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第三章 一元一次方程（培优）
-七年级数学上册单元培优达标强化卷（解析）
一、选择题
1.
将3 x−7 =2 x变形正确的是()
A. 3 x +2 x =7
B. 3 x−2 x =−7
C. 3 x +2 x =−7
D. 3 x−2 x =7
【答案】D
解：等式两边都加7 得：3 x =2 x +7，
等式两边都减2x 得：3 x−2 x =7．
2.
已知关于x 的方程(m−2)x
|m−1|=0是一元一次方程，则m 的值是()
A. 2
B. 0
C. 1
D. 0 或2
【答案】B
【解析】解：根据题意得：
|m−1|=1，
整理得：m−1=1或m−1=−1，
解得：m=2或0，
把m=2代入m−2得：2−2=0(不合题意，舍去)，
把m=0代入m−2得：0−2=−2(符合题意)，
即m 的值是0，
3.
方程2 x +1=3与2−a−x
3
=0的解相同，则a 的值为 ( )
A. 0
B. 3
C. 5
D. 7
【答案】D
4.
若多项式4 x−5与2 x−1
2
的值相等，则x 的值是()
A. 1
B. 3
2
C. 2
3
D. 2
【答案】B
解：由题意得，4 x−5= 2 x−1
2
，
去分母，2(4 x−5)=2 x−1，
2
去括号，8 x−10=2 x−1，
最后移项，8 x−2 x =−1+10，
合并同类项，6 x =9，系数化为1，x = 3
2．
5.
已知：|m−2|+(n−1)
2=0，则方程2m+ x =n的解为( )
A. x =−4
B. x =−3
C. x =−2
D. x =−1
【答案】B
解：∵|m−2|=0，(n−1)
2=0
m=2，n=1，
将m=2，n=1代入方程2m+ x =n，得4 + x =1
移项，得x =−3
．
6.
某种商品原先的利润率为20 %，为了促销，现降价10 元销售，此时利润率下降为
10 %，那么这种商品的进价是()
A. 100 元
B. 110 元
C. 120 元
D. 130 元
【答案】A
解：设这件产品的进价为x 元，
x(1+20 %)−10= x[1+(20 %−10 %)]，
解得，x =100
即这件商品的进价为100 元，
7.
一项工程甲单独做要40 天完成，乙单独做需要60 天完成，甲先单独做4 天，然
后甲乙两人合作x 天完成这项工程，则可以列的方程是()
A. 4
40 +
x
40+60 =1
B. 4
40 +
x
40×60 =1
C. 4
40 + x
40 + x
60 =1
D. 4
40 + x
60 =1
【答案】C
【解析】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分=1列出
方程式为：
4
40 + x
40 + x
60 =1．
8.
下列说法中，正确的是()
A. 若ac =bc，则a=b
B. 若a
c = b
c ，则a=b
C. 若a
2=b
2，则a=b
D. 若|a|=|b|，则a=b
【答案】B
【解析】解：A .若ac =bc，当c≠0，则a=b，故此选项错误；
B.若a
c = b
c ，则a=b，正确；C.若a
2=b
2，则|a|=|b|，故此选项错误；
D.若|a|=|b|，则a=±b，故此选项错误；
9.
某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中
一台空调调价后售出可获利20 %(相对于进价)，另一台空调调价后售出则亏本
20 %(相对于进价)，而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空
调调价后售出()
A. 要亏本4 %
B. 可获利2%
C. 要亏本2%
D. 既不获利也不亏本
【答案】A
【解析】解：设这两台空调调价后的售价为x，两台空调进价分别为a、b．
调价后两台空调价格为：x =a(1+20 %)；x =b(1−20 %)．
解得：a= 5
6 x，b= 5
4 x，
调价后售出利润为：2 x−(a+b)
a+b
=
2 x−( 5
6 x + 5
4 x)
5
6 x + 5
4 x
=−0.04 =−4 %，
10. 小淇在某月的日历中圈出相邻的三个数，算出它们的和是19，那么这三个数的位
置可能是( )
4
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析
】解：A、设最小的数是
x．
x + x +7+ x +7+1=19
，x = 4
3
，
故本选项不符合题意；
B、设最小的数是x．
x + x +6+ x +7 =19
，x =2
．
故本选项符合题意．
C、设最小的数是x．
x + x +1+ x +7=19
，x = 11
3
，
故本选项不符合题意．
D、设最小的数是x．
x + x +1+ x +7+1=19
，x = 10
3
，
故本选项不符合题意．
故选：B．
二、填空题
11. 若代数式(1−a−1
4 )x
2−5 y + 4−1
2 (a x
2+2by +16)(a、b 为常数)的值与字母
x、y 的取值无关，则方程3ax +b=0的解为________
【答案】1
解：(1−a−1
4 )x
2−5 y + 4−1
2 (a x
2+2by +16)
=(1−a−1
4 )x
2−5 y + 4−1
2 a x
2−by −8=(1−a−1
4
−1
2 a)x
2−(5+b) y −4
=(
5
4 −3
4 a)x
2−(5+b) y −4∵代数式(1−a−1
4 )x
2−5 y + 4−1
2 (a x
2+2by +16)(a、
b 为常数)的值与字母x、y 的取值无关，
∴5
4 −3
4 a=0,5+b=0，
∴a= 5
3，b=−5，
∴3ax +b=0为5
3 ·3 x−5=0，
∴5 x−5=0，
解得：x =1．
故答案为1．
12. 如果a，b 为定值，关于x 的一次方程2kx +a
3
−x−bk
6
=2，无论k 为何值时，它
的解总是1，则a+2b= ．
【答案】−3
2
【解析】解：将x =1代入方程2kx +a
3
−x−bk
6
=2，
∴2k +a
3
−1−bk
6
=2，
∴4 k +2a−1+bk =12，
∴4 k +bk =13−2a，
∴k(4 +b)=13−2a，
由题意可知：b+ 4 =0，13−2a=0，
∴a= 13
2 ，b=−4，
∴a+2b= 13
2 −8=−3
2．
故答案为：−3
2
13. 若(a−2)x
|a|−1−2=0是关于x 的一元一次方程，则a=______．
6
【答案】−2
【解析】解：(a−2)x
|a|−1−2=0是关于x 的一元一次方程，
∴a−2≠0，|a|−1=1，解得a=−2．
14. 一件衣服先按成本提高50 %标价，再以8 折(标价的80 %)出售，结果获利28 元，
那么这件衣服的成本是__________元．
【答案】140
解：设这件衣服的成本是x 元，根据题意得：
x(1+50 %)×80 %−x =28，
解得：x =140．
答：这件衣服的成本是140 元；
故答案为140．
15. 小明按标价的八折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40 元，这双鞋的实际售价
为______元．
【答案】200
【解析】解：设这双鞋的实际售价为x 元，
根据题意，得0.8 x = x−40
x =200．
16. 已知关于x 的方程x−m
2
= x + m
3 与方程x−1
2
=3 x−2的解互为倒数，则
m
2−2m−3的值为_________．
【答案】0
解：x−1
2
=3 x−2，
解得：x = 3
5，
∴方程x−m
2
= x + m
3 的解为x = 5
3，
代入可得：5
6 −m
2 = 5
3 + m
3 ，
解得：m=−1，∴m
2−2m−3=1+2−3=0．
8
17. 用“∗”表示一种运算，其意义是a∗b=a−2b，如果x∗(3∗2)=3，则x =
______．
【答案】1
【解析】解：3∗2=3−2×2=−1，
∵x∗(3∗2)=3，
∴x∗(−1)=3，
x−2×(−1)=3，
x +2=3，
x =1，
18. 有两根同样长度但粗细不同的蜡烛，粗蜡烛可以燃烧6 小时，细蜡烛可以燃烧4
小时，一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现剩下的粗蜡烛长度
是细蜡烛长度的两倍，则停电时间是______小时．
【答案】3
解：设停电时间为x 小时，
根据题意得：1−x
6 =2(1−x
4 )，
解得：x =3．
19. 如果x =1是方程2−1
3 (m−x)=2 x的解，那么关于y 的方程
m( y −3)−2=m(2 y −5)的解是______ ．
【答案】y =0
解：∵x =1是方程2−1
3 (m−x)=2 x的解，
∴2−1
3 (m−1)=2×1，
解得m=1，
∴关于y 的方程为y −3−2=2 y −5，
移项得，y −2 y =−5+2+3，
合并同类项得，−y =0，
系数化为1 得，y =0．
20. 如图，已知点A、B 是直线上两点，AB =12厘米，点C 在线段AB 上，且BC = 4
厘米．点P、点Q 是直线上的两个动点，点P 的速度为1 厘米/秒，点Q 的速度为
2 厘米/秒．点P、Q 分别从点C、点B 同时出发在直线上运动，则经过
___________秒时线段PQ 的长为5 厘米．
【答案】1
3或1 或3 或9
解：设运动时间为t 秒．
①
如果点P 向左、点Q 向右
运动，
由题意，得：
t +2t =5−4，
解得t = 1
3；②
点P、Q 都向右运动，
由题意，得：
2t −t =5−4，
解得t =1；③
点P、Q 都向左运动，
由题意，得：
2t −t =5+ 4，
解得t =9．④
点P 向右、点Q 向左运动，
由题意，得：
2t −4+t =5，
解得t =3．
综上所述，经过1
3或1 或
3 秒或9 秒时线段PQ 的
长为5 厘米．
故答案为1
3或1 或3 或
9．
三、解答题
21. 已知关于x 的方程3[x−2(x−a
3)]= 4 x和3 x +a
12
−1−5 x
8
=1有相同的解，那么
这个解是多少？
【答案】解：由方程(1)得x = 2
7 a，由方程(2)得x = 27−2a
21
，
由题意得2
7 a= 27−2a
21
，解得a= 27
14 ，代入解得x = 27
28．
∴可得这个解为27
28．
22. 甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30 天完成，乙单独做20 天完成，合
同规定15 天完成，否则每超过1 天罚款1000 元，甲、乙两人经商量后签订了该
合同．
(1)正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同⋅为什么⋅
(2)现两人合作了这项工程的75％，因别处有急事，必须调走1 人，问调走谁更
合适些⋅为什么⋅
10
【答案】解：(1)设甲、乙合作需要x 天
完成，
由题意，得x
30 + x
20 =1，
解得：x =12，
∵12<15，
∴甲、乙两人能履行该合同；
(2) 3
4 ÷( 1
30 + 1
20 )=9(天)
设剩下的工程甲用y 天完成，
由题意，得y
30 = 1
4 ，
解得：y = 15
2 ，
9+ 15
2 =16.5( 天)>15( 天)，不合适；
设剩下的工程乙用z 天完成，
由题意，得y
20 = 1
4 ，
解得y =5，
9+5=14<15，合适，
答：调走甲比较合适．
23. 甲、乙两站相距360 千米，一列快车从甲站开出，每小时行160 千米，一列慢车
从乙站开出，每小时行80 千米．
(1)若两车同时开出，相向而行多少小时后两车相遇？
(2)若两车同向而行，快车在慢车的后面，且慢车提前半小时出发，经过多少小时
后快车追上慢车？
【答案】解：(1)设两车相向而行x 小时后两车相遇，
根据题意得：160 x +80 x =360，
解得：x =1.5．
答：两车相向而行1.5小时后两车相遇；
(2)设经过x 小时后快车追上慢车，
根据题意得：360+80×0.5+80× x =160 x，
解得：x =5．
答：经过5 小时后快车追上慢车．
24. 某社区超市第一次用6000 元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件
数的1
2倍多15 件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：(注：获利=售价−进价)
甲
乙
进价(元/件)
22
30
售价(元/件)
29
40
(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
(3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，
乙商品的件数是第一次的3 倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两
种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180 元，求第二次乙
商品是按原价打几折销售？
【答案】解：(1)设第一次购进甲种商品x 件，则购进乙种商品( 1
2 x +15)件，
根据题意得：22 x +30( 1
2 x +15)=6000，
解得：x =150，
∴1
2 x +15=90．
答：该超市第一次购进甲种商品150 件、乙种商品90 件．
(2)(29−22)×150+(40−30)×90=1950(元)．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950 元．
(3)设第二次乙种商品是按原价打y 折销售，
根据题意得：(29−22)×150+(40× y
10 −30)×90×3=1950+180，
解得：y =8.5．
答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．
25. 已知|a+ 4|+(b−2)
2=0，数轴上A、B 两点所对应的数分别是a 和b．
(1)填空：a=___________，b=____________；
(2)数轴上是否存在点C，C 点在A 点的右侧，且点C 到A 点的距离是点C 到B 点
的距离的2 倍？若存在，请求出点C 表示的数；若不存在，请说明理由；
12
(3)点P 以每秒2 个单位的速度从A 点出发向左运动，同时点Q 以3 个单位每秒的
速度从B 点出发向右运动，点M 以每秒4 个单位的速度从原点O 点出发向左运动．
若N 为PQ 的中点，当PQ =16时，求MN 的长．
【答案】解：(1)−4 2 ；
(2)设C 点表示的数为x，根据题意得，
①当点C 在A、B 之间时，有
c + 4 =2(2−c)，
解得，c =0；
②当点C 在B 的右侧时，有
c + 4 =2(c−2)，
解得，c =8．
故点C 表示的数为0 或8；
(3)设运动的时间为t 秒，根据题意得，
2t +3t + AB =16，即2t +3t +6=16，
解得，t =2，
∴运动2 秒后，各点表示的数分别为：
P：−4−2×2=−8，Q：2+3×2=8，M：0−4×2=−8，N：−8+8
2
=0，
∴MN =0−(−8)=8．
