侧作线段
（要求尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹）
（2）若点
对应的数是
，点
对应的数是
，且
，求
的值
（3）在（2）的条件下，设点
是
的中点，
是数轴上一点，且
，请直接写出
的
长
8．（2019·江西贵溪·初一期末）如图，点
是定长线段
上一点，
、
两点分别从点
、
出发以1
厘米/秒，2 厘米/秒的速度沿直线
向左运动（点
在线段
上，点
在线段
上）．
（1）若点
、
运动到任一时刻时，总有
，请说明点
在线段
上的位置；
（2）在（1）的条件下，点
是直线
上一点，且
，求
的值；
（3）在（1）的条件下，若点
、
运动5 秒后，恰好有
，此时点
停止运动，点
继续运
动（点
在线段
上），点
、
分别是
、
的中点，下列结论：①
的值不变；②
的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
考点4：静态图形中的角度计算与证明
典例：（2020·江西东湖·期末）若
的度数是
的度数的k 倍，则规定
是
的k 倍角.
（1）若∠M=21°17'，则∠M 的5 倍角的度数为 ；
（2）如图1，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中
∠AOB 的所有3 倍角；
（3）如图2，若∠AOC 是∠AOB 的5 倍角，∠COD 是∠AOB 的3 倍角，且∠AOC 和∠BOD 互为补角，
求∠AOD 的度数.
方法或规律点拨
此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知
，
平分
，
，
，求
、
的度数．
2．（2020·岳阳市第十中学初一期末）如图1，已知∠AOB 的内部有一条射线OC，OM、ON 分别平分
∠AOC 和∠BOC．
（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON 的度数．
（2）若取掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON 的度数．
（3）若将∠AOB 内部的射线OC 旋转到∠AOB 的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON 的度数，并请
用一句话或一个式子概括你发现的∠MON 与∠AOB 的数量关系．
3．（2020·甘肃肃州·初一期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD 平分∠AOB，且∠COD＝20°，求
∠AOB 的度数．
4．（2019·山西浑源·初一期末）已知∠COD＝90°，且∠COD 的顶点O 恰好在直线AB 上．
（1）如图1，若∠COD 的两边都在直线AB 同侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝20°时，∠AOC 的度数为 °；
②当∠BOD＝55°时，∠AOC 的度数为 °；
③若∠BOD＝α，则∠AOC 的度数用含α 的式子表示为 ；
（2）如图2，若∠COD 的两边OC，OD 分别在直线AB 两侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC 的度数为 ；
②如图3，当OB 恰好平分∠COD 时，∠AOC 的度数为 °；
③图2 中，若∠BOD＝α，则∠AOC 的度数用含α 的式子表示为 ．
5．（2020·全国初一课时练习）如图，O 在直线AC 上，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内．
（1）若OE 是∠BOC 的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；
（2）若∠BOE=
∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC 的度数．
6．（2020·湖北广水·初一期末）已知点O 为直线AB 上一点，将直角三角板MON 的直角顶点放在点O 处，
并在∠MON 内部作射线OC．
（1）如图1，三角板的一边ON 与射线OB 重合，且∠AOC＝150°．若以点O 为观察中心，射线OM 表示
正北方向，求射线OC 表示的方向；
（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC 恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM 的度数；
7．（2020·全国初一课时练习）如图，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线．
(1)如图1，当∠AOB 是直角，∠BOC=60°时，∠MON 的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON 与α 的数量关系；
(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β 时，猜想：∠MON 与α、β 有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理
由．
8．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是
∠BOC 的平分线．
（1）求∠MON 的大小；
（2）当∠AOC＝
时，∠MON 等于多少度？
9．（2019·内蒙古临河·初一期末）已知，O 为直线AB 上一点，∠DOE=90°．
（1）如图1，若∠AOC=130°，OD 平分∠AOC．
①求∠BOD 的度数；
②请通过计算说明OE 是否平分∠BOC．
（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD 的度数．
10．（2020·辽宁庄河·期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点
处，
，
，
与
重合，在
外
，射线
、
分别是
、
的角平分
线
（1）求
的度数；
（2）如图
，若保持三角尺
不动，三角尺
绕点逆时针旋转
时，其他条件不变，
求
的度数（提示：旋转角
）
（3）在旋转的过程中，当
时，直接写出
的值．
11．（2019·四川雁江·初一期末）如图，点
为直线
上一点，过点
作射线
，使
，
将一直角三角板的直角顶点放在点
处（
），一边
在射线
上，另一边
在直线
的下方．
（1）将图1 中的三角板绕点
逆时针旋转至图2，使一边
在
的内部，且恰好平分
，求
的度数；
（2）将图1 中的三角板绕点
以每秒5〫
的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直
线
恰好平分锐角
，求的值；
将图1 中的三角板绕点
逆时针旋转至图3，使一边
在
的内部，请探究
的值．
12．（2020·山西浑源·初一期末）综合与探究：
问题情境：如图，已知∠AOB＝90°，射线OC 在∠AOB 的外部且0°＜∠BOC＜180°．OM 是∠AOC 的角
平分线，ON 是∠BOC 的角平分线．
特例探究：（1）如图1，
①当∠BOC＝40°时，∠MON 的度数为 °；
②当∠BOC＜90°时，求∠MON 的度数；
猜想拓广：（2）若∠AOB＝α（0＜α＜90°），
①当∠AOB＋∠BOC＜180°时，则∠MON 的度数是 °；（用含α 的代数式表示）
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时，请在图2 中画出图形，并直接写出∠MON 的度数．（用含α 的代数式表
示）
考点5：与旋转角有关的计算与证明
典例：（2020·全国初一课时练习）[阅读理解]射线
是
内部的一条射线，若
则我们称射线
是射线
的伴随线．
例如，如图1，
，则
，称射线
是
射线
的伴随线：同时，由于
，称射线
是射线
的伴随线．
[知识运用]
（1）如图2，
，射线
是射线
的伴随线，则
，若
的度数是
，射线
是射线
的伴随线，射线
是
的平分线，则
的度数是 ．（用
含
的代数式表示）
（2）如图，如
，射线
与射线
重合，并绕点
以每秒
的速度逆时针旋转，射线
与射线
重合，并绕点
以每秒
的速度顺时针旋转，当射线
与射线
重合时，运动停止，
现在两射线同时开始旋转．
①是否存在某个时刻（秒），使得
的度数是
，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线
中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
方法或规律点拨
本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的
思想思考问题．
巩固练习
1．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使
∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°）
(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；
(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求
∠COD 的度数；
(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试猜想∠BOD 和
∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．
2．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD 在线段AB 上
运动，E、F 分别是AC、BD 的中点.
（1）若AC=4cm，则EF=_________cm.
（2）当线段CD 在线段AB 上运动时，试判断EF 的长度是否发生变化？如果不变请求出EF 的长度，如果
变化，请说明理由.
（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知
在
内部转动，OE、OF 分别平分
在
，则
、
和
有何关系，请直接写出_______________________.
3．（2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）已知直线AB 过点O，∠COD＝90°，OE 是∠BOC 的平
分线．
（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝
②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ （用含α 的代数式表示）
（2）操作探究：将图1 中的∠COD 绕顶点O 顺时针旋转到图2 的位置，其他条件不变，②中的结论是否
成立？试说明理由．
（3）拓展应用：将图2 中的∠COD 绕顶点O 逆时针旋转到图3 的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求
∠DOE 的度数，（用含α 的代数式表示）
4．（2020·全国初一课时练习）如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O 重合在一起．
（1）若
，如图①，请求出
的度数；
（2）若
，如图②，请求出
的度数；
（3）猜想：
和
的关系（请直接写出答案即可）
5．（2020·全国初一课时练习）已知
是
内部的一条射线，
，
分别为
，
上的点，
线段
，
同时分别以
，
的速度绕点
逆时针转动，设转动时间为
．
（1）如图（1），若
，
，
逆时针转动到
，
处．
①若
，
的转动时间为2，则
________；
②若
平分
，
平分
，求
的值．
（2）如图（2），若
，当
，
分别在
，
内部转动时，请猜想
与
的数量关系，并说明理由．
6．（2020·全国初一课时练习）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面
结合一道几何题来体验一下.
（发现猜想）（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC 为∠BOD 的角平分线，则∠AOC 的度
数为 ；.
（探索归纳）（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC 为∠BOD 的角平分线. 猜想∠AOC 的度数（用
含m、n 的代数式表示），并说明理由.
（问题解决）（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB 绕点O 以每秒20°逆
时针旋转，射线OC 绕点O 以每秒10°顺时针旋转，射线OD 绕点O 每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋
转，当一条射线与直线OA 重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线
夹角的角平分线？
7．（2020·全国初一课时练习）如图①，
是直线
上的一点，
是直角，
平分
.
（1）若
，则
的度数为 ；
（2）将图①中的
绕顶点
顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，探究
和
的度
数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图①中的
绕顶点
顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出
和
的度数之间的关系.
8．（2020·全国初一课时练习）如图，以直线
上一点
为端点作射线
，使
，在同一
个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点
处.（注：
）
（1）如图1，如果直角三角板
的一边
放在射线
上，那么
的度数为______；
（2）如图2，将直角三角板
绕点
按顺时针方向转动到某个位置，如果
恰好平分
，求
的度数；
（3）如图3，将直角三角板
绕点
任意转动，如果
始终在
的内部，请直接用等式表示
和
之间的数量关系.
9．（2020·全国初一课时练习）如图，射线
，
，
，
分别表示以点
为中心的北，东，南，
西四个方向，点
在点
的北偏东
方向，点
在点
的北偏西
方向．
（1）画出射线
，若
与
互余，请在图（1）或备用图中画出
；
（2）若
是
的平分线，直接写出
的度数．（不需要计算过程）
10．（2017·河南平舆·初一期末）如图，已知同一平面内
，
．
（1）问题发现：
的余角是_____，
的度数是_____；
（2）拓展探究：若
平分
，
平分
，则
的度数是_____．
（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果将题目中的
改为
；
改
为
，其他条件不变，你能求出
吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请
说明理由．
11．（2019·沈阳市第七中学初一期中）数学课上小明用一副三角板进行如下操作：把一副三角板中两个直
角的顶点重合，一个三角板固定不动，另一个三角板绕着重合的顶点旋转（两个三角板始终有重合部分）．
（1）当旋转到如图所示的位置时，量出∠α＝25°，通过计算得出∠AOD＝∠BOC＝ ；
（2）通过几次操作小明发现，∠α≠25°时．∠AOD＝∠BOC 仍然成立，请你帮他完成下面的说理过程．
理由：因为∠AOC＝∠BOD＝ ；
所以，根据等式的基本性质∠ ﹣∠COD＝∠BOD﹣∠ ；
即∠AOD＝∠ ．
（3）小莹还发现在旋转过程中∠AOB 和∠DOC 之间存在一个不变的数量关系，请你用等式表示这个数量
关系 ．
12．（2020·辽宁望花·初一期末）已知点O 为直线AB 上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°
（1）如图1，当射线OC、射线OD 在直线AB 的两侧时，请回答结论并说明理由；
①∠COD 和∠BOE 相等吗？
②∠BOD 和∠COE 有什么关系？
（2）如图2，当射线OC、射线OD 在直线AB 的同侧时，请直接回答；
①∠COD 和∠BOE 相等吗？
②第（1）题中的∠BOD 和∠COE 的关系还成立吗？
13．（2020·河北承德·初一期末）如果两个角的差的绝对值等于
，就称这两个角互为反余角，其中一个
角叫做另一个角的反余角，例如，
，
，
，则
和
互为反余角，
其中
是
的反余角，
也是
的反余角．
如图
为直线AB 上一点，
于点O，
于点O，则
的反余角是______，
的反余角是______；
若一个角的反余角等于它的补角的
，求这个角．
如图2，O 为直线AB 上一点，
，将
绕着点O 以每秒
角的速度逆时针旋转得
，同时射线OP 从射线OA 的位置出发绕点O 以每秒
角的速度逆时针旋转，当射线OP 与射线
OB 重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t 秒，求当t 为何值时，
与
互为反余角图中所
指的角均为小于平角的角．
15．（2020·河北乐亭·初一期末）直线
上有一点
，过
作射线
，嘉琪将一直角三角板的直角顶
点与
重合．
（1）嘉琪把三角板
如图1 放置，若
，则
，
；
（2）嘉琪将直角三角板绕
点顺时针旋转一定角度后如图2，使
平分
，且
，
求
的度数．
