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专题04 推理能力课之和角平分线有关的辅助线重难点专练
（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，
中，
，
的角平分线
、
相交于点
，过
作
交
的延长线于点
，交
于点
，则下列结论：①
；②
；③
；④
四边形
，其中正确的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】
根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．
【详解】
解：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD、BE 分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=
，∠ABE=
∴∠BAD+∠ABE=
∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确；
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
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BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；
在△APH 与△FPD 中
∵∠APH=∠FPD=90°
∠PAH=∠BAP=∠BFP
PA=PF
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB
∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；
连接HD，ED，
∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP
∴
，
，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP，
∴
∵
故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、
AAS、ASA、HL，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．
2．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC，E 为BD 延长线上的一点，
BE=BA，过E 作EF⊥AB，F 为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；
②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【分析】
根据SAS 证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC 可得①②正
确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝
EC，即可得③正确；过E 作EG⊥BC 于G 点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF 和
Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF 和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．
【详解】
解：①∵BD 为△ABC 的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴在△ABD 和△EBC 中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；
②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
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∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD
＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE 为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE．③正确；
④过E 作EG⊥BC 于G 点，
∵E 是∠ABC 的角平分线BD 上的点，且EF⊥AB，
∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵在Rt△BEG 和Rt△BEF 中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
∵在Rt△CEG 和Rt△AFE 中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF＝CG，
∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角
形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边
相等的性质是解题的关键．
二、填空题
3．如图，在
中，
、
的角平分线相交于点
，①若
，则
__________，②若
，
，则
___________.
【答案】110° 70°
【分析】
①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出
∠IAC+∠ICA 的值，然后利用三角形内角和即可求解；
②在BC 上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS 证明△ACI 与△DCI 全等，可得
AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC 求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形
外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又
∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；
【详解】
①∵
，
∴∠BAC+∠BCA=140°，
∵AI、CI 分别是
、
的角平分线，
∴∠IAC+∠ICA=
(∠BAC+∠BCA)=70°，
∴∠AIC=180°-70°=110°；
②如图1，在BC 上取CD=AC，连接BI、DI，
∵CI 平分∠ACB，
∴∠ACI=∠BCI，
在△ACI 与△DCI 中，
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，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，
∵BC=AI+AC，
∴BD=AI，
∴BD=DI，
∴∠IBD=∠BID，
∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，
又∵AI、CI 分别是∠BAC、∠ACB 的平分线，
∴BI 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，
∴∠CDI=∠ABC，
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，
∵∠ABC=35°，
∴∠BAC=35°×2=70°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线
构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点．
4．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P，若
∠BPC＝50 ，∠CAP＝______．
【答案】40°
【分析】
过点P 作PF⊥AB 于F，PM⊥AC 于M，PN⊥CD 于N，根据三角形的外角性质和内角
和定理，得到∠BAC 度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出
∠CAP=∠FAP，即可得到答案．
【详解】
解：过点P 作PF⊥AB 于F，PM⊥AC 于M，PN⊥CD 于N，如图：
设∠PCD=x，
∵CP 平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∴∠ACD=2x，
∵BP 平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，
∵∠BPC＝50°，
∴∠ABP=∠PBC=
，
∴
,
∴
，
∴
，
在Rt△APF 和Rt△APM 中，
∵PF=PM，AP 为公共边，
∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），
∴∠FAP=∠CAP，
∴
；
故答案为：40°；
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三
角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出
是关键．
5．如图所示，
的外角
的平分线CP 与
的平分线相交于点P，若
，则
_______．
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【答案】
【分析】
如图（见解析），设
，从而可得
，先根据三角形的外角性质可
求出
，再根据角平分线的性质可得
，从而可得
，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得
，最后根
据平角的定义即可得．
【详解】
如图，过点P 分别作
于点M，
于点N，
于点E，
设
，则
，
，
，
是
的平分线，
，
，
是
的平分线，
，
，
，
同理可得：
，
，
在
和
中，
，
，
，即
，
又
，
，
解得
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理
与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．
三、解答题
6．如图，
的外角
的平分线
与内角
的平分线
交于点
，若
，求
的度数．
【答案】50°
【解析】
【分析】
根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等
的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
【详解】
延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP 平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP 平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA 和Rt△PMA 中，
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，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠CAP=∠FAP，
又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF，
∴∠CAP =50°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，
根据角平分线的性质得出PM=PN=PF 是解决问题的关键．
7．如图所示，在
中，
，
是
的角平分线，
交于
点
，求证：
．
【答案】详见解析
【分析】
在AB 上截
，连接FG，根据角平分线的性质、结合三角形内角和定理可得
，证明
，得GD=GF，
=60°，
可证得
，即可得GF=GE=GD.
【详解】
证明：在AB 上截
，连接FG，
∵AE 平分∠BAC，
∴∠EAC=∠EAB，
又∵AG=AG，
∴
，
，
，
∵
，AE,BD 是ΔABC 的角平分线，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴GD=GE.
【点睛】
本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作辅助线是解题的关键．
8．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º
【答案】见解析.
【分析】
延长AD 过C 作CF 垂直AD 于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由
条件AD＋AB＝2AE 可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝
∠FDC，问题得证．
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【详解】
证明：延长AD 过C 作CF 垂直AD 于F，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，
∴△AFC≌△AEC(AAS)，
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵AD+AB=2AE，
又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，
∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，
∴BE＝DF，
在△CDF 和△CBE 中，
，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠FDC，
∵∠ADC＋∠FDC＝180°，
∴∠ADC+∠B=180º．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．
9．如图1，点
是直线
上一点，点
是直线
上一点，且MN//PQ．
和
的平分线交于点
．
（1）求证：
；
（2）过点
作直线交
于点
（不与点
重合），交
于点E,
①若点
在点
的右侧，如图2，求证：
；
②若点
在点
的左侧，则线段
、
、
有何数量关系？直接写出结论，不说
理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得
,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明
BC⊥AC;
(2) ①延长AC 交PQ 点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;
②方法与①相同．
【详解】
解：（1）∵MN∥PQ
∴∠NAB+∠ABQ=180°
∵AC 平分∠NAB，BC 平分∠ABQ
∴
∴∠BAC+∠ABC=
=90°
在△ABC 中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°
∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°
∴BC⊥AC;
（2）①延长AC 交PQ 于点F
∵BC⊥AC
∴∠ACB=∠FCB=90°
∵BC 平分∠ABF
∴∠ABC=∠FBC
∴BC=BC
∴△ABC≌△FBC
∴AC=CF，AB=BF
∵MN∥BQ
∴∠DAC=∠EFC
∵∠ACD=∠FCE
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∴△ACD≌△FCE
∴AD=EF
∴AB=BF=BE+EF=BE+AD
即：AB=AD+BE
②线段AD，BE，AB 数量关系是：AD+AB=BE
如图3，延长AC 交PQ 点F,
∵MN//PQ ．
∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC
∵AC 平分∠NAB
∴∠BAF=∠FAN
∴∠BAF=∠AFB
∴AB=FB
∵BC⊥AC
∴C 是AF 的中点
∴AC=FC
在△ACD 与△FCE 中
∴
∴AD=EF
∵AB=FB=BE-EF
∴AD+AB=BE
【点睛】
本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添
加辅助线构造全等三角形．
10．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF 平分∠ABC，
CD⊥BD 交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．
【答案】见解析
【分析】
作BF 的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，
由BD 平分∠ABC 就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝
∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D
四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB 推出BE＝CD，从而得到结论．
【详解】
解：取BF 的中点E，连接AE，AD，
∵∠BAC＝90°，
∴AE＝BE＝EF，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵CD⊥BD，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∴∠DAC＝∠DBC，
∵BF 平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
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∴∠DAC＝∠BAE，
∴∠EAD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，
∴∠AED＝45°，
∴AE＝AD，
在△ABE 与△ADC 中，
，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE＝CD，
∴BF＝2CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角
形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD
至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．
【答案】见解析
【分析】
在BC 上截取BF＝AB，连DF，根据SAS 可证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝
DE，证明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°．
【详解】
证明：在BC 上截取BF＝AB，连DF，
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
在△ABD 和△ＦBD 中，
，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，
又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠FDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A
＝180°
20°
100°
﹣
﹣
＝60°，
在△DCE 和△DCF 中，
，
∴△DCE≌△DCF（SAS），
∴∠ECA＝∠DCB＝40°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判
定与性质是解题的关键．
12．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AE 平分∠BAD，BE 平分∠ABC，且AE、
BE 交CD 于点E．试说明AD＝AB﹣BC 的理由．
【答案】见解析
【分析】
在AB 上找到F 使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根
据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．
【详解】
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证明：在AB 上找到F 使得AF＝AD，
∵AE 平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF 和△AED 中，
，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠AFE＋∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE 平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC 和△BEF 中，
，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF＋BF，
∴AB＝AD＋BC，
即AD＝AB﹣BC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题
中求证△AEF≌△AED 和△BEC≌△BEF 是解题的关键．
13．如图，∠D＝∠C＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB，∠DEA＝28°，求
∠ABE 的大小．
【答案】28°
【分析】
过点E 作EF⊥AB 于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据
线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角
的平分线上证明即可得出BE 平分∠ABC，即可求得∠ABE 的度数．
【详解】
如图，过点E 作EF⊥AB 于F，
∵∠D=∠C=90°，AE 平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E 是DC 的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E 在∠ABC 的平分线上，
∴BE 平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE 中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
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【点睛】
考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两
边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
14．如图，在
中，
，
，
是
的平分线，延长
至
点
，
，试求
的度数．
【答案】40°
【分析】
在
上截取
，连接
，通过证明
，可得
，再通过证明
，即可求得
【详解】
解：如图，在
上截取
，连接
，
是
的平分线，
，
在
和
中，
，
，
，
∴DE=DF，
，
又
，
，
，
，
在
和
中，
，
故
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
15．如图，
ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD⊥AB 于
D，PE⊥AC 于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【分析】
（1）连接
、
，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得
，
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得
，然后利用“
”证明
和
全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“
”证明
和
全等，根据全等三角形对应边相等可得
，再根据
、
的长度表示出
、
，然后解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接
、
，
点
在
的垂直平分线上，
，
是
的平分线，
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，
在
和
中，
，
，
；
（2）解：在
和
中，
，
，
，
，
，
，
即
，
解得
．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两
端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等
三角形是解题的关键．
16．已知：如图，
，
，
分别平分
和
，点E 在
上．用
等式表示线段
、
、
三者之间的数量关系，并证明．
【答案】AB=AC+BD，证明见详解．
【分析】
延长AE，交BD 的延长线于点F，先证明AB=BF，进而证明△ACE≌△FDE，得到
AC=DF，问题得证．
【详解】
解：延长AE，交BD 的延长线于点F，
∵
，
∴∠F=∠CAF，
∵
平分
，
∴∠CAF=∠BAF，
∴∠F=∠BAF，
∴AB=BF，
∵
平分
，
∴AE=EF，
∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，
∴△ACE≌△FDE，
∴AC=DF，
∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判断与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意添加辅助
线构造等腰三角形和全等三角形是解题关键．
17．如图1，在
中，
，
分别是
和
的角平分线，
和
相
交于
点．
（1）求证：
平分
；
（2）如图2，过
作
于点
，连接
，若
，
，求证：
；
（3）如图3，若
，求证：
．
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【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得
DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；
（2）作
，
，在
上取一点
，使
，通过证明
和
得到
，从而根据等角对等边判断即
可；
（3）延长
至
，使
，连接
，通过证明
得到
，再结合
即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，
∵
，
分别是
和
的角平分线，
∴
，
∴
平分
；
（2）证明：如图，作
，
，在
上取一点
，使
．
∵
平分
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在四边形
中，
，
又∵
，
∴
，
在
和
中，
∴
，
∴
，
在
和
中
∴
，
∴
又∵
，
，
∴
，
∴
；
（3）证明：延长
至
，使
，连接
．
∵
，
分别是
和
的角平分线，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】
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本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线
的性质构造辅助线是解题关键．
18．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC，猜想线段AD 与DC 数量
关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC 交BC 于点E：
(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC 中，∠A=120°，AB=AC，BD 平分∠ABC，猜想线段AD 与DC 的
数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC 中，∠A=100°，AB=AC，BD 平分∠ABC，猜想线段AD 与BD、
BC 的数量关系，并证明你的猜想.
【答案】（1）CD=√2AD；（2）CD=√3AD；（3）BC=AD+BD.
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的性质可得AD=DE，根据∠A=90°，AB=AC，可得∠C=45°，由
DE⊥BC 可得△DEC 是等腰直角三角形，可得CD=√2DE，进而可得答案；（2）在
BC 上截取BE=AB，连接DE，利用SAS 可证明△ABD≌△EBD，可得AD=DE，
∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得
∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC 上取一点E，
使BE=BD，作DF⊥BA 于F，DG⊥BC 于G，由角平分线的性质就可以得出DF=DG，
利用AAS 可证明△DAF≌△DEG，可得 DA=DE，利用外角性质可求出∠EDC=40°，
进而可得DE=CE，即可得出结论．
【详解】
（1）∵∠A=90°，BD 平分∠ABC，DE⊥BC，
∴DE=AD，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CDE 是等腰直角三角形，
∴CD=√2DE=√2AD，
故答案为：CD=√2AD
（2）如图，在BC 上截取BE=AB，连接DE，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
在△ABD 和△EBD 中，¿，
∴△ABD≌△EBD，
∴DE=AD，∠BED=∠A=120°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠CDE=∠BED-∠C=90°，
∴CD=√3DE=√3AD.
（3）如图，在BC 上取一点E，是BE=BD，作DF⊥BA 于F，DG⊥BC 于G，
∴∠DFA=∠DGE=90°．
∵BD 平分∠ABC，DF⊥BA，DG⊥BC，
∴DF=DG．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，
∴∠DBC=20°，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE=80°，
∴∠FAD=∠BED．
在△DAF 和△DEG 中，¿，
∴△DAF≌△DEG（AAS），
∴AD=ED．
∵∠BED=∠C+∠EDC，
∴80°=40+∠EDC，
∴∠EDC=40°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=CE，
∴AD=CE．
∵BC=BE+CE，
∴BC=BD+AD．
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【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及
性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．
19．在平面直角坐标系中，点
，
，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点
A 作
交y 轴于点E．
（1）如图
，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；
（2）如图
，若点C 在x 轴正半轴上运动，且
，其它条件不变，连接DO，求
证：OD 平分
（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当
时，试探索线段AD、OC、DC
的数量关系，并证明．
【答案】（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD
【分析】
（1）先根据AAS 判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C 的坐标为（3，
0），得到OC=2=OE，进而得到点E 的坐标；
（2）先过点O 作OM⊥AD 于点M，作ON⊥BC 于点N，根据△AOE≌△BOC，得到
S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD
平分∠ADC；
（3）在DA 上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进
而得到∠OCB=60°，根据SAS 判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，
∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故
AD=PA+PD=OC+CD．
【详解】
（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，
∴∠AOE=∠BDE，
又∵∠AEO=∠BED，
∴∠OAE=∠OBC，
∵A（-5，0），B（0，5），
∴OA=OB=5，
∴△AOE≌△BOC，
∴OE=OC，
又∵点C 的坐标为（3，0），
∴OC=3=OE，
∴点E 的坐标为（0，3）；
（2）如图②，过点O 作OM⊥AD 于点M，作ON⊥BC 于点N，
∵△AOE≌△BOC，
∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，
∵OM⊥AE，ON⊥BC，
∴OM=ON，
∴OD 平分∠ADC；
（3）如所示，在DA 上截取DP=DC，连接OP，
∵
，∠ADC=90°
∴∠PAO+∠OCD=90°，
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∴∠DAC=
=30°，∠DCA=
=60°
∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，
∴△OPD≌△OCD，
∴OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，
∴∠POA=∠PAO=30°
∴PA=PO=OC
∴AD=PA+PD=OC+CD
即：AD=OC+CD．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理
以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，
运用全等三角形的性质进行求解．
20．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是
，点B 的坐标
且a，b 满足
．
（1）求A、B 两点的坐标；
（2）如图（1），点C 为x 轴负半轴一动点，
，
于D，交y 轴于点
E，求证：
平分
．
（3）如图（2），点F 为
的中点，点G 为x 正半轴点
右侧的一动点，过点F 作
的垂线
，交y 轴的负半轴于点H，那么当点G 的位置不断变化时，
的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析；（3）不变化，
．
【分析】
（1）由非负性可求a，b 的值，即可求A、B 两点的坐标；
（2）过点O 作
于M，
于N，根据全等三角形的判定和性质解答即
可；
（3）由于点F 是等腰直角三角形AOB 的斜边的中点，所以连接OF，得出OF=BF．
∠BFO=∠GFH，进而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定
和性质以及三角形面积公式解答即可．
【详解】
解：（1）∵
∴
，
∴
，即
．
∴
，
．
（2）如图，过点O 作
于M，
于N，
根据题意可知
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
∴OA＝OB＝6．
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在
和
中，
，
∴
．
∴
，
，
．
∴
，
∴
，
∴点O 一定在∠CDB 的角平分线上，
即OD 平分∠CDB．
（3）如图，连接OF，
∵
是等腰直角三角形且点F 为AB 的中点，
∴
，
，OF 平分∠AOB．
∴
．
又∵
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
在
和
中
，
∴
．
∴
，
∴
．
故不发生变化，且
．
【点睛】
本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的性质
和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
21．已知点C 是∠MAN 平分线上一点，∠BCD 的两边CB、CD 分别与射线AM、AN
相交于B，D 两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C 作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E 在线段AB 上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，探究线段AB、AD 与BE 之间的等量
关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD 的平分线BF
交AD 于点F，交AC 于点O，连接DO 并延长交AB 于点G．若BG＝1，DF＝2，求
线段DB 的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．
【分析】
（1）过点C 作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，
根据全等三角形的性质证明结论；
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（2）过点C 作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明
△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可；
（3）在BD 上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性
质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明
△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可．
【详解】
（1）证明：如图1，过点C 作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC 平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE 和△DCF 中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS）
∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE，
理由如下：如图2，过点C 作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC 平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE 和△DCF 中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，
∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD 上截取BH＝BG，连接OH，
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH 和△OBG 中，
，
∴△OBH≌△OBG（SAS）
∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO 是∠MAN 的平分线，BO 是∠ABD 的平分线，
∴点O 到AD，AB，BD 的距离相等，
∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH＝∠DAB＝60°，
∴∠GOH＝120°，
∴∠BOG＝∠BOH＝60°，
∴∠DOF＝∠BOG＝60°，
∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH 和△ODF 中，
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，
∴△ODH≌△ODF（ASA），
∴DH＝DF，
∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正
确辅助线．
