2025年河南鹤壁中考数学试题及答案

2025 年河南鹤壁中考数学试题及答案
注意事项：
1．本试卷共6 页，三个大题，满分120 分，考试时间100 分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试
卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3 分，共30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．在学校足球比赛中，如果某班足球队进4 个球记作
个，那么该队失3 个球记作
（   ）
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
2．数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（   ）
A．
B．
C．
D．
3．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有
，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“
”用科学记数法表示为（   ）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内
角的度数为（   ）
A．
B．
C．
D．
5．一元二次方程
的根的情况是（   ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
6．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为
，
的三个顶点均在网格线的交点上，
点D、E 分别是边
、
与网格线的交点，连接
，则
的长为（   ）
  
A．
B．1
C．
D．
7．化简
的结果是（   ）
A．
B．
C．
D．
8．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲
骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡
片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概
率是（   ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在菱形
中，
，点
在边
上，连接
，将
沿
折叠，
若点
落在
延长线上的点
处，则
的长为（   ）
A．2
B．
C．
D．
10．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而
变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数
与车速
之间的函数关系如图所示．下列说
法中错误的是（   ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
B．当
时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于
，车速应不低于
D．若车速从
增大到
，则这款轮胎的摩擦系数减小
二、填空题（每小题3 分，共15 分）
11．请写出一个使
在实数范围内有意义的
的值：              ．
12．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽
取20 株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为
，则这两种
小麦长势更整齐的是              （填“甲”或“乙”）．
13．观察
，根据这些式子的变化规律，可得第
个式子为              ．
14．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割
圆术”时的一个图形，
所在圆的圆心为点O，四边形
为矩形，边
与
相切于
点
，连接
，
，连接
交
于点
．若
，则图中阴影部分的面积为  
．
15．定义：有两个内角的差为
的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在
中，
，
，点
为边
上一点，若
为“反直角三角形”，则
的长为  
．
三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分）
16．（1）计算：
；
（2）化简：
．
17．为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国
学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级
各随机抽取50 名学生进行测试，并对测试得分（10 分为满分，9 分或9 分以上为优秀）进行整
理、描述、分析，部分信息如下．
得分统计图
得分统计表
统计
量
年级
七年
级
八年
级
平均
数
7.86
7.86
中位
数
a
8
众数
7
b
优秀
率
c
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表格中的
________，
________，
_________．
(2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
18．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系
中，其中含
角的三角板
的直角边
落在
轴上，含
角的三角板
的直角顶点
的坐标为
，反比例
函数
的图象经过点
．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板
绕点
顺时针旋转
边上的点
恰好落在反比例函数图象上，求旋
转前点
的坐标．
19．如图，四边形
是平行四边形，以
为直径的圆交
于点
．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心
（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若点
是
的中点，连接
．求证：四边形
是平行四边形．
20．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已
知2 箱甲种苹果和3 箱乙种苹果的售价之和为440 元；4 箱甲种苹果和5 箱乙种苹果的售价
之和为800 元．
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价．
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12 箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果
的箱数．求该公司最少需花费多少元．
21．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南
部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动
主题
测量纪念碑的高度
实物
图和
测量
示意
图
测量
说明
如图，纪念碑
位于有台阶的平台
上，太阳光下，其顶端
的影子落在点
处，同一时刻，竖直放置的标杆
顶端
的影子落在点
处，位于点
处的观
测者眼睛所在位置为点
，点
在一条直线上，纪念碑底部点
在观测者的
水平视线上．
测量
数据
备注
点
在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子
的长和标杆
的长相等，可得
，请说明理由．
(2)求纪念碑
的高度．
(3)小红通过间接测量得到
的长，进而求出纪念碑
的高度约为
．查阅资料得知，
纪念碑的实际高度为
．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差
较大的可能原因（写出一条即可）．
22．在二次函数
中，
与
的几组对应值如下表所示．
…
0
1
…
…
1
…
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移
个单位长度后，当
时，若图象对应的函数最大值与
最小值的差为5，请直接写出
的值．
23．在
中，点
是
的平分线上一点，过点
作
，垂足为点
，过点
作
，垂足为点
，直线
交于点
，过点
作
，垂足为点
．
(1)观察猜想
如图1，当
为锐角时，用等式表示线段
的数量关系：__________．
(2)类比探究
如图2，当
为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是
否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
(3)拓展应用
当
，且
时，若
，请直接写出
的值．
1．B
【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为
正，则失球数应记为负，据此求解即可．
【详解】解：如果某班足球队进4 个球记作
个，那么该队失3 个球记作
个，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．
根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案．
【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1 的正数的一般形
式为
，其中
，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．n 的值
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定．
【详解】解：
，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，
，再利用对顶角相等求解即可．
【详解】解：由量角器可知，
，
，
即所量内角的度数为
，
故选：C．
答案第1页，共2页
5．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握
，方程有两个不相等的实数根；
，方程有两个相等的实数根；
，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根
的判别式求解即可．
【详解】解：一元二次方程
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出
是
的中
位线是解题关键．取格点
、
，由网格的性质可知，
，得到
，
，进而证明
是
的中位线，即可求解．
【详解】解：如图，取格点
、
，
  
由网格的性质可知，
，
，
，
、
分别是
、
的中点，
是
的中位线，
，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变
为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可．
答案第1页，共2页
【详解】解：
，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正
面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12 种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2 种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为
．
故选：B．
9．D
【分析】由折叠的性质可知，
，
，再根据菱形的性质，得出
，从而求出
，则
，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知，
，
，
在菱形
中，
，
，
，
，
，
答案第1页，共2页
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理
化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．
10．C
【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的
摩擦系数
与车速
之间的函数关系图，逐项判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，当
时，
，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
，原
说法正确，不符合题意；
B、由图象可知，当
时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不
符合题意；
C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于
，车速应不高于
，原说法错误，符合题意；
D、由图象可知，当
时，
；当
时，
，即车速从
增大到
，则这款轮胎的摩擦系数减小
，原说法正确，不符合题意；
故选：C
11．3（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解
题的关键．根据二次根式有意义得到
求解，取恰当的值即可．
【详解】解：由题意得，
，
解得
，
∴使
在实数范围内有意义的
的值可以为；
故答案为：3（答案不唯一）．
12．甲
【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则
平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好
答案第1页，共2页
是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解．
【详解】解：
两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为
，
，
两种小麦长势更整齐的是甲，
故答案为：甲．
13．
【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，
得到第
个式子为
，即可得到答案．
【详解】解：第1 个式子：
，
第2 个式子：
，
第3 个式子：
，
第4 个式子：
，
……
观察发现，第
个式子为
，
故答案为：
14．
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到
，由垂径定理可得
，
由圆周角定理可得
，进而证明
是等边三角形，得到
，再根据阴
影部分的面积
求解即可．
【详解】解：
所在圆的圆心为点O，边
与
相切于点
，
，
，
四边形
为矩形，
，
，
，
答案第1页，共2页
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，
等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
15．
或
【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质
等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：
①当
时，过点
作
于点
，由等腰三角形的性质得到
，
证明
，得到
，即可求出
的长；②当
时，过点
作
交
于点
，由等角对等边得到
，再证明
，设
，
进而得出
，
，根据
求出
的值，即可求出
的长；
③当
时，利用锐角三角函数，得出
，
，即此种情况不存
在；④当
时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解．
【详解】解：
，
，
，
，
，
答案第1页，共2页
若
为“反直角三角形”，
①当
时，过点
作
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当
时，过点
作
交
于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
答案第1页，共2页
，
，
，
，
，
；
③当
时，
，
，且
，
，
，
若
，则
，即
，
此种情况不存在；
④当
时，
当点
与点
重合时，
最小，此时
，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知，
的长为
或
，
故答案为：
或
．
16．（1）0；（2）1
【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减；
（2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
答案第1页，共2页
【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，
解题的关键是掌握以上运算法则．
17．(1)7.5；8；
(2)见解析
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关
键．
（1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可；
（2）可以根据众数和中位数做决策．
【详解】（1）解：抽取50 名学生，则中位数为第25，26 名同学成绩的平均数，由条形统计图可
得中位数
；
八年级得分为8 分的人数最多为23 人，
∴众数
；
八年级的得分优秀率为：
，
故答案为：7.5；8；
；
（2）解：八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数和
众数都高于七年级．
18．(1)反比例函数的表达式为：
(2)
【分析】（1）把
的坐标为
代入反比例函数
即可得到答案；
（2）求解
，证明
，求解
，如图，连接
，
旋转到
的位置；可得
，结合
的对应点
在
的图象上，可得
，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵含
角的三角板
的直角顶点
的坐标为
，反比例函数
的图象经过点
．
答案第1页，共2页
∴
，
∴反比例函数的表达式为：
；
（2）解：∵
，
∴
，
∵含
角的三角板
为等腰直角三角形，
，
∴
，
，
如图，连接
，
旋转到
的位置；
∴
，
∵
的对应点
在
的图象上，
∴
，
∴
，
由旋转可得：
，
∴
.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的
应用，理解题意是解本题的关键.
19．(1)作图见详解
(2)证明过程见详解
【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识
是关键．
（1）运用尺规作直径
的垂直平分线即可；
答案第1页，共2页
（2）根据平行四边形的性质结合题意得到
，
，即
，由
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：如图所示，
∵
是直径，
∴运用尺规作直径
的垂直平分线角
于点
，
∴点
即为所求点的位置；
（2）证明：如图所示，
∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∵点
分别是
的中点，
∴
，
，即
，
∴四边形
是平行四边形．
20．(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为
元、
元；
(2)该公司最少需花费
元．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题
意正确列式是解题关键．
（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为
元、元，根据“2 箱甲种苹果和3 箱乙种苹果的
售价之和为440 元；4 箱甲种苹果和5 箱乙种苹果的售价之和为800 元”，列二元一次方程
答案第1页，共2页
组求解即可；
（2）设购买甲种苹果
箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出
的取值范围，设该公司需花费
元，得到
关于
的一次函数，求出最值即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为
元、
元，
则
，
解得：
，
答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为
元、
元；
（2）解：设购买甲种苹果
箱，则购买乙种苹果
箱，
则
，
解得：
，
设该公司需花费
元，
则
，
，
随
的增大而增大，
当
时，
有最小值为
，
即该公司最少需花费
元．
21．(1)见解析；
(2)纪念碑
的高度为
．
(3)小红的结果误差较大，理由见解析
【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角
形的判定和性质是解题关键．
（1）根据平行投影的性质可得
，即可证明结论；
（2）令
与
的交点为
，则四边形
和
是矩形，设
，证明
，得到
，求出
的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因
即可．
答案第1页，共2页
【详解】（1）解：太阳光下，其顶端
的影子落在点
处，同一时刻，竖直放置的标杆
顶
端
的影子落在点
处，
，
标杆的影子
的长和标杆
的长相等，即
，
；
（2）解：如图，令
与
的交点为
，
则四边形
和
是矩形，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
答：纪念碑
的高度为
．
（3）解：纪念碑的实际高度为
，小红求出纪念碑
的高度约为
，（2）中纪念碑
的高度为
，
则小红的结果误差较大，
答案第1页，共2页
理由是：纪念碑
位于有台阶的平台
上，点
的位置无法正确定位，使得
的长存在
误差，影响计算结果．
22．(1)
(2)
；见解析
(3)
或
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；
（3）分两种情况解答，即可求解．
【详解】（1）解：把点
代入得：
，
解得：
，
∴二次函数的解析式为
；
（2）解：
，
∴二次函数图象的顶点坐标为
，对称轴为直线
，
∴点
关于直线
的对称点为
，
画出函数图象，如图，
答案第1页，共2页
（3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为
，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线
，
当平移后抛物线的对称轴在直线
左侧时，此时最小值为
，
，即
，
当
时，取得最大值，最大值为
，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴
，
解得：
或
（舍去）；
当平移后抛物线对称轴在直线
右侧时，此时最小值为
，
，即
，
答案第1页，共2页
当
时，取得最大值，最大值为
，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴
，
解得：
或
（舍去），
综上所述，n 的值为
或
．
23．(1)
(2)图见解析；不成立，
，证明见解析
(3)
 或
．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定
与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）如图，过点C 作
于点P，由角平分线的性质定理可得
，再证明
可得
，然后说明四边形
是矩形可得
，最后
根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图，过点C 作
于点Q，由角平分线的性质定理可得
，再证明
可得
，然后说明四边形
是矩形可得
，最后根据
线段的和差以及等量代换即可解答；
（3）分
和
分别利用（1）
（2）的相关结论以及相似三角形的
答案第1页，共2页
判定与性质、勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：如图，过点C 作
于点P，
∵
平分
，
，
，
∴
，
在
和
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
．
故答案为：
．
（2）解：不成立，
，证明如下：
如图，过点C 作
于点Q，
∵
平分
，
，
，
∴
，
答案第1页，共2页
在
和
中，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
∴
．
（3）解：①如图：当
时，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
②如图：当
时，
答案第1页，共2页
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
综上，
的值为
 或
．
答案第1页，共2页