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河南省2026 年初中学业水平考试试卷
数学
注意事项：
1．本试卷共三个大题，满分120 分，考试时间100 分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在
试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3 分，共30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 某地一天早晨的气温是3 C
−
，到中午升高了5 C
，则中午的气温是（ ）
A.
3 C
−
B.
2 C
−
C. 2 C
D. 5 C
【答案】C
【解析】
【详解】解：由题意得 ：
(
)
3
5
2
−+
=
℃．
2. 今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．将“共建美丽中国”这六个汉字分别
写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“建”字所在面相对的面上的汉字
是（ ）
A. 美
B. 丽
C. 中
D. 国
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答．
【详解】解：与“建”字所在面相对面上的汉字是“丽”．
3. 下列调查中，适宜用全面调查（普查）的是（ ）
A. 检查某载人飞船的零部件质量
B. 检测一条河流的水质情况
C. 了解某市中学生的课外阅读时间
D. 调查一批玉米种子的发芽率
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【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全面调查(普查)和抽样调查的选择，掌握普查的适用场景是解题关键，当调查要求结果
准确，无破坏性，事关安全或调查对象范围可控时适宜用普查．
【详解】解：A、载人飞船零部件质量关系飞行安全，每个零件都必须检查，不能出错，因此适宜用普
查；
B、检测整条河流的水质，范围较大，不需要逐处检测，因此适宜用抽样调查；
C、某市中学生数量较多，全面调查工作量大，因此适宜用抽样调查；
D、调查玉米种子发芽率，检测过程会对种子造成破坏，具有破坏性，因此适宜用抽样调查．
4. 已知
2
x =
是关于x 的方程
2
6
x
mx
−
=
的一个根，则m 的值为（ ）
A. 5
B.
5
−
C. 1
D.
1
−
【答案】D
【解析】
【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数m 的一元一次方程，解出m 即可．
【详解】解：∵
2
x =
是方程
2
6
x
mx
−
=
的一个根，
∴将
2
x =
代入原方程，得
2
2
2
6
m
−
=
，
整理得4 2
6
m
−
=
，
移项得2
2
m
−
=
，
两边同除以2
−，得
1
m = −．
5. 如图，ABC
与
A B C
△
关于直线l 对称，
90
C
=
，
8
AC =
，
6
BC =
，则A B
的长为（ ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称的性质得到
=
AB
AB ，再在Rt
ABC
△
中利用勾股定理求出斜边AB 的长，即可得到
A B
的长度．
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【详解】解：
90
C
=
，
8
AC =
，
6
BC =
，
在Rt
ABC
△
中，
2
2
10
AB
AC
BC
=
+
=
，
ABC
与
A B C
△
关于直线l 对称，
10
A B
AB
=
=
．
6. 如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知AB
CD
，1
50
=
，
2
30
=
，则
3
的
度数为（ ）
A. 90
B. 80
C. 70
D. 60
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图，
∵AB
CD
，
∴
4
1
50
= =
，
∴
3
2
4
80
= +=
．
7. 下列式子中，运算结果为
2
4
x −
的是（ ）
A. (
)
2
2
x −
B. (
)(
)
2
2
x
x
+
−
C. (
)(
)
2
2
x
x
+
−
D.
(
)
4
x x −
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多项式乘法运算，只需将各选项展开后，与目标结果
2
4
x −
对比即可得到答案，可利用
平方差公式简化计算．
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【详解】解：选项A，
2
2
(
2)
4
4
x
x
x
−
=
−
+
，不符合要求；
选项B，
(
)(
)
2
2
2
2
4
4
x
x
x
x
+
−
=
−
= −
+
，不符合要求；
选项C，根据平方差公式，(
)(
)
2
2
2
2
2
2
4
x
x
x
x
+
−
=
−
=
−
，符合要求；
选项D，
(
)
2
4
4
x x
x
x
−
=
−
，不符合要求．
8. 2026 年4 月，我国自主研发的SYT80 （T1200 级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的
T1200级碳纤维产品．SYT80 超高强度碳纤维拉伸强度突破
3
8 10
兆帕，普通钢材的拉伸强度约为
2
8 10
兆帕．数据“
3
8 10
”是“
2
8 10
”的（ ）
A. 2 倍
B. 5 倍
C. 8 倍
D. 10 倍
【答案】D
【解析】
【详解】
解：由题意得
3
3 2
2
8 10
10
10
8 10
−
=
=
．
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，对角线OB ，AC 交于点P ，
2
OA =
，
4
OC =
．将矩形OABC 向左平移，当点P 的对应点落在y 轴上时，点A的对应点的坐标为（ ）
A. (
)
2,2
−
B. (
)
2,1
−
C. (
)
0,2
D. (
)
0,1
【答案】A
【解析】
【分析】先求出
(
)
2,1
P
，得出矩形OABC 向左平移2 个单位，即可求出结论．
【详解】解：在矩形OABC 中，
2
OA =
，
4
OC =
，
(
)
(
)
1
0,2 ,
4,0 ,
2
A
C
PA
PC
AC
=
=
，
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0
4 2
0
,
2
2
P
+
+
，即
(
)
2,1
P
，
∵将矩形OABC 向左平移，当点P 的对应点落在y 轴上时，
∴点P 的对应点坐标(
)
0,1 ，即矩形OABC 向左平移2 个单位，
∴平移后点A的对应点的坐标为(
)
2,2
−
．
10. 团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进
行装饰．如图，已知扇面边缘为
O
，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P 作PA ，PB 分别与
O
相切于点A，B ，得到AB ．若
O
的半径为9cm，
60
APB
=
，则小红想要装饰的AB 的长为
（ ）
A. 3πcm
B. 6πcm
C. 9πcm
D. 27πcm
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA
OB
、
，根据全等三角形的判定和性质得出Rt
Rt
(HL)
OAP
OBP
≌
，
,
OPA
OPB
AOP
BOP
=
=
，确定
60
AOP
BOP
=
=
，得出
120
AOB
=
，利用弧长公式求
解即可．
【详解】解：连接OA
OB
、
，如图所示：
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∵PA，PB分别与
O
相切于点A，B ，
∴
90
OAP
OBP
=
=
，
∵OA
OB
OP
OP
=
=
，
∴Rt
Rt
(HL)
OAP
OBP
≌
，
∴
,
OPA
OPB
AOP
BOP
=
=
，
∵
60
APB
=
，
∴
30
OPA
OPB
=
=
，
∴
60
AOP
BOP
=
=
，
∴
120
AOB
=
，
∵
O
的半径为9cm，
∴AB 的长为：120
9
6 cm
180
=
．
二、填空题（每小题3 分，共15 分）
11. 请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________．
【答案】y
x
=
（答案不唯一）
【解析】
【分析】正比例函数的一般形式为
(
)
0
y
kx k
=
，由图象经过第一、三象限可得
0
k
，写出一个满足条
件的表达式即可．
【详解】解：取
1
k = ，满足
0
k
，
因此图象经过第一、三象限的正比例函数表达式为y
x
=
（答案不唯一）．
12. 方程
2
1
1
x
x
的解为_________．
【答案】
1
x =
【解析】
【分析】先去分母得2
1
x
x
=
+ ，再解整式方程，最后检验即可得出结果．
【详解】解：去分母得2
1
x
x
=
+ ，
解得
1
x =
，
当
1
x =
时，(
)
(
)
1
1
1 1
2
0
x x +
=
+
=
，
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∴ 方程
2
1
1
x
x
的解为
1
x =
．
13. 如图，AB 为
O
的直径，C ，D 为
O
上两点，
40
ADC
=
，则
CAB
的度数为_________．
【答案】50
【解析】
【分析】由圆周角定理得到
40
90
ABC
ADC
ACB
=
=
=
，
，再根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵
AC
AC
=
，
∴
40
ABC
ADC
=
=
，
∵AB 为
O
的直径，
∴
90
ACB
=
，
∴
90
50
CAB
ABC
=
−
=
．
14. 在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声
音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从F ，G ，A ，B 四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹
奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______．
【答案】1
2
【解析】
【分析】先画出树状图，然后求出概率．
【详解】解：画树状图如下：
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等可能出现的情况共12 种，符合题意的情况有6 种，
∴发出的声音构成二度音程的概率为6
1
12
2
=
．
15. 如图，在ABC
中，
5
AB
AC
=
=
，
6
BC =
，CD是角平分线．点E 为边BC 上一点，连接AE ，
交CD于点F ，连接BF ．若
2 5
AE =
，则BF 的长为_____．
【答案】2 2 或10 2
3
【解析】
【分析】过点A作AI
BC
⊥
于点I ，先由等腰三角形的性质求出
3
BI
CI
=
=
，则
2
2
4
AI
AB
BI
=
−
=
，然后分点E 在点I 的左侧和右侧两种情况，构造相似三角形求解即可．
【详解】解：过点A作AI
BC
⊥
于点I ，
∵
5
AB
AC
=
=
，
6
BC =
，
∴
3
BI
CI
=
=
，
∴
2
2
4
AI
AB
BI
=
−
=
当点E 在I 左侧时，记作点
1
E ，
∴
(
)
2
2
2
2
1
1
2 5
4
2
IE
AE
AI
=
−
=
−
=
∴
1
1
3
2
1
BE
BI
IE
=
−
= −
=
，
1
1
3
2
5
CE
CI
IE
CA
=
+
= +
=
=
∵CD平分
ACB
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∴
1
1
1
AF
E F
=
过点
1F 作
1FM
BC
⊥
于点M ，则
1FM
AI
∥
∴
1
1
1
E FM
E AI
△
∽△
∴
1
1
1
1
1
1
1
2
E M
F M
E F
E I
AI
E A
=
=
=
∴
1
1
2,
1
FM
E M
=
=
∴
1 1
2
BM = + =
∴
2
2
1
1
2 2
BF
BM
F M
=
+
=
；
当点E 在I 右侧时，记作点
2
E ，则同理
2
2
IE =
，
∴
2
2
3
2
1
CE
IC
IE
=
−
= −
=
过点A作AO
BC
交CD延长线于点O，则1
3
= ，
2
2
2
AOF
E CF
△
∽△
∵CD平分
ACB
∴
1
2
=
∴
2
3
=
∴
5
AO
AC
=
=
∵
2
2
2
AOF
E CF
△
∽△
∴
2
2
2
2
5
AF
AO
CE
E F
=
=
，
同理可得，
2
2
2
E F N
E AI
△
∽△
∴
2
2
2
2
2
2
1
6
E F
E N
F N
E A
E I
AI
=
=
=
∴
2
1
1
2
6
3
E N =
=
，
2
1
2
4
6
3
F N =
=
∴
2
2
1
14
6 1
3
3
BN
BC
CE
NE
=
−
−
=
−−
=
∴
2
2
2
2
10 2
3
BF
BN
F N
=
+
=
，
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综上：BF 的长为2 2 或10 2
3
．
三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分）
16. 按要求解答下列问题：
（1）计算：(
)
0
1
1
3
π
2
4
−
−
−
+
．
（2）解不等式组：3
1
2
2
5
3
x
x
x
−
+
+
①
②
完成以下解答过程．
（ⅰ）解不等式①，得_________．
（ⅱ）解不等式②，得_________．
（ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
（ⅳ）所以，原不等式组的解集是_____．
【答案】（1）1 （2）（i）
1
x （ii）
2
x −
（iii）
（iv）2
1
x
−
【解析】
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，然后计算加减即可；
（2）根据解不等式组的步骤作答即可．
【小问1 详解】
解：原式
1
1
1
2
2
= −
+
1
= ；
【小问2 详解】
略．
17. 加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径．某学校科创
社团组装了甲、乙两个投篮机器人，准备从中选一个参加青少年科技创新大赛．为此，该社团对两个投篮
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机器人分别进行了10组测试（每组测试投篮10次，以投进次数作为测试成绩），并对测试成绩整理、描
述、分析如下．
测试成绩统计表
统计量
甲
乙
平均数
7.1
7.1
中位数
a
7
众数
8
b
方差
2
1s
2
2s
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表中a 的值为_________，b 的值为_________，
2
1s _________
2
2s （填“”“= ”或“”）．
（2）你认为科创社团应选哪个投篮机器人参加青少年科技创新大赛？请说明理由．
【答案】（1）7；9；
（2）应选甲投篮机器人．理由如下：
因为甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数相同，中位数相同，但甲的方差小于乙的方差，说明甲投篮
机器人的成绩更稳定．
【解析】
【分析】（1）按照中位数和众数的定义和计算方法即可求得a ，b 的值，再根据折线统计图可知乙成绩的
波动大于甲成绩，进而可判断
2
1s ，
2
2s 的大小．
（2）在甲、乙两个投篮机器人测试成绩的平均数，中位数相同的情况下，比较两者方差即可．
【小问1 详解】
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解：将甲的成绩从小到大顺序排列为：6 6 6 7 7 7 8 8 8 8
，，，，，，，，，，
∵甲的成绩一共10个数据，其中第5 个与第6 个数据分别为7 7
，，
中位数
7
7
7
2
a
+
=
=
．
∵乙的成绩为：4 9 6 5 9 9 6 9 7 7
，，，，，，，，，，其中9 出现的次数最多，
9
b =
．
根据折线统计图可知：乙成绩的波动大于甲成绩，
2
2
1
2
s
s
．
【小问2 详解】
略
18. 近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本
书的长度加上她的一拳长是1 尺，这本书长度的2 倍比她的一拳长的3 倍多1 尺．这本书的长度和小文的
一拳长分别是多少尺？
【答案】这本书的长度是0.8尺，小文的一拳长是0.2 尺
【解析】
【分析】设这本书的长度是x 尺，小文的一拳长是y 尺，根据“一本书的长度加上她的一拳长是1 尺，这本
书长度的2 倍比她的一拳长的3 倍多1 尺”列出二元一次方程组求解．
【详解】解：设这本书的长度是x 尺，小文的一拳长是y 尺．
根据题意，得
1
2
3
1
x
y
x
y
+
=
−
=
，
解这个方程组，得
0.8
0.2
x
y
=
=
，
答：这本书的长度是0.8尺，小文的一拳长是0.2 尺．
19. 如图，在
ABCD
中，点E 为边BC 上一点，连接AE ．
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（1）请用无刻度的直尺和圆规作
DCM
，使
DCM
BAE
=
，且射线CM 交边AD 于点F （保留作
图痕迹，不写作法）．
（2）判断线段BE与（1）中得到的线段DF 的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）如图所示即为所求：
（2）BE
DF
=
，证明如下：
∵
ABCD
，
∴
,
AB
CD
B
D
=
=
，
由（1）得
BAE
DCF
=
，
∴
(ASA)
ABE
CDF
△
≌△
，
∴BE
DF
=
．
【解析】
【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出
,
AB
CD
B
D
=
=
，再由全等三角形的判定和性质即可证明．
【小问1 详解】
略．
【小问2 详解】
略．
20. 今年是红军长征胜利90 周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午8:00 从学校出发步行
到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度v （km/ h）与步行全程所用时间t （h ）的函数关
系如图1 所示．
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（1）求v 关于t 的函数表达式．
（2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h ，那么学生步行的平均速度至少为多
少？
（3）学生出发0.25h 后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整
理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程y （km）与学生步行时间t （h ）的函
数关系如图2 所示．下列三个说法：
①李老师在补给点停留的时间为1h ；
②李老师比学生先到达长征纪念广场；
③学生从学校到补给点所走路程为4km．
其中正确说法的序号是_____．
【答案】（1）
8
v
t
=
（2）学生步行的平均速度v 至少为3.2km/h
（3）②③
【解析】
【分析】（1）由题意知，v 是t 的反比例函数，设
k
v
t
=
，代入(
)
4,2 ，即可求解；
（2）将
2.5
t =
代入
8
v
t
=
，求得
3.2km/h
v =
，结合题意，即可求解；
（3）根据函数图象分析即可求解．
【小问1 详解】
解：由题意知，v 是t 的反比例函数，设
k
v
t
=
当
4
t =
时，
2
v =
∴
8
k =
∴
8
v
t
=
【小问2 详解】
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把
2.5
t =
代入
8
v
t
=
，得
3.2km/h
v =
∴学生步行的平均速度v 至少为3.2km/h
【小问3 详解】
解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为1.25 0.75
0.5h
−
=
，故①不正确；
②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确；
③学生从学校到补给点所走路程为8 4
4km
−
=
，故③正确．
21. 某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实
践活动，记录如下．
活
动
主
题
地下车库入口改造
采
集
信
息
图1 是地下车库入口示意图．
①点C ，B ，D 在同一水平线上，
点E ，A，F 在同一水平线上，
//
CD EF ．
②斜坡AB 的长为10 m ，
26.4
BAF
=
．
③车库限高2.7 m ．
设
计
方
案
如图2，保持点A不动，将点B
沿射线BD 平移到点B，使
18.4
B AF
=
．
完
成
任
务
任务一：求BB的长．
任务二：调整限高．经计算，点
C 到斜坡AB的距离约为
3.47 m ．在保障行车安全的前
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提下，车库限高标志上的数值最
大可为________．（结果均保留
一位小数）
请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：sin26.4
0.44
，cos26.4
0.90
，tan26.4
0.50
，
sin18.4
0.32
，cos18.4
0.95
，tan18.4
0.33
）．
【答案】任务一：
'
BB 的长约为4.3m．任务二：3.4m．
【解析】
【分析】任务一：作AH
CD
⊥
，垂足为H ，利用解直角三角形，求出HB、HB，由BB
HB
HB
=
−
即
可求解；
任务二：采用去尾法求近似数即可．
【详解】任务一：
解：如图，作AH
CD
⊥
，垂足为H ，
∵
26.4
BAF
=
，CD
EF
∥
，
∴
26.4
ABC
BAF
=
=
，
18.4
AB C
B AF
=
=
，
∴在Rt ABH
中，
(
)
sin
10sin 26.4
10 0.44
4.4 m
AH
AB
ABC
=
=
=
，
(
)
cos
10cos26.4
10 0.90
9.0 m
HB
AB
ABC
=
=
=
，
∴在Rt AB H
中，
( )
4.4
4.4
13.33 m
tan
tan18.4
0.33
AH
HB
AB C
=
=
，
∴
(
)
13.33
9.0
4.3 m
BB
HB
HB
=
−
−
．
任务二：
解：点C 到斜坡AB的距离约为3.47m．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为
3.4m．
22. 定义：若点P ，Q 在同一抛物线上，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大3，则称点Q 是点P 的“黄金
搭档点”．例如，抛物线
2
y
x
=
上，点(
)
3,9 是点(
)
0,0 的“黄金搭档点”．
（1）点(
)
0, 3
A
−
和点B 在抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+
上，点B 是点A的“黄金搭档点”，且点B 的纵坐标为
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12．求b ，c 的值．
（2）点M ，N 在（1）中的抛物线上，且点N 是点M 的“黄金搭档点”．
①若点M ，N 的纵坐标相等，求点M ，N 的横坐标．
②抛物线上M ，N 两点之间的部分（含M ，N 两点）记为图象W ，设点M 的横坐标为m ，当
5
0
2
m
−
时，若图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，请直接写出m 的值．
【答案】（1）
2
b =
；
3
c = −
（2）①点M 的横坐标为
5
2
−
，点N 的横坐标为1
2 ；②4
3
−+
或4
5
−+
【解析】
【分析】（1）根据题意得出
(3,12)
B
，然后利用待定系数法求解即可；
（2）①设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为
3
t +
，根据题意建立方程求解即可；
②根据题意得出对称轴为：
2
1
2 1
x
−
−
=
=
，顶点坐标为( 1, 4)
−−
，抛物线与x 轴的交点为( 3,0),(1,0)
−
，
点N 的横坐标为：
3
m+
，1
3
3
2
m
+
，然后分情况分析：当
5
1
2
m
−
−，1
3 1
2
m
+
时，当
5
1
2
m
−
−，1
3
2
m
+
时，当1
0
m
−
时，2
3
3
m
+
，结合图象建立方程求解即可．
【小问1 详解】
解：∵点B 是点A的“黄金搭档点”，
(
)
0, 3
A
−
，点B 的纵坐标为12，
∴
(3,12)
B
，
∵点
(
)
0, 3
A
−
和点B 在抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+
上，
∴
3
9
3
12
c
b
c
= −
+
+
=
，
解得：
3
2
c
b
= −
=
；
【小问2 详解】
解：①设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为
3
t +
，
由（1）得
2
2
3
y
x
x−
=
+
，
∵点M ，N 的纵坐标相等，
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∴
2
2
2
3
(
3)
2(
3)
3
t
t
t
t
+
−=
+
+
+
−
，
解得：
5
2
t
−
=
，
∴
5
1
3
3
2
2
t + = −
+ =
，
∴点M 的横坐标为
5
2
−
，点N 的横坐标为1
2 ；
②由（1）得
2
2
3
y
x
x−
=
+
，
对称轴为：
2
1
2 1
x
−
−
=
=
，
当
1
x = −时，
4
y
−
=
，
∴顶点坐标为( 1, 4)
−−
，
当
0
y =
时，
2
2
3
0
x
x
+
−
=
，
∴(
3)(
1)
0
x
x
+
−
=
解得：
1
2
3,
1
x
x
−
=
= ，
∴抛物线与x 轴的交点为( 3,0),(1,0)
−
，
∵点N 是点M 的“黄金搭档点”，点M 的横坐标为m ，当
5
0
2
m
−
时，
∴点N 的横坐标为：
3
m+ ，1
3
3
2
m
+
，
当
5
1
2
m
−
−时，1
3
2
2
m
+
，
∵抛物线与x 轴的一个交点为(1,0) ，
∴当
5
1
2
m
−
−，1
3 1
2
m
+
时，如图所示：
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点M、N 均在x 轴下方，最低点为抛物线的顶点( 1, 4)
−−
，
∵
5
( 1)
( 1)
1 ( 1)
2
m
−
−−
−−
−−−
即
3
1
0
2
m
−
+
，
1
( 1)
3 ( 1)
1 ( 1)
2
m
−−
+ −−
−−
即3
4
2
2
m
+
，
∴此时点N 离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，
∴点N 到x 轴的距离为5 4
1
−
= ，
此时点N 的纵坐标为1
−，
∴
2
(
3)
2(
3)
3
1
m
m
+
+
+
−= −，
解得：
1
4
3
m = −+
，
2
4
3
m = −−
（不符合题意，舍去）；
当
5
1
2
m
−
−，1
3
2
m
+
时，如图所示：
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点M 在x 轴下方，点N 在x 轴上方，最低点为抛物线的顶点( 1, 4)
−−
，
∴此时点N 离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，
∴点N 到x 轴的距离为5 4
1
−
= ，
此时点N 的纵坐标为1，
∴
2
(
3)
2(
3)
3
1
m
m
+
+
+
−= ，
解得：
1
4
5
m = −+
，
2
4
5
m = −−
（不符合题意，舍去）；
当1
0
m
−
时，2
3
3
m
+
，
点M 在x 轴下方，点N 在x 轴上方，最低点为点M，最高点为点N，
∴
2
2
2
3,
(
3)
2(
3)
3
M
N
y
m
m
y
m
m
=
+
−
=
+
+
+
−
，
∴
5
M
N
y
y
+
=
即
2
2
2
3
(
3)
2(
3)
3
5
m
m
m
m
+
−
+
+
+
+
−
=
，
∴
2
2
2
3 (
3)
2(
3)
3
5
m
m
m
m
−
−
+ +
+
+
+
−=
，
整理得：6
10
0
m+
=
，
解得：
5
3
m
−
=
（不符合题意，舍去），
综上可得：
4
3
m = −
+
或
4
5
m = −+
．
23. 在菱形ABCD中，
120
BAD
=
，
4
AB =
．将边AB 绕点A逆时针旋转至AE ，记旋转角为
．作射线DE ，在射线DE 上取一点H ，使BH
BE
=
，连接CH ．
（1）【观察猜想】
当
30
=
时，如图1，
BEH
的度数为_________，CH 的长为_________．
（2）【探究证明】
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当0
120
时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2 的情形进行证明；若不成立，
请说明理由．
（3）【拓展延伸】
当0
120
时，若DCH
的面积为4 2 ，请直接写出此时旋转角的度数．
【答案】（1）60；4
（2）两个结论仍然成立．证明如下：
四边形ABCD是菱形，
120
BAD
=
，
4
AB =
，
4
AB
AD
BC
=
=
=
，AD
BC
∥
，
180
60
ABC
BAD
−
=
=
，
AB
AE
=
，
AD
AE
AB
=
=
，
BAE
=
，则
120
EAD
BAD
BAE
=
−
=
−
，
(
)
1 180
90
2
2
AEB
BAE
=
−
=
−
，
(
)
(
)
1
1
180
180
120
30
2
2
2
AED
EAD
=
−
=
−
−
=
+
，
180
180
90
30
60
2
2
BEH
AEB
AED
=
−
−
=
−
−
−
+
=
，
BE
BH
=
，
BEH
为等边三角形，
60
EBH
=
，
ABC
EBH
=
，则
ABC
CBE
EBH
CBE
−
=
−
，
ABE
CBH
=
，
BE
BH
=
，AB
CB
=
，
(
)
ABE
CBH SAS
≌
，
AE
CH
=
，
4
CH
=
．
（3）15或105．
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【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到
4,
AB
BC
CD
AD
AD
BC
=
=
=
=
，由旋转的性质，三角形内角和定
理得到
75
AEB
=
，ADE
是等腰直角三角形，根据平角得到
60
BEH
=
，结合题意得到BEH
是
等边三角形，再证明
(
)
ABE
CBH SAS
≌
得到
4
CH
AE
=
=
；
（2）根据菱形的性质，旋转的性质得到
90
,
30
2
2
ABE
AED
=
−
=
+
，根据平角得到
60
BEH
=
，结合题意得到BEH
是等边三角形，再证明
(
)
ABE
CBH SAS
≌
得到
4
CH
AE
=
=
；
（3）结合（1），（2）的解析分类讨论：当点H 在CD左边时，过点H 作HG
CD
⊥
延长线于点G ，由面
积公式得到
2 2
HG =
，根据解直角三角形的计算得到
45
HCG
=
，由平角的定义即可求解；当点H
在CD右边时，同理得到
45
HCG
=
，由
BCG
HCG
=
+
即可求解．
【小问1 详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
120 ,
4
BAD
AB
=
=
，
∴
4,
AB
BC
CD
AD
AD
BC
=
=
=
=
，
∴
180
60
ABC
BAD
=
−
=
，
∵将边AB 绕点A逆时针旋转至AE ，旋转角
30
=
，
∴
,
30
AB
AE
AD
BAE
=
=
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
30
75
2
2
ABE
AEB
BAE
=
=
−
=
−
=
，
∴
75
60
15
CBE
ABE
ABC
=
−
=
−
=
，
∴
15
75
90
CBE
AEB
+
=
+
=
，即AE
BC
⊥
，
设
,
AE BC 交于点M ，
∵
//
AD BC ，
∴
90
DAE
CME
=
=
，
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∴ADE
是等腰直角三角形，
∴
45
ADE
AED
=
=
，
∴
180
180
75
45
60
BEH
AEB
AED
=
−
−
=
−
−
=
，
∵BE
BH
=
，
∴
60
BEH
BHE
=
=
，则BEH
是等边三角形，
∵
75 ,
15
60
75
ABE
CBH
CBE
EBH
=
=
+
=
+
=
，
∴
ABE
CBH
=
，
∵
,
,
AB
CB
ABE
CBH BE
BH
=
=
=
，
∴
(
)
ABE
CBH SAS
≌
，
∴
4
CH
AE
=
=
；
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
解：由上述证明得到
120
BCD
BAD
=
=
，
4
AB
BC
CD
AD
AE
CH
=
=
=
=
=
=
，
ABE
CBH
≌
，
∴
BAE
BCH
=
=
，
120
DCH
BCD
BCH
=
+
=
+
，
第一种情况，当点H 在CD左边时，如图所示，过点H 作HG
CD
⊥
延长线于点G ，
∴
1
4 2
2
DCH
S
CD HG
=
=
，
∴
2
8 2
2 2
4
DCH
S
HG
CD
=
=
=
，
在Rt CHG
中，
2 2
2
sin
4
2
HG
HCG
CH
=
=
=
，
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∴
45
HCG
=
，
∵
180
DCH
HCG
+
=
，
∴120
45
180
+
+
=
，
解得：
15
=
；
第二种情况，当点H 在CD右边时，如图所示，过点H 作HG
CD
⊥
延长线于点G ，
同理可得，
2 2
HG =
，
∴
2 2
2
sin
4
2
HG
HCG
CH
=
=
=
，
∴
45
HCG
=
，
∵
180
180
120
60
BCG
BCD
=
−
=
−
=
，
∴
60
45
105
BAE
BCH
BCG
HCG
=
=
=
+
=
+
=
．
