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第3 节 圆的方程
考试要求 1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能
根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【知识梳理】
1.圆的定义和圆的方程
定义
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D 2 ＋
E 2 －
4 F ＞
0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M 在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M 在圆内.
[常用结论与微点提醒]
1.几种特殊位置的圆的方程
标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y 轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x 轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y 轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
2.在圆的一般方程中：当D2＋E2－4F＝0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示一
个点；当D2＋E2－4F<0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 没有意义，不表示任何
图形.
3.圆的三个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)方程x2＋y2＝a2表示半径为a，圆心为(0，0)的圆.( )
(2)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0 一定表示圆.( )
(3)若(x0，y0)满足x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0，则点(x0，y0)必在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＝0 内.( )
(4)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)
＝0.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
解析 (1)当a＝0 时，x2＋y2＝0 表示点(0，0)；当a≠0 时，表示半径为|a|的圆.
(3)配方后，＋>，
即>，点(x0，y0)在圆外.
2.已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0 外，则k 的取值范围为(
)
A.－6<k<
B.k<－6 或k>
C.k>－6
D.k<
答案 A
解析 法一 ∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.
若点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0 外，则满足>，且1－2k>0，
即13>1－2k 且k<，即－6<k<.
法二 将M(3，1)代入得32＋12－2×3＋4×1＋2k＋4>0，即k>－6，
又因为(－2)2＋42－4(2k＋4)>0，
得k<，所以－6<k<.
3.(2023·上海卷)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0 的面积为π，则m＝________.
答案 －3
解析 由x2＋y2－4y－m＝0 得
x2＋(y－2)2＝m＋4，
故半径r＝，
∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3.
4.(选修一P85T4 改编)已知△AOB 的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，
3)，则△AOB 的外接圆的标准方程是________.
答案 (x－2)2＋＝
解析 显然△AOB 为直角三角形，AB 为斜边，AB 中点为，|
AB|＝＝5，
于是△AOB 的外接圆是以为圆心，以为半径的圆，
即(x－2)2＋＝.
考点一 圆的方程
例1 (1)已知圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，
则此圆的方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 A
解析 设两端点分别为(a，0)和(0，b)，
则a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)，
即a＝4，b＝－6，
∴直径为＝2，即半径为，
方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
(2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x＋y－1＝0 上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M 上，
则⊙M 的方程为________________.
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析 法一 设⊙M 的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
∴⊙M 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法二 设⊙M 的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则M(－，－)，
∴解得
∴⊙M 的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
法三 设A(3，0)，B(0，1)，⊙M 的半径为r，
则kAB＝＝－，AB 的中点坐标为，
∴AB 的垂直平分线方程为y－＝3，
即3x－y－4＝0.
联立解得
所以M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴⊙M 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的
圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线
上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，标准方程或一般方程，用待定系数法求系数.
训练1 (1)(2024·邯郸模拟)已知圆M 与直线3x－4y＝0 及3x－4y＋10＝0 都相切
圆心在直线y＝－x－4 上，则圆M 的方程为______________.
答案 (x＋3)2＋(y＋1)2＝1
解析 到两直线3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0 的距离都相等的直线方程为3x－4y
＋5＝0，
联立解得
又两平行线间的距离为2，
所以圆M 的半径为1，
从而圆M 的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的
方程为________.
答案 (x－2)2＋(y－3)2＝13 或(x－2)2＋(y－1)2＝5 或＋＝或＋(y－1)2＝(写出一个即
可)
解析 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
①若圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，
即(x－2)2＋(y－3)2＝13；
②若圆过(0，0)，(4，0)，(4，2)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
③若圆过(0，0)，(4，2)，(－1，1)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，
即＋＝；
④若圆过(－1，1)，(4，0)，(4，2)三点，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，
即＋(y－1)2＝.
考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC 的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C 的轨迹方程；
(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.
解 (1)法一 设C(x，y)，因为A，B，C 三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC 斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C 的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
法二 设AB 的中点为D，
由中点坐标公式得D(1，0)，
由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.
由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D(1，0)为圆心，2 为半径的圆(由于A，B，C
三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)，
所以直角顶点C 的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，M 是线段BC 的中点，
由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知点C 的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y 代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M 的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
训练2 (1)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－2)，若动点M 满足＝，则
点M 的轨迹方程是( )
A.x2＋(y＋2)2＝2
B.x2＋(y－2)2＝2
C.x2＋(y＋2)2＝8
D.x2＋(y－2)2＝8
答案 D
解析 设M(x，y)，因为＝，A(0，－2)，
所以＝，
所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，
所以x2＋(y－2)2＝8 为点M 的轨迹方程.
(2)若长为10 的线段的两个端点A，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中
点M 的轨迹方程为________.
答案 x2＋y2＝25
解析 设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
则＝10，a2＋b2＝100，
且∴代入a2＋b2＝100，
得4x2＋4y2＝100，
即点M 的轨迹方程为x2＋y2＝25.
考点三 与圆有关的最值问题
角度1 利用几何意义求最值
例3 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1 上.
求：(1)的最大值和最小值；
(2)x＋y 的最大值和最小值；
(3)的最大值和最小值.
解 (1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共
点且过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，
解得k＝－2＋或k＝－2－，
∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，
t 可视为直线y＝－x＋t 在y 轴上的截距，
∴x＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小
值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，
解得t＝－1 或t＝－－1.
∴x＋y 的最大值为－1，最小值为－－1.
(3)＝，
求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心
(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.
又圆心到定点(－1，2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
角度2 利用对称性求最值
例4 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是
圆C1，C2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
答案 5－4
解析 P 是x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|
PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.
作C1关于x 轴的对称点C1′(2，－3)，
所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，
即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
角度3 建立函数关系求最值
例5 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1 上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则
PA·PB的最大值为________.
答案 12
解析 由题意，知PA＝(2－x，－y)，
PB＝(－2－x，－y)，
所以PA·PB＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，
当y＝4 时，PA·PB的值最大，
最大值为6×4－12＝12.
感悟提升 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关
系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|＋|PN|且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化
定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之
和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
训练3 (1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y 满足 x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y 的
最大值是( )
A.1＋
B.4
C.1＋3
D.72
答案 C
解析 将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0 化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，
1)，半径为3 的圆.
设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0 与圆相切时，z 才能取到最大
值，
此时＝3，解得z＝1±3，
故z＝x－y 的最大值为1＋3.
(2)(2024·福州质检)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0
对称的圆记为⊙O2，点E，F 分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF 长度的最小值为
4，则a＝________.
答案 或
解析 记⊙O1的半径为r，则⊙O2的半径也为r，且r＝2.点O1(2，3)到直线ax＋
2y＋1＝0 的距离d＝，
因为⊙O1和⊙O2关于直线ax＋2y＋1＝0 对称，
所以|O1O2|＝2d，则EF 长度的最小值为
||O1O2|－2r|＝|2d－4|，
又EF 长度的最小值为4，所以|2d－4|＝4，
易知d>0，所以d＝4，
所以＝4，即12a2－28a＋15＝0，
解得a＝或a＝.
【A 级 基础巩固】
1.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25 的内部的是( )
A.(0，2)
B.(3，3)
C.(－2，2)
D.(4，2)
答案 A
解析 由(0－1)2＋(2＋2)2<25 知(0，2)在圆内；
由(3－1)2＋(3＋2)2>25 知(3，3)在圆外；
由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25 知(－2，2)在圆上，
由(4－1)2＋(2＋2)2＝25 知(4，2)在圆上.
2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1，1)且过原点，
所以该圆的半径r＝＝，
则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3.圆C：x2＋y2－2x－3＝0 关于直线l：y＝x 对称的圆的方程为( )
A.x2＋y2－2y－3＝0
B.x2＋y2－2y－15＝0
C.x2＋y2＋2y－3＝0
D.x2＋y2＋2y－15＝0
答案 A
解析 由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4 的圆心为(1，0)，半径为2.
故其关于直线l：y＝x 对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2，
故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，
即x2＋y2－2y－3＝0.
4.已知△ABC 的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC 的
外接圆M 的说法错误的是( )
A.圆M 的圆心坐标为(1，3)
B.圆M 的半径为
C.圆M 关于直线x＋y＝0 对称
D.点(2，3)在圆M 内
答案 C
解析 设△ABC 的外接圆M 的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则解得
所以△ABC 的外接圆M 的方程为
x2＋y2－2x－6y＋5＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝5.
故圆M 的圆心坐标为(1，3)，圆M 的半径为，
因为直线x＋y＝0 不经过圆M 的圆心(1，3)，
所以圆M 不关于直线x＋y＝0 对称.
因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，
故点(2，3)在圆M 内.
5.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1 上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(
)
A.6
B.25
C.26
D.36
答案 D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，
∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1 上的任意一点，
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，
即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[＋1]2＝36.
6.(2024·惠州调研)已知圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 关于直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)
对称，则＋的最小值为( )
A.
B.9
C.4
D.8
答案 B
解析 圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 的圆心为(－1，－2)，
依题意，点(－1，－2)在直线ax＋by＋1＝0 上，
因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，
所以＋＝(a＋2b)＝5＋＋
≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”，
所以＋的最小值为9.
7.(多选)已知圆C 关于y 轴对称，过点(1，0)，且被x 轴分成两段，弧长比为
1∶2，则圆C 的方程可能为( )
A.x2＋＝
B.x2＋+＝
C.(x－)2＋y2＝
D.(x＋)2＋y2＝
答案 AB
解析 由已知得圆C 的圆心在y 轴上，且被x 轴所截得的劣弧所对的圆心角为.
设圆心的坐标为(0，a)，半径为r，
则rsin ＝1，rcos ＝|a|，
解得r＝，即r2＝，
|a|＝，即a＝±.
故圆C 的方程为x2＋＝或x2＋＝.
8.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则圆心坐标是
________，半径是________.
答案 (－2，－4) 5
解析 依据圆的方程特征，得a2＝a＋2，
解得a＝－1 或2.
当a＝－1 时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
则圆心为(－2，－4)，半径是5；
当a＝2 时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，该方程不表示圆.
9.已知等腰△ABC，其中顶点A 的坐标为(0，0)，底边的一个端点B 的坐标为
(1，1)，则另一个端点C 的轨迹方程为________________.
答案 x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))
解析 设C(x，y)，
根据在等腰△ABC 中|AB|＝|AC|，
可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，
即x2＋y2＝2.
考虑到A，B，C 三点要构成三角形，
因此点C 不能为(1，1)和(－1，－1).
所以点C 的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)).
10.(2024·德州联考)已知A(0，2)，点P 在直线x＋y＋2＝0 上，点Q 在圆C：x2＋
y2－4x－2y＝0 上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
答案 2
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
所以圆C 是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0 的对称点为
A′(m，n)，
所以解得
故A′(－4，－2).
连接A′C 交圆C 于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|＋|
PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
11.如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 的长分别为6 和2，高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；
(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5，2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中
点P 的轨迹方程.
解 (1)设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0).
由|EB|＝|EC|，得＝
，
解得b＝1，
所以外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)设P(x，y)，由于P 是MN 中点，
由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)，
代入x2＋(y－1)2＝10，
化简得＋＝，
即线段MN 的中点P 的轨迹方程为＋＝.
12.已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0 上任意一点.
求：(1)m＋2n 的最大值；
(2)的最大值和最小值.
解 (1)易知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0 的圆心为(2，7)，半径r＝2，
设m＋2n＝t，将m＋2n＝t 看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d＝≤2，
解得16－2≤t≤16＋2，
所以m＋2n 的最大值为16＋2.
(2)记点Q(－2，3)，则表示直线MQ 的斜率，
设直线MQ 的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直线MQ 与圆C 有公共点，
得≤2.
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
【B 级 能力提升】
13.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列说法正确的是( )
A.不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
答案 ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x 上，A 正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，
化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，
∴2k2－6k＋5＝0 无实数根， B 正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，
∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C 错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D 正确.
14.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A，B 两
点，线段AB 的中点为M，O 为坐标原点.
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积.
解 (1)圆C 的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，
MP＝(2－x，2－y).
由题设知CM·MP＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P 在圆C 的内部，
所以M 的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1，3)为圆心，
为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，
故O 在线段PM 的垂直平分线上，
点P(2，2)适合圆N 的方程，
易知P 在圆N 上，从而ON⊥PM.
因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－，
故l 的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O 到l 的距离为，
所以|PM|＝，
S△POM＝××＝，
故△POM 的面积为.
