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第04 章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算
考点体系
考点1：与线段有关的计数问题
典例：（2018·内蒙古宁城·初一期末）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A 点与B、C 两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B 点与A、C 两点分别作
直线，可以作______________条；经过C 点与A、B 两点分别作直线，可以作___________条.
通过以上分析和总结，图1 共有___________条直线.
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2 共有_____________条直线；
图3 共有_____________条直线；
(3)探索归纳：
如果平面上有n(n≥3)个点，且每3 个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n 的
式子表示)
(4)解决问题：
中职篮（CBA）2017——2018 赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20 支，截止2017 年12 月21 日赛程
过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？
【答案】（1）2 2 2 3 （2）6 10 （3）
（4）190
【解析】（1）2；2；2；3；
（2）6；10；
（3）
（4）当n=20 时，
=
（场）.
故一共进行了190 场比赛.
方法或规律点拨
本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．
巩固练习
1．（2019·河南许昌·）观察表格：
1 条直线
0 个交点
平面分成（1+1）块
2 条直线
1 个交点
平面分成（1+1+2）
块
3 条直线
（1+2）个交点
平面分成（1+1+2+3）块
4 条直线
（1+2+3）个交点
平面分成（1+1+2+3+4）块
根据表格中的规律解答问题：
（1）5 条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（2）n 条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10 刀（不许重叠），最多可得到 块饼．
【答案】（1）10，16；（2）
n(n
1)
﹣
；1+
n(n+1)；（3）56
【解析】解：（1）5 条直线两两相交，有10 个交点，平面被分成16 块；
故答案为：10，16；
（2）2 条直线相交有1 个交点；
3 条直线相交有1+2＝3 个交点；
4 条直线相交有1+2+3＝6 个交点；
5 条直线相交有1+2+3+4＝10 个交点；
6 条直线相交有1+2+3+4+5＝15 个交点；
…
n 条直线相交有1+2+3+4+…+(n
1)
﹣
＝
n(n
1)
﹣
；
平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+
n(n+1)；
故答案为：
n(n
1)
﹣
；1+
n(n+1)；
（3）当n＝10 时，
（块），
故答案为：56
2．（2019·全国）平面内5 条相交直线最多可以有几个交点？
条直线呢？
【答案】10 个交点；
个.
【解析】解：平面内2 条直线相交有1 个交点，第3 条直线和前两条直线都相交，增加了2 个交点，得1＋
2＝3 个交点，第4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，得1＋2＋3＝6 个交点，第5 条直线和前
4 条直线都相交，增加了4 个交点，得1＋2＋3＋4＝10 个交点；
第n 条直线和前n−1 条直线都相交，增加了n−1 个交点，得1＋2＋3＋…n−1，其和为：1＋2＋3＋…n−1＝
个交点．
3．（2018·浙江全国·初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题．
(1)5 条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；
(2)n 条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．
【答案】(1)10,16;(2)
,[1＋
]
【解析】如图，
（1）任意画2 条直线，它们最多有1 个交点；
（2）任意画3 条直线，它们最多有3 个交点；
（3）任意画4 条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6 个交点；
（4）5 条直线最多有10 个交点；
n 条直线最多有
n（n-1）个交点．
一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4 部分，三条直线最多可以把平面分成7
部分，四条直线最多可以把平面分成11 部分，可以发现，两条直线时多了2 部分，三条直线比原来多了3
部分，四条直线时比原来多了4 部分，…，n 条时比原来多了n 部分．
因为n=1，a1=1+1，
n=2，a2=a1+2，
n=3，a3=a2+3，
n=4，a4=a3+4，
…
n=n，an=an-1+n，
以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+
．
当n=5 时，1+
=16．
4．（2019·全国初一）往返于A、B 两地的客车,途中要停靠C、D 两个车站,如图所示. 则需要设定几种不
同的票价?需要准备多少种车票?
【答案】设定6 种，准备12 种车票.
【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6 种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,
所以需要准备12 种车票.
5．（2019·全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB 上有两个点C、D，请分别写出以点A、
B、C、D 为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建：如果线段上有m 个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你
结论的正确性；
（3）拓展应用：8 位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场
比赛），那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.
【答案】（1）6；（2）
；（3）28
【解析】解：(1)∵以点A 为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C 为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D 为左端点的线段有线段DB，
∴共有3+2+1=6 条线段；
(2)
理由：设线段上有m 个点，该线段上共有线段x 条，
则x=(m−1)+(m−2)+(m−3)+…+3+2+1，
∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m−3)+(m−2)+(m−1)，
∴2x=m+m+…+m,(m−1)个m,
(3)把8 位同学看作直线上的8 个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上8 个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行
场比赛.
考点2：线段作图与计算的综合题
典例：（2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP 和点B，C，请用尺规按下列要
求作图：
（1）连接AB，并在射线AP 上截取AD＝AB；
（2）连接BC、BD，并延长BC 到E，使BE＝BD．
（3）在（2）的基础上，取BE 中点F，若BD＝6，BC＝4，求CF 的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF 的值为1
【解析】解：如图所示，
（1）连接AB，并在射线AP 上截取AD＝AB；
（2）连接BC、BD，并延长BC 到E，使BE＝BD．
（3）在（2）的基础上，
∵BE＝BD＝6，BC＝4，
∴CE＝BE﹣BC＝2
∵F 是BE 的中点，
∴BF＝
＝
＝3
∴CF＝BC﹣BF＝4
3
﹣＝1．
答：CF 的值为1．
方法或规律点拨
本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知线段
的长为
．
（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点
在线段
的延长线上，且
；
（2）在上题中，如果在线段
上有一点
，且线段
、
长度之比为
，求线段
的长．
【答案】（1）见解析；（2）3.5cm 或1.4xcm
【解析】（1）反向延长BA，以点A 为圆心，AB 为半径作圆交BA 的延长线于点C，则线段AC 即为所求;
（2）当
在线段
上时，
∵
,
，
∴
.∵
，
∴
．
当
在线段
上时，
∵
，
，
∴
.∵
，
∴
．
2．（2020·福建宁化·初一期末）如图，已知线段a 和线段AB，
（1）延长线段AB 到C，使BC＝a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，BC＝3，点O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长．
【答案】（1）见解析；（2） OB 长为1．
【解析】解：（1）如图：延长线段AB，在AB 的延长线上截取BC＝a．
（2）∵AB＝5，BC＝3，
∴AC＝8，
∵点O 是线段AC 的中点，
∴AO＝CO＝4，
∴BO＝AB
AO
﹣
＝5
4
﹣＝1，
∴OB 长为1．
3．（2020·河北涞源·初一期末）已知：如图，线段AB.
（1）根据下列语句顺次画图.
① 延长线段AB 至C，使BC=3AB，
② 画出线段AC 的中点D.
（2）请回答：
① 图中有几条线段；
② 写出图中所有相等的线段.
【答案】（1）画出图形，如图所示见解析；（2）① 6；②
.
【解析】解：(1)画出图形，如图所示.
(2)①图中的线段有：AB、BD、DC、AD、BC、AC，共6 条；
②相等的线段有：AB=BD，AD=CD.
故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD，AD=CD.
4．（2019·广西防城港·初一期末）如图，已知线段a 和射线OA，射线OA 上有点B．
（1）用圆规和直尺在射线OA 上作线段CD，使点B 为CD 的中点，点C 在点B 的左边，且BC=a．（不用
写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，若OB=12cm，OC=5cm，求线段OD 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）19cm
【解析】解：（1）如图所示：以B 为圆心，a 的长为半径画弧，交OA 于C、D 两点
（2）∵OB=12cm，OC = 5cm，
∴ BC= OB -OC =12-5 =7cm，
∵ B 为CD 的中点，
∴ BC =BD = 7cm，
∴ OD = OB +BD =12+7 = 19cm．
5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图，已知四点A、B、C、D．
（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：
①画直线AB．
②画射线DC．
③延长线段DA 至点E，使
．(保留作图痕迹)
④画一点P，使点P 既在直线AB 上，又在线段CE 上．
（2）在（1）中所画图形中，若
cm，
cm，点F 为线段DE 的中点，求AF 的长．
【答案】（1）见解析；（2）0.5cm．
【解析】解：（1）如图，该图为所求，
(2)∵AB=2cm，AB=AE，
∴AE=2cm，AD=1cm，
∵点F 为DE 的中点，
∴EF=
DE=
cm，
∴AF=AE-EF=2-
=
cm；
∴AF=0.5cm.
6．（2019·广东龙华·初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点
、
、
，其中
，且
．
（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）
①作射线
；
②在线段
上截取
；
③在线段
上截取
．
恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点
就称为线段
的
“黄金分割点”．
（2）阅读下面材料，并完成相关问题；
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618 倍，则称这个点为黄金分
割点．如图，
为线段
上一点，如果
，那么点
为线段
的黄金分割点．
已知某舞台的宽为30 米，一次演出时两位主持人分别站在舞台
上的两个黄金分割点
和
处，如图，
则这两位主持人之间的距离
约为_________米．
【答案】（1）见解析；（2）7.08
【解析】解：（1）如图1，点E 就称为线段AB 的“黄金分割点”；
（2）∵点Q 是MN 的黄金分割点，
∴MQ≈0.618MN＝18.54，
∴QN＝MN﹣MQ＝11.46，
∵点P 是MN 的黄金分割点，
∴NP≈0.618MN＝18.54，
∴PQ＝NP﹣QN＝18.54
11.46
﹣
＝7.08（米），
故答案为：7.08．
7．（2019·闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），
并填空．
（1）作线段AB，使得AB＝a＋b；
（2）在直线AB 外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB（填“＜”或“＞”号），理由
是 ．
【答案】（1）图见解析； （2）＞；两点之间线段最短．
【解析】
（1）如图所示：
（2）由题意，得AC＋BC＞AB
理由是两点之间线段最短.
考点3：动点有关的线段问题
典例：（2020·江西东湖·期末）已知：如图1，点M 是线段AB 上一定点，AB＝12cm，C、D 两点分别从
M、B 出发以1cm/s、2cm/s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段
BM 上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D 运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D 运动了2s，求AC+MD 的值．
（3）若点C、D 运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN﹣BN＝MN，求
的值．
【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）
或1．
【解析】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，
∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，
故答案为：2cm，4cm；
（2）当点C、D 运动了2 s 时，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12
2
4
﹣﹣＝6 cm；
（3）根据C、D 的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，
∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+2AM＝AB，
∴AM＝
AB＝4，
故答案为：4；
（4）①当点N 在线段AB 上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝4
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12
4
4
﹣﹣＝4
∴
；
②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB＝12
∴
；
综上所述
或1
故答案为
或1．
方法或规律点拨
本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题
关键．
巩固练习
1．（2020·浙江镇海·期末）已知数轴上，点
为原点，点
对应的数为9，点
对应的数为
，点
在点
右侧，长度为2 个单位的线段
在数轴上移动．
（1）当线段
在
、
两点之间移动到某一位置时恰好满足
，求此时
的值．
（2）当线段
在射线
上沿
方向移动到某一位置时恰好满足
，求此时
的值．
【答案】（1）b=3.5；（2）
或—5
【解析】解：（1）线段AC 可以表示为
，
根据AC=OB，列式
，解得
；
（2）当B 在O 点右侧（或O 点）时，
，解得
，
当B 在O 点左侧时，
，解得
，
∴b 的值为
或
．
2．（2021·重庆开学考试）如图，
是线段
上任意一点，
，
两点分别从点
开始，
同时向点
运动，且点
的运动速度为
，点
的运动速度为
，运动时间为
．
（1）若
．
①求运动
后，
的长；
②当点
在线段
上运动时，试说明
．
（2）如果
，试探索
的长．
【答案】（1）①3cm；②见解析；（2）9 或11
【解析】解：（1）①由题可知：
②
（2）当
时，
当点
在
的右边时，如图所示：
由于
当点
在
的左边时，如图所示：
综上所述，
或11
3．（2020·全国初一课时练习）已知
，
两点在数轴上表示的数为
和
，
，
均为数轴上的点，
且
．
（1）若
，
的位置如图所示，试化简：
；
（2）如图，若
，
，求图中以
，
，
，
，
这5 个点为端点的所有线段（无
重复）长度的和；
（3）如图，
为
中点，
为
中点，且
，
，若点
为数轴上一点，且
，试求点
所对应的数．
【答案】（1）b-a；（2）41.6；（3）
或3．
【解析】（1）由已知得
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
；
（2）∵
，
∴
，
又∵
，
∴
；
（3）∵
，
∴
．
∵
为
的中点，
为
的中点，
∴
，
，
∴
．
又∵
，
所以
，
解得
，
∴
．
当点
在点
的左边时，点
在原点的左边，
，
故点
所对应的数为
；
当点
在点
的右边时，点
在原点的右边，
，
故点
所对应的数为3．
综上，点
所对应的数为
或3．
4．（2020·河南太康·初一期末）(1)如图，已知点C 在线段AB 上，AC＝6 cm，且BC＝4 cm，M，N 分别是
AC，BC 的中点，求线段MN 的长度；
(2)在(1)题中，如果AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请你用一句简洁的话
表述你发现的规律；
(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6 cm，BC＝4 cm，点C 在直线AB 上，M，N 分别是
AC，BC 的中点，求MN 的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
【答案】(1)5 cm;(2)MN＝
cm.MN 的长度为线段AC，BC 长度和的二分之一．(3)有变化．当AB 在点C
同侧时，MN＝1 cm.
【解析】解：(1)∵AC=6cm，BC=4cm，点M，N 分别是AC，BC 的中点，
(2)
直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
(3)如图，有变化，会出现两种情况：
①当点C 在线段AB 上时,
②当点C 在AB 或BA 的延长线上时,
5．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P 是线段AB 上一点，AB=12cm，C、D 两点分别从P、B 出
发以1cm/s、2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上），运动的时间为t.
（1）当t=1 时，PD=2AC，请求出AP 的长；
（2）当t=2 时，PD=2AC，请求出AP 的长；
（3）若C、D 运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP 的长；
（4）在（3）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ 的长.
【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm 或12cm
【解析】解：(1) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以
(cm).
因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以
(cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以
(cm).
(2) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以
(cm).
因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以
(cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以
(cm).
(3) 因为点C 从P 出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以
(cm).
因为点D 从B 出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以
(cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以
(cm).
(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.
(i) 点Q 在线段AB 上(如图①).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为
，所以
.
故
.
因为AB=12cm，所以
(cm).
(ii) 点Q 不在线段AB 上，则点Q 在线段AB 的延长线上(如图②).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为
，所以
.
故
.
因为AB=12cm，所以
(cm).
综上所述，PQ 的长为4cm 或12cm.
6．（2020·山东崂山·初一期末）如图，已知线段AB、a、b．
（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
①延长线段AB 到C，使BC＝a；
②反向延长线段AB 到D，使AD＝b．
（2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，且点E 为CD 的中点，求线段AE 的长度．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AE＝2cm．
【解析】（1）①如图所示，线段BC 即为所求，
②如图所示，线段AD 即为所求；
（2）∵AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，
∴CD＝8+6+10＝24cm，
∵点E 为CD 的中点，
∴DE＝
DC＝12cm，
∴AE＝DE﹣AD＝12
10
﹣
＝2cm．
7．（2019·河北初三二模）如图，已知数轴上有两点
，它们的对应数分别是
，其中
（1）在
左侧作线段
，在
的右侧作线段
（要求尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹）
（2）若点
对应的数是
，点
对应的数是
，且
，求
的值
（3）在（2）的条件下，设点
是
的中点，
是数轴上一点，且
，请直接写出
的
长
【答案】（1）见解析；（2）c=-68；d=92；（3）28 或
【解析】（1）解：如图，线段
为所求的线段
（2）因为
；
（3）分情况讨论：
①点N 在线段CD 上，
由（2）得CD＝92−（−68）＝160，点B 对应的数为12−40＝−28，
∴BD＝92−（−28）＝120，
∵点M 是BD 的中点，
∴点M 对应的数为92−60＝32，
∵CN＝4DN，
∴DN＝
CD＝32，
∴点N 对应的数为92−32=60，
∴MN＝60−32＝28；
②点N 在线段CD 的延长线上，
∵CN＝4DN，
∴DN＝
CD＝
，
∴点N 对应的数为92＋
＝
，
∴MN＝
−32＝
．
故
的长为28 或
．
8．（2019·江西贵溪·初一期末）如图，点
是定长线段
上一点，
、
两点分别从点
、
出发以1
厘米/秒，2 厘米/秒的速度沿直线
向左运动（点
在线段
上，点
在线段
上）．
（1）若点
、
运动到任一时刻时，总有
，请说明点
在线段
上的位置；
（2）在（1）的条件下，点
是直线
上一点，且
，求
的值；
（3）在（1）的条件下，若点
、
运动5 秒后，恰好有
，此时点
停止运动，点
继续运
动（点
在线段
上），点
、
分别是
、
的中点，下列结论：①
的值不变；②
的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P 在线段AB 的
处；（2）
或；（3）结论②
的值不变正确，
.
【解析】解：（1）设运动时间为t 秒，则
，
由
得
，即
，
，
，即
所以点P 在线段AB 的
处；
（2）①如图，当点Q 在线段AB 上时，
由
可知
，
②如图，当点Q 在线段AB 的延长线上时，
，
综合上述，
的值为
或；
（3）②
的值不变.
由点
、
运动5 秒可得
，
如图，当点M、N 在点P 同侧时，
点
停止运动时，
，
点
、
分别是
、
的中点，
当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以
；
如图，当点M、N 在点P 异侧时，
点
停止运动时，
，
点
、
分别是
、
的中点，
当点C 停止运动，点D 继续运动时，MN 的值不变，所以
；
所以②
的值不变正确，
.
考点4：静态图形中的角度计算与证明
典例：（2020·江西东湖·期末）若
的度数是
的度数的k 倍，则规定
是
的k 倍角.
（1）若∠M=21°17'，则∠M 的5 倍角的度数为 ；
（2）如图1，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中
∠AOB 的所有3 倍角；
（3）如图2，若∠AOC 是∠AOB 的5 倍角，∠COD 是∠AOB 的3 倍角，且∠AOC 和∠BOD 互为补角，
求∠AOD 的度数.
【答案】（1）106°25'；（2）∠AOD，∠BOE；（3）120°.
【解析】解：（1）
；
故答案为：
.
（2）∵OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，∠AOC=∠COE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；
∴图中∠AOB 的所有3 倍角有：∠AOD，∠BOE；
（3）设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.
∴∠BOC=4x，
∵∠AOC 和∠BOD 互为补角，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，
即5x+7x=180°，
解得：x=15°.
∴∠AOD=8x=120°.
方法或规律点拨
此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知
，
平分
，
，
，求
、
的度数．
【答案】
，
【解析】解：由题意得：
平分
，
，
，
又
，
，解得
，
∴
，
．
2．（2020·岳阳市第十中学初一期末）如图1，已知∠AOB 的内部有一条射线OC，OM、ON 分别平分
∠AOC 和∠BOC．
（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON 的度数．
（2）若取掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON 的度数．
（3）若将∠AOB 内部的射线OC 旋转到∠AOB 的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON 的度数，并请
用一句话或一个式子概括你发现的∠MON 与∠AOB 的数量关系．
【答案】（1）∠MON＝60°；（2）∠MON＝60°；（3）
．
【解析】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°
40°
﹣
＝80°，
∵OM、ON 分别平分∠AOC 和∠BOC，
∴∠MOC＝
，
，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；
（2）∵OM、ON 分别平分∠AOC 和∠BOC，
∴∠MOC＝
，
，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝
＝
＝
＝60°；
（3）∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，
∴∠MOC＝
∠AOC，∠NOC＝
∠BOC，
所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝
∠AOC﹣
∠BOC＝
（∠AOC﹣∠BOC）＝
＝
×120°
＝60°
，
综上可知
．
3．（2020·甘肃肃州·初一期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD 平分∠AOB，且∠COD＝20°，求
∠AOB 的度数．
【答案】120°
【解析】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．
∴∠AOB＝3x．
又OD 平分∠AOB，
∴∠AOD＝1.5x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x
x
﹣＝20°．
∴x＝40°
∴∠AOB＝120°．
4．（2019·山西浑源·初一期末）已知∠COD＝90°，且∠COD 的顶点O 恰好在直线AB 上．
（1）如图1，若∠COD 的两边都在直线AB 同侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝20°时，∠AOC 的度数为 °；
②当∠BOD＝55°时，∠AOC 的度数为 °；
③若∠BOD＝α，则∠AOC 的度数用含α 的式子表示为 ；
（2）如图2，若∠COD 的两边OC，OD 分别在直线AB 两侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC 的度数为 ；
②如图3，当OB 恰好平分∠COD 时，∠AOC 的度数为 °；
③图2 中，若∠BOD＝α，则∠AOC 的度数用含α 的式子表示为 ．
【答案】（1）①70；②35；③90°－α；（2）①118°30′；②135；③90°＋α
【解析】解：（1）①∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=20°，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-20°=70°．
②∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=55°，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-55°=35°．
③∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=α，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-α=90°-α．
（2）①∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=28°30′，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-28°30′=61°30′，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-61°30′=118°30′．
②∵∠COD=90°，OB 平分∠COD
∴∠BOC=
∠COD=45°，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-45°=135°．
③∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=α，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-α，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-(90°-α)=90°+α．
5．（2020·全国初一课时练习）如图，O 在直线AC 上，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内．
（1）若OE 是∠BOC 的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；
（2）若∠BOE=
∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC 的度数．
【答案】（1）见解析；（2）72°
【解析】（1）如图，因为OD 是∠AOB 的平分线，OE 是∠BOC 的平分线，
所以∠BOD=
∠AOB，∠BOE=
∠BOC，
所以∠DOE=
（∠AOB+∠BOC）=
∠AOC=90°；
（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD=
（180°–3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+
（180°–3x）=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
6．（2020·湖北广水·初一期末）已知点O 为直线AB 上一点，将直角三角板MON 的直角顶点放在点O 处，
并在∠MON 内部作射线OC．
（1）如图1，三角板的一边ON 与射线OB 重合，且∠AOC＝150°．若以点O 为观察中心，射线OM 表示
正北方向，求射线OC 表示的方向；
（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC 恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM 的度数；
【答案】（1）射线OC 表示的方向为北偏东60°；（2）∠AOM＝45°；
【解析】解：（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°
90°
﹣
＝60°，
∴射线OC 表示的方向为北偏东60°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC 平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴∠NOC＝22.5°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°
90°
45°
﹣
﹣
＝45°．
7．（2020·全国初一课时练习）如图，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线．
(1)如图1，当∠AOB 是直角，∠BOC=60°时，∠MON 的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON 与α 的数量关系；
(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β 时，猜想：∠MON 与α、β 有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理
由．
【答案】（1）45°；（2）∠MON=
α．（3）∠MON=
α
【解析】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，
∴∠MOC=
∠AOC=75°，∠NOC=
∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．
（2）如图2，∠MON=
α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，
∴∠MOC=
∠AOC=
α+30°，∠NOC=
∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（
α+30°）﹣30°=
α．
（3）如图3，∠MON=
α，与β 的大小无关．
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．
∵OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，
∴∠MOC=
∠AOC=
（α+β），
∠NOC=
∠BOC=
β，
∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣
β=α+
β．
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=
（α+β）﹣
β=
α
即∠MON=
α．
8．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是
∠BOC 的平分线．
（1）求∠MON 的大小；
（2）当∠AOC＝
时，∠MON 等于多少度？
【答案】（21）45°；（2）45°
【解析】解：（1）∵∠AOB 是直角，∠AOC=50°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，
∵ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，
∴∠COM=
∠BOC=
×140°=70°，
∠CON=
∠AOC=
×50°=25°，
∴∠MON=∠COM-∠CON
=70°－25°
=45°；
（2）当∠AOC=
时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+
，
∵ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，
∴∠COM=
∠BOC=
（90°+
），
∠CON=
∠AOC=
，
∴∠MON=∠COM－∠CON=
（90°+
）－
=45°.
9．（2019·内蒙古临河·初一期末）已知，O 为直线AB 上一点，∠DOE=90°．
（1）如图1，若∠AOC=130°，OD 平分∠AOC．
①求∠BOD 的度数；
②请通过计算说明OE 是否平分∠BOC．
（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD 的度数．
【答案】（1）①115°；②答案见解析；（2）∠AOD＝50°
【解析】解：（1）①∵OD 平分∠AOC，∠AOC=130°，
∴∠AOD=∠DOC=
∠AOC=
×130°=65°，
∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－65°=115°；
②∵∠DOE=90°，又∠DOC=65°，
∴∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－65°=25°，
∵∠BOD=115°，∠DOE=90°，
∴∠BOE=∠BOD－∠DOE=115°－90°=25°，
∴∠COE=∠BOE，
即OE 平分∠BOC；
（2）若∠BOE：∠AOE=2：7，
设∠BOE=2x，则∠AOE=7x，
又∠BOE＋∠AOE=180°，∴2x+7x=180°，
∴x=20°，∠BOE=2x=40°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD＝90°－40°=50°.
10．（2020·辽宁庄河·期末）如图，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点
处，
，
，
与
重合，在
外
，射线
、
分别是
、
的角平分
线
（1）求
的度数；
（2）如图
，若保持三角尺
不动，三角尺
绕点逆时针旋转
时，其他条件不变，
求
的度数（提示：旋转角
）
（3）在旋转的过程中，当
时，直接写出
的值．
【答案】（1）
；（2）75º；（3）
．
【解析】（1）∵
，
，射线
、
分别是
、
的角平分线，
∴∠COM=
∠AOC=45º，∠BON=
∠BOD=30º，
∴∠MON=∠COM+∠BON=75º；
（2）∵
，
，
，
∴∠AOC=90º-nº，∠BOD=60º-nº，
∵射线
、
分别是
、
的角平分线，
∴∠COM=
∠AOC=
(90º-nº)= 45º-
nº，∠BON=
∠BOD=
(60º-nº)=30º-
nº，
∴∠MON=∠COM+∠BON+∠BOC=45º-
nº+30º-
nº+ nº=75º；
（3）由叠合可得
=150 º，
∴
=
(150 º-120 º)=15 º.
11．（2019·四川雁江·初一期末）如图，点
为直线
上一点，过点
作射线
，使
，
将一直角三角板的直角顶点放在点
处（
），一边
在射线
上，另一边
在直线
的下方．
（1）将图1 中的三角板绕点
逆时针旋转至图2，使一边
在
的内部，且恰好平分
，求
的度数；
（2）将图1 中的三角板绕点
以每秒5〫
的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直
线
恰好平分锐角
，求的值；
将图1 中的三角板绕点
逆时针旋转至图3，使一边
在
的内部，请探究
的值．
【答案】（1）35°；（2）11 或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．
【解析】解：（1）如图2 中，
∵OM 平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵∠BOC=110°，
∴∠MOB=55°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；
（2）（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC=110°
∴∠AOC=70°，
当当ON 的反向延长线平分∠AOC 时，∠AOD=∠COD=35°，
∴∠BON=35°，∠BOM=55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得，5t=55°
解得t=11；
②如图3，当射线ON 平分∠AOC 时，∠NOA=35°，
∴∠AOM=55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，
由题意得，5t=235°，
解得t=47，
综上所述，t=11s 或47s 时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC；
故答案为：11 或47；
（3）∠AOM-∠NOC=20°．
理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）=20°，
∴∠AOM 与∠NOC 的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．
12．（2020·山西浑源·初一期末）综合与探究：
问题情境：如图，已知∠AOB＝90°，射线OC 在∠AOB 的外部且0°＜∠BOC＜180°．OM 是∠AOC 的角
平分线，ON 是∠BOC 的角平分线．
特例探究：（1）如图1，
①当∠BOC＝40°时，∠MON 的度数为 °；
②当∠BOC＜90°时，求∠MON 的度数；
猜想拓广：（2）若∠AOB＝α（0＜α＜90°），
①当∠AOB＋∠BOC＜180°时，则∠MON 的度数是 °；（用含α 的代数式表示）
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时，请在图2 中画出图形，并直接写出∠MON 的度数．（用含α 的代数式表
示）
【答案】（1）①45；②45°；（2）①
②画图见解析；
．
【解析】（1）①
平分
平分
故答案为：45．
②如图1，
∵OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线．
∴∠MOC＝
∠AOC，∠NOC＝
∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC－∠NOC
∴∠MON＝
∠AOC
∠BOC．
＝
（∠AOC－∠BOC）
＝
∠AOB＝
×90°＝45°．
（2）①∵OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线．
∴∠MOC＝
∠AOC，∠NOC＝
∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
∴∠MON＝
∠AOC
∠BOC．
＝
（∠AOC﹣∠BOC）
＝
∠AOB
．
故答案为：
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时补全图形如图2．
∵OM 是∠AOC 的角平分线，ON 是∠BOC 的角平分线．
∴∠MOC＝
∠AOC，∠NOC＝
∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC＋∠NOC
∴∠MON＝
∠AOC
∠BOC．
＝
（∠AOC＋∠BOC）
＝
．
所以∠MON 的度数为
考点5：与旋转角有关的计算与证明
典例：（2020·全国初一课时练习）[阅读理解]射线
是
内部的一条射线，若
则我们称射线
是射线
的伴随线．
例如，如图1，
，则
，称射线
是
射线
的伴随线：同时，由于
，称射线
是射线
的伴随线．
[知识运用]
（1）如图2，
，射线
是射线
的伴随线，则
，若
的度数是
，射线
是射线
的伴随线，射线
是
的平分线，则
的度数是 ．（用
含
的代数式表示）
（2）如图，如
，射线
与射线
重合，并绕点
以每秒
的速度逆时针旋转，射线
与射线
重合，并绕点
以每秒
的速度顺时针旋转，当射线
与射线
重合时，运动停止，
现在两射线同时开始旋转．
①是否存在某个时刻（秒），使得
的度数是
，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线
中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【答案】（1）
，
；（2）①存在，当
秒或25 秒时，∠COD 的度数是20
；②当
，
，
，
时，OC、OD、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【解析】（1）∵
，射线
是射线
的伴随线，
根据题意，
，则
；
∵
的度数是
，射线
是射线
的伴随线，射线
是
的平分线，
∴
，
，
∴
；
故答案为：
，
；
（2）射线OD 与OA 重合时，
（秒），
①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则
，
∴
；
若在相遇之后，则
，
∴
；
所以，综上所述，当
秒或25 秒时，∠COD 的度数是20°；
②相遇之前：
（i）如图1，
OC 是OA 的伴随线时，则
，
即
，
∴
；
（ii）如图2，
OC 是OD 的伴随线时，
则
，
即
，
∴
；
相遇之后：
（iii）如图3，
OD 是OC 的伴随线时，
则
，
即
，
∴
；
（iv）如图4，
OD 是OA 的伴随线时，则
，
即
，
∴
；
所以，综上所述，当
，
，
，
时，OC、OD、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴
随线．
方法或规律点拨
本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的
思想思考问题．
巩固练习
1．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使
∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°）
(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；
(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求
∠COD 的度数；
(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试猜想∠BOD 和
∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）20；（2）20 º；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．
【解析】（1）如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°
70°=20°
﹣
；
（2）如图②，∵OC 平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；
（3）∠COE﹣∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
=∠COE﹣∠BOD
=90°
70°
﹣
=20°，
即∠COE﹣∠BOD=20°．
2．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD 在线段AB 上
运动，E、F 分别是AC、BD 的中点.
（1）若AC=4cm，则EF=_________cm.
（2）当线段CD 在线段AB 上运动时，试判断EF 的长度是否发生变化？如果不变请求出EF 的长度，如果
变化，请说明理由.
（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知
在
内部转动，OE、OF 分别平分
在
，则
、
和
有何关系，请直接写出_______________________.
【答案】（1）11（2）11cm（3）
【解析】（1）∵AB=20cm，CD=2cm，AC=4cm，
∴ BD=AB－AC－CD= 20－2－4=14cm，
∵E、F 分别是AC、BD 的中点，
∴EC=2cm，DF=7cm，
∴EF=2+2+7=11cm；
（2）EF 的长度不发生变化，
∵E、F 分别是AC、BD 的中点，
∴EC=
AC，DF=
DB，
∴EF=EC+CD+DF
=
AC+CD+
DB
=
（AC+BD）+CD
=
（AB－CD）+CD
=
（AB+CD），
∵AB = 20cm， CD = 2cm，
∴EF =
（20+2）=11cm；
（3）∠EOF=
（∠AOB+∠COD）.
理由：∵OE、OF 分别平分∠AOC 在∠BOD，
∴∠COE=
∠AOC,∠DOF=
∠BOD，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF
=
∠AOC+∠COD+
∠BOD
=
(∠AOC+∠BOD)+∠COD
=
(∠AOB−∠COD)+∠COD
=
(∠AOB+∠COD).
故答案为：∠EOF=
(∠AOB+∠COD).
3．（2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）已知直线AB 过点O，∠COD＝90°，OE 是∠BOC 的平
分线．
（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝
②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ （用含α 的代数式表示）
（2）操作探究：将图1 中的∠COD 绕顶点O 顺时针旋转到图2 的位置，其他条件不变，②中的结论是否
成立？试说明理由．
（3）拓展应用：将图2 中的∠COD 绕顶点O 逆时针旋转到图3 的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求
∠DOE 的度数，（用含α 的代数式表示）
【答案】（1）20°，
；（2）成立，理由见详解；（3）180°－
．
【解析】解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，
∵OE 平分∠BOC，
∴∠BOE＝
∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，
②如图1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°
α
﹣，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°
α
﹣＝180°
α
﹣，
∵OE 平分∠BOC，
∴∠BOE＝
∠BOC＝90°﹣
α，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣
α﹣（90°
α
﹣）＝
α，
（2）（1）中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°
α
﹣，
∵OE 平分∠BOC，
∴∠EOC＝
∠BOC＝90°﹣
α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣
α）＝
α；
（3）如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°
α
﹣，
∵OE 平分∠BOC，
∴∠EOC＝
∠BOC＝90°﹣
α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋（90°﹣
α）＝180°﹣
α．
4．（2020·全国初一课时练习）如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O 重合在一起．
（1）若
，如图①，请求出
的度数；
（2）若
，如图②，请求出
的度数；
（3）猜想：
和
的关系（请直接写出答案即可）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）∵
，
∴
（2）∵
，
∴
∴
（3）∠AOD 和∠BOC 的关系是：∠AOD+∠BOC=180°．理由如下：
如图①，∠AOD+∠BOC=360°－∠AOB－∠DOC=360°－90°－90°=180°；
如图②，∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOB+∠COD=90°
+90°=180°．
综上所述：∠AOD+∠BOC=180°．
5．（2020·全国初一课时练习）已知
是
内部的一条射线，
，
分别为
，
上的点，
线段
，
同时分别以
，
的速度绕点
逆时针转动，设转动时间为
．
（1）如图（1），若
，
，
逆时针转动到
，
处．
①若
，
的转动时间为2，则
________；
②若
平分
，
平分
，求
的值．
（2）如图（2），若
，当
，
分别在
，
内部转动时，请猜想
与
的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①40゜；②60゜；（2）
，理由见解析．
【解析】（1）∵线段OM、ON 分别以30°/s、10°/s 的速度绕点O 逆时针旋转2s，
∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，
∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；
故答案为：40°；
②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，
∴∠AOM′=∠COM′=
∠AOC，∠BON′=∠CON′=
∠BOC，
∴∠COM′+∠CON′=
∠AOC+
∠BOC=
∠AOB=
×120°=60°，
即∠MON=60°；
（2）∠COM=3∠BON，理由如下：
设∠BOC=
，则∠AOB=4
，∠AOC=3
，
∵旋转t 秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t，
∴∠COM=3
-30t=3（
-10t），∠NOB=
-10t，
∴∠COM=3∠BON．
6．（2020·全国初一课时练习）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面
结合一道几何题来体验一下.
（发现猜想）（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC 为∠BOD 的角平分线，则∠AOC 的度
数为 ；.
（探索归纳）（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC 为∠BOD 的角平分线. 猜想∠AOC 的度数（用
含m、n 的代数式表示），并说明理由.
（问题解决）（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB 绕点O 以每秒20°逆
时针旋转，射线OC 绕点O 以每秒10°顺时针旋转，射线OD 绕点O 每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋
转，当一条射线与直线OA 重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线
夹角的角平分线？
【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝
；理由见解析；（3）经过
，
，4 秒时，其中一条射线是
另外两条射线夹角的平分线.
【解析】（1）85°；
（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n
∴∠BOD＝n－m
∵OC 为∠BOD 的角平分线
∴∠BOC＝
∴∠AOC＝
+m＝
（3）设经过的时间为x 秒，
则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；
①当在x＝之前，OC 为OB，OD 的角平分线；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；
②当x 在和2 之间，OD 为OC，OB 的角平分线；－30+20x＝100－50x，x2＝
；
③当x 在2 和之间，OB 为OC，OD 的角平分线；70－30x＝－100+50x，x3＝
；
④当x 在和4 之间，OC 为OB，OD 的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.
答：经过
，
，4 秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
7．（2020·全国初一课时练习）如图①，
是直线
上的一点，
是直角，
平分
.
（1）若
，则
的度数为 ；
（2）将图①中的
绕顶点
顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，探究
和
的度
数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图①中的
绕顶点
顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出
和
的度数之间的关系.
【答案】(1) 15°；（2）∠AOC=2∠DOE；（3）∠AOC=360°
2
﹣∠DOE
【解析】解：（1）由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°，
又∠COD 是直角，OE 平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COD﹣
∠BOC=90°﹣
×150°=15°；
（2）∠AOC=2∠DOE；
理由：∵∠COD 是直角，OE 平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°﹣∠DOE，
则得∠AOC=180°﹣∠BOC=180°
2
﹣∠COE=180°
2
﹣（90°﹣∠DOE），
所以得：∠AOC=2∠DOE；
（3）∠AOC=360°
2
﹣∠DOE；
理由：∵OE 平分∠BOC，
∴∠BOE=2∠COE，
则得∠AOC=180°﹣∠BOE=180°
2
﹣∠COE=180°
2
﹣（∠DOE
90°
﹣
），
所以得：∠AOC=360°
2
﹣∠DOE
8．（2020·全国初一课时练习）如图，以直线
上一点
为端点作射线
，使
，在同一
个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点
处.（注：
）
（1）如图1，如果直角三角板
的一边
放在射线
上，那么
的度数为______；
（2）如图2，将直角三角板
绕点
按顺时针方向转动到某个位置，如果
恰好平分
，求
的度数；
（3）如图3，将直角三角板
绕点
任意转动，如果
始终在
的内部，请直接用等式表示
和
之间的数量关系.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
.
【解析】解：（1）∵
，
∴
故答案为：
（2）∵
平分
，
，
∴
，
∵
，
∴
．
（3）∵
，
∴
∴
或
．
故答案为：
或
．
9．（2020·全国初一课时练习）如图，射线
，
，
，
分别表示以点
为中心的北，东，南，
西四个方向，点
在点
的北偏东
方向，点
在点
的北偏西
方向．
（1）画出射线
，若
与
互余，请在图（1）或备用图中画出
；
（2）若
是
的平分线，直接写出
的度数．（不需要计算过程）
【答案】（1）见解析；（2）
或
．
【解析】（1）如图所示，
与
即为所求．
（2）
的度数为
或
．
∵∠AON=45°，∠BON=30°，
∴∠AOB=75°，
∵∠BOC 与∠AOB 互余，
∴∠BOC=∠BOC′=15°，
∴∠AOC=90°，∠AOC=60°，
∵OP 是∠AOC 的角平分线，
∴∠AOP=45°或30°．
10．（2017·河南平舆·初一期末）如图，已知同一平面内
，
．
（1）问题发现：
的余角是_____，
的度数是_____；
（2）拓展探究：若
平分
，
平分
，则
的度数是_____．
（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果将题目中的
改为
；
改
为
，其他条件不变，你能求出
吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请
说明理由．
【答案】（1）∠AOD，150°；（2）45°；（3）
=
【解析】（1）∵
，
∴∠BOD+∠AOD=90°，
∴
的余角是∠AOD，
∵
，
,
∴
=∠AOB+∠AOC=150°，
故答案为：∠AOD，150°；
（2）由（1）知
=150°，
∵
平分
，
∴∠COD=75°，
∵
平分
，
∴∠COE=30°，
∴
=∠COD-∠COE=45°，
故答案为：45°；
（3）能求出
的度数，
∵
，
，
∴∠BOC=
∵
平分
，
，
∴∠COD=
，
∵
平分
，
∴∠COE=
，
∴
=∠COD-∠COE=
.
11．（2019·沈阳市第七中学初一期中）数学课上小明用一副三角板进行如下操作：把一副三角板中两个直
角的顶点重合，一个三角板固定不动，另一个三角板绕着重合的顶点旋转（两个三角板始终有重合部分）．
（1）当旋转到如图所示的位置时，量出∠α＝25°，通过计算得出∠AOD＝∠BOC＝ ；
（2）通过几次操作小明发现，∠α≠25°时．∠AOD＝∠BOC 仍然成立，请你帮他完成下面的说理过程．
理由：因为∠AOC＝∠BOD＝ ；
所以，根据等式的基本性质∠ ﹣∠COD＝∠BOD﹣∠ ；
即∠AOD＝∠ ．
（3）小莹还发现在旋转过程中∠AOB 和∠DOC 之间存在一个不变的数量关系，请你用等式表示这个数量
关系 ．
【答案】（1）65°；（2）90°，AOC，COD，BOC；（3）∠AOB+∠COD＝180°．
【解析】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°
α
﹣＝90°
25°
﹣
＝65°；
（2）因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以，根据等式的基本性质∠AOC﹣∠COD＝∠BOD﹣∠COD，
即∠AOD＝∠BOC；
（3）∵∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣∠AOD，∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝90°+∠AOD，
∴∠AOB+∠COD＝90°+∠AOD+90°﹣∠AOD＝180°．
故答案为：（1）65°；（2）90°，AOC，COD，BOC；（3）∠AOB+∠COD＝180°．
12．（2020·辽宁望花·初一期末）已知点O 为直线AB 上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°
（1）如图1，当射线OC、射线OD 在直线AB 的两侧时，请回答结论并说明理由；
①∠COD 和∠BOE 相等吗？
②∠BOD 和∠COE 有什么关系？
（2）如图2，当射线OC、射线OD 在直线AB 的同侧时，请直接回答；
①∠COD 和∠BOE 相等吗？
②第（1）题中的∠BOD 和∠COE 的关系还成立吗？
【答案】（1）①∠COD＝∠BOE，理由见解析；②∠BOD+∠COE＝180°，理由见解析；（2）①∠COD
＝∠BOE，②成立
【解析】解：（1）①∠COD＝∠BOE，理由如下：
∵∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝∠DOE+∠BOD，
即∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，理由如下：
∵∠DOE＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝∠AOB＝180°，
∴∠BOD+∠AOE＝180°
90°
﹣
＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠AOE+∠AOC＝90°+90°＝180°，
（2）①∠COD＝∠BOE，
∵∠COD+∠BOD＝∠BOC＝90°＝∠DOE＝∠BOD+∠BOE，
∴∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，
∵∠DOE＝90°＝∠BOC，
∴∠COD+∠BOD＝∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠COD+∠BOE+∠BOD＝∠BOC+∠DOE＝90°+90°＝180°，
因此（1）中的∠BOD 和∠COE 的关系仍成立．
13．（2020·河北承德·初一期末）如果两个角的差的绝对值等于
，就称这两个角互为反余角，其中一个
角叫做另一个角的反余角，例如，
，
，
，则
和
互为反余角，
其中
是
的反余角，
也是
的反余角．
如图
为直线AB 上一点，
于点O，
于点O，则
的反余角是______，
的反余角是______；
若一个角的反余角等于它的补角的
，求这个角．
如图2，O 为直线AB 上一点，
，将
绕着点O 以每秒
角的速度逆时针旋转得
，同时射线OP 从射线OA 的位置出发绕点O 以每秒
角的速度逆时针旋转，当射线OP 与射线
OB 重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t 秒，求当t 为何值时，
与
互为反余角图中所
指的角均为小于平角的角．
【答案】（1）
的反余角是
，
的反余角是
（2）
或者
（3）当t 为
40 或者10 时，
与
互为反余角
【解析】
的反余角是
，
的反余角是
；
设这个角为
，则补角为
，反余角为
或者
：当反余角为
时
解得：
：当反余角为
时
解得：
答：这个角为
或者
设当旋转时间为t 时，
与
互为反余角．
射线OP 从射线OA 的位置出发绕点O 以每秒
角的速度逆时针旋转，当射线OP 与射线OB 重合时旋转
同时停止，
此时：
．
解得：
或者
答：当t 为40 或者10 时，
与
互为反余角．
15．（2020·河北乐亭·初一期末）直线
上有一点
，过
作射线
，嘉琪将一直角三角板的直角顶
点与
重合．
（1）嘉琪把三角板
如图1 放置，若
，则
，
；
（2）嘉琪将直角三角板绕
点顺时针旋转一定角度后如图2，使
平分
，且
，
求
的度数．
【答案】（1）30°，120°；（2）∠BOE=72° ．
【解析】(1) ∵
，
，
∴
，
，
故答案为：30°，120°；
(2)∵∠COF=2∠AOC，
∴∠AOF=∠COF＋∠AOC
=2∠AOC＋∠AOC
=3∠AOC ，
∵OF 平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=3∠AOC，
∵∠COE=90°，
∴5∠AOC=90°，
∴∠AOC=18°，
∴∠AOE=6∠AOC =6×18°=108°，
∴∠BOE=180°－∠AOE=180°－108°=72° ．
