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专题24.5 圆内接四边形【六大题型】
【人教版】
【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】.......................................................................................................1
【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】................................................................................................2
【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】.......................................................................................................3
【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】........................................................................................4
【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】...................................................................................................5
【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】............................................................................7
【知识点1 圆内接四边形】
【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】
【例1】（2022•自贡）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD 的度
数是（ ）
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB，OD．当四边形OBCD 是菱
圆的内接四边形对角互补
四边形
是
的内接四边形
E
D
C
B
A
形时，则∠OBA+∠ODA 的度数是（ ）
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接
AE．若∠BCD＝2∠BAD，若连接OD，则∠DOE 的度数是 ．
【变式1-3】（2022 秋•包河区期末）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝ °．
【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】
【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，
CD＝2√2，则弦BD 的长为（ ）
A．2√5
B．3√5
C．√10
D．2√10
【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，过B 点作BH⊥AD 于点H，若∠BCD
＝135°，AB＝4，则BH 的长度为（ ）
A．√2
B．2√2
C．3√2
D．不能确定
【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正
半轴上，⊙D 经过A，B，O，C 四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D 的坐标是（ ）
A．(√3，1)
B．(−√3，1)
C．(−1，√3)
D．(−2，2√3)
【变式2-3】（2022 秋•汉川市期中）已知M 是弧CAB 的中点，MP 垂直于弦AB 于P，若弦AC 的长度为
x，线段AP 的长度是x+1，那么线段PB 的长度是 ．（用含有x 的代数式表示）
【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】
【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C 为^
BD
的中点，延长AB、DC 交于点E，且∠E＝60°，则⊙O 的面积是（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【变式3-1】（2022 秋•青山区期中）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．
若AD＝2，BC＝6，则△BOC 的面积为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形ABCD 中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E 在CD 的
延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD 的面积为 ．
【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知AC＝2√2，以AC 为弦的⊙O 上有B、D 两点，且
∠BAC＝∠DAC，则四边形ABCD 的面积最大值为 ．
【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】
【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC，BD 把它的4 个内分角成8 个角，用
下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠4
B．∠1+∠2+∠3+∠5＝180°
C．∠4＝∠7
D．∠ADC＝∠2+∠5
【变式4-1】（2022 秋•西湖区校级期中）若四边形ABCD 为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（
）
A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4
B．∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：1：4
C．∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：4
D．∠A：∠B：∠C：∠D＝4：3：2：1
【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形ABEC 内接于⊙O，点D 在AC 的延长线上，CE 平分
∠BCD 交⊙O 于点E，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．AB＝AE
B．AB＝BE
C．AE＝BE
D．AB＝AC
【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，A，P，B，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，CP
交AB 于点E．（1）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（2）①若P 是^
AB的中点，求证：PC＝
PA+PB；②若点P 在^
AB上移动，判断PC＝PA+PB 是否成立，证明你的结论
【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】
【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形ABCD 内接于⊙O，∠D＝90°，P 为^
CD上一动点（不与点
C，D 重合）．
（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O 的半径；
（2）若∠A＝90°，^
AD =^
AB，求证：PB﹣PD=√2PC．
【变式5-1】（2022 秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相
交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，如图2，四边形ABCD 内接于⊙O，^
AD =^
BD，四边形ABCD 的
外角平分线DF 交⊙O 于点F，连接BF 并延长交CD 的延长线于点E．
求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．
【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，延长DC 交AB 的延长
线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE 的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙O 和⊙O′都经过A、B 两点，过B 作直线交⊙O 于C，交⊙O′于
D，G 为圆外一点，GC 交⊙O 于E，GD 交⊙O′于F．
求证：∠EAF+∠G＝180°．
【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】
【例6】（2022 春•涟水县校级期末）如图1，已知△ABC，AB＝AC，以边AB 为直径的⊙O 交BC 于点
D，交AC 于点E，连接DE．
（1）求证：DE＝DC．
（2）如图2，连接OE，将∠EDC 绕点D 逆时针旋转，使∠EDC 的两边分别交OE 的延长线于点F，AC
的延长线于点G．试探究线段DF、DG 的数量关系．
【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AB＝AC．
（1）若∠BAC＝40°，求∠ADC 的度数；
（2）若BD⊥AC 交AC 于点E，请判断∠BAC 和∠DAC 之间的数量关系，并证明．
【变式6-2】（2022 秋•香洲区校级期中）画∠A，在∠A 的两边分别取点B，点C，在∠A 的内部取一点
P，连接PB，PC．探索BPC 与∠A，∠B，∠C 之间的数量关系，并证明你的结论．
【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边形对角互补．下
面我们进一步研究．
（1）在图（1）中．∠ECD 是圆内接四边形ABCD 的一个外角．请你探究∠DCE 与∠A 的关系．并说
明理由．
（2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知ABCD 是圆内接四边形，F、E 分别为BD，AD 延长
线上的点．如果DE 平分∠FDC．求证：AB＝AC．
