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专题7 函数中的双变量问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导
数处理含有两个变量的等式与不等式问题,这类问题由于变量多,不少同学不知如何下手,其实如能以函
数思想为指导,把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题,再利用导数就可有效地加以解决.
(一) 与函数单调性有关的双变量问题
此类问题一般是给出含有
的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利
用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解.
常见结论：
(1)若对任意
,当
时恒有
,则
在D 上单调递增；
(2)若对任意
,当
时恒有
,则
在D 上单调递增；
(3)若对任意
,当
时恒有
,则
在D 上单调递增；
(4)若对任意
,当
时恒有
,则
在D 上单调递增.
【例1】（2024 届四川省仁寿第一中学校高三上学期调研）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)存在
且
，使
成立，求
的取值范围．
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【解析】（1）由题意得
，令
得
，
时，
，
在
上单调递增；
时，
，
在
上单调递减；
综上，
单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）由题意存在
且
，不妨设
，
由（1）知
时，
单调递减．
等价于
，
即
，
即存在
且
，使
成立．
令
，则
在
上存在减区间．
即
在
上有解集，即
在
上有解，
即
，
；令
，
，
，
时，
，
在
上单调递增，
时，
，
在
单调递减，
∴
，∴
．
(二) 与极值点有关的双变量问题
与极值点
有关的双变量问题,一般是根据
是方程
的两个根,确定
的关系,再通过消
元转化为只含有
或
的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为
的齐次式,然后转化
为关于
的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关于参数的表达式.
【例2】（2024 届黑龙江省双鸭山市高三下学期第五次模拟）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
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(2)若
是
的两个极值点，证明：
．
【解析】（1）当
时，
的定义域为
，
所以
，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）
，
由题意可知，
是方程
的两根，
则
，解得
，所以
，
，
要证
，
即证
，
只需证
，
需证
令
，则需证
，
设
，则
，
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所以函数
在
上单调递减，所以
，因此
由
得，
，所以
，故
得证,
【例3】（2023 届云南省曲靖市高三下学期第二次联考）已知函数
.
(1)当
时，试讨论函数
的单调性；
(2)设函数
有两个极值点
，证明：
.
【解析】（1）当
时，
定义域为
，
，
令
解得
或，且当
或
时，
，当
时，
，
所以当
或
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
综上
在区间
，
上单调递增，
在区间
单调递减.
（2）由已知
，可得
，
函数
有两个极值点
，即
在
上有两个不等实根，
令
，只需
，故
，又
，
，
所以
，
要证
，即证
，只需证
，
令
，
，则
，
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令
，则
恒成立，所以
在
上单调递减，
又
，
，
由零点存在性定理得，
使得
，即
，
所以
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
则
，
又由对勾函数知
在
上单调递增，
所以
，所以
，即
得证.
(三) 与零点有关的双变量问题
与函数零点
有关的双变量问题,一般是根据
是方程
的两个根,确定
的关系,再通过
消元转化为只含有
或
的关系式,再构造函数解题,有时也可以把所给条件转化为
的齐次式,然后转
化为关于
的函数,有时也可转化为关于
的函数,若函数中含有参数,可考虑把参数消去,或转化为以
参数为自变量的函数.
【例4】（2024 届四川省南充高中高三下学期月考）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性，并求
的极值；
(2)若函数
有两个不同的零点
（
），证明：
.
【解析】（1）函数
的定义域为
，由题意，
，
当
时，
，函数
在
单调递增，无极值.
当
时，令
，得
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∴
在
单调递增，在
单调递减，
所以函数
在
时取极大值，极大值为
无极小值.
递增
极大值
递减
（2）由题意，令
，且
，则有
，
两式相减可得，
，要证
.即证
，
令
，
，
设
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，即有
.
，两式子相加得，
，则要证
，
即证
，由上式只需证
，
即证
，
令
，
，
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设
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，即有
.综上：
.
(四) 独立双变量,各自构造一元函数
此类问题一般是给出两个独立变量,通过变形,构造两个函数,再利用导数知识求解.
【例5】（2024 届陕西省宝鸡实验高中高三一模）已知函数
，是自
然对数的底数.
(1)当
时，求整数
的值，使得函数
在区间
上存在零点；
(2)若存在
使得
，试求
的取值范围.
【解析】（1）
，
，
当
时，
，
，故
是
上的增函数，
同理
是
上的减函数，
，且
时，
，
故当
时，函数
的零点在
内，
满足条件．
同理，当
时，函数
的零点在
内，
满足条件，综上
．
（2）问题
当
时，
，
，
①当
时，由
，可知
；
②当
时，由
，可知
；
③当
时，
，
在
上递减，
上递增，
时，
，
而
，设
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（仅当
时取等号），
在
上单调递增，而
，
当
时，
即
时，
，
即
，
构造
，易知
，
在
递增，
，即
的取值范围是
．
(五) 构造一元函数求解双变量问题
当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现.通过变量的四则运算后,把整体处理为一
个变量,从而达到消元的目的.
【例6】（2024 届山东省菏泽市高考冲刺押题卷）已知函数
．
(1)求函数
的单调区间;
(2)若
，证明:
．
【解析】（1）
，
令
，所以
，
由
可得
，由
可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
.
又因为
，所以
，即
，且
至多在一个点处取到.
所以
在
上单调递减，
故
的单调递减区间为
，没有单调递增区间.
（2）证明
，
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只需证：
，
即证：
，
令
，所以
，
只需证：
，即证：
，
由（1）知，当
时，
在
上单调递减，
所以当
时，
，即
，
所以
.
(六) 独立双变量,把其中一个变量看作常数
若问题中两个变量没有明确的数量等式关系,有时可以把其中一个当常数,另外一个当自变量
【例7】已知函数
( )
ln
(
0)
a
f x
x
a
x
，
(1)若函数
ex
g x
在
0
x
处的切线也是函数
( )
f x 图像的一条切线，求实数a 的值；
(2)若函数
( )
f x
的图像恒在直线
1
0
x
y
的下方，求实数a 的取值范围；
(3)若
1
2
,
(
,
)
e 2
a a
x x
，且
1
2
x
x
，证明：
4
1
2
(
)
x
x
>
2
1
2
a x x
【解析】 (1)
ex
g
x
，
g x
在
0
x
处切线斜率
0
1
k
g
，
0
1
g
，所以切线:
1
l y
x
，
又
ln
1
a
f
x
x
，设l 与
f x 相切时的切点为
0
0
0
,
ln a
x x
x
，则斜率
0
0
ln
1
a
k
f
x
x
，
则切线l 的方程又可表示为
0
0
0
0
0
0
ln
1
ln
ln
1
a
a
a
y
x
x
x
x
x
x
x
x
，
由
0
0
ln
1
1
1
a
x
x
，解之得
2e
a
．
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(2)由题可得
1
0
f x
x
对于
0
x
恒成立，即ln
1
0
a
x
x
x
对于
0
x
恒成立，
令
ln
1
a
h x
x
x
x
，则
ln
2
a
h x
x
，由
0
h x
得
2e
a
x
，
x
2
0, e
a
2e
a
2e
a
，
h x
+
0
h x
↗
极大值
↘
则当
0
x
时，
2
2
max
1
e
e
a
a
h x
h
，由
2
1
0
e
a
，得：
2
0
e
a
，即实数a 的取值范围是
2
0,e
．
(3)由题知
ln
1
a
f
x
x
，
由
0
f
x
得
e
a
x
，当 e
a
x
a
时，
0
f
x
，
ln
0
a
f x
x
a
x
单调递减，
因为
1
1
2
x
x
x
a
，所以
1
1
2
f x
f x
x
，即
1
1
2
1
1
2
ln
ln
a
a
x
x
x
x
x
x
，
所以
1
2
1
1
1
2
ln
ln
x
x
a
a
x
x
x
x
，①同理
1
2
2
2
1
2
ln
ln
x
x
a
a
x
x
x
x
，②
①+②得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
ln
ln
ln
x
x
x
x
a
a
a
x
x
x
x
x
x
，
因为
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，由
1
2
x
x
a
得
1
2
1
a
x
x
，即
1
2
ln
0
a
x
x
，
所以
1
2
1
2
ln
ln
4ln
a
a
a
x
x
x
x
，即
4
2
1
2
1
2
a
a
x x
x
x
，所以
4
2
1
2
1
2
x
x
a x x
．
(七) 双变量,通过放缩消元转化为单变量问题
此类问题一般是把其中一个变量的式子放缩成常数,从而把双变量问题转化为单变量问题
【例8】（2024 届河北省衡水市高三下学期联合测评）过点
可以作曲线
的两条切线，切点
为
.
(1)证明：
；
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(2)设线段
中点坐标为
，证明：
.
【解析】（1）证明：设切点
，
，所以
，
即关于的方程
有两个不相等的实数根.
设
，则
，
.
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
在
处取值得最小值，即
.
当
时，
，当
时，
，
若满足方程有两个不相等的实数根，则
，
于是
，即
，得
,
设
，
，得
，
在
上，
，则
单调递减，在
上，
，则
单调递增，
所以
，在
处取得最小值，即
，所以
.
（2）证明：设
，
则
，即
，
在点
处的切线方程都过
，
于是，由
，得
，
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由
，得
两式相减整理得：
，
，
不妨设
，所以
，则
，
，所以
在
上单调递减，于是
，
于是
，即
.
【例1】（2024 届陕西省西安市一中高三考前模拟）已知函数
.
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，不相等的实数
满足
，求证：
.
【解析】（1）依题意，
，则
，令
，解得
，
故当
时，
，当
时，
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故函数
的极小值为
，无极大值；
（2）令
，则
，
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令
，则
，当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，又
，所以
，
所以
在
上单调递增，
，即
，
因为
，所以
，要证
，即证
，只需证
，
即
，即
，
令函数
，
则
，令
，则
，
所以
为
上的增函数，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以对任意
，都有
，从而原命题得证.
【例2】（2024 届河北省衡水市部分示范性高中高三下学期三模）已知
．
(1)求
的单调区间和最值；
(2)定理：若函数
在
上可导，在
上连续，则存在
，使得
．该定
理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若
，求证：
．
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【解析】（1）
，令
，解得
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
当
时，
取得最小值1，无最大值；
（2）要证
，只需证
，因为
，
故只需证
． 令
，显然
在
上可导，在
上连续，
故由拉格朗日中值定理知存在
，使得
，
而
在
上单调递增，
因为
，故
，即
，
故只需证
即可，因为
，故只需证
．
由（1）知
恒成立，因此原命题得证．
【例3】（2024 届天津市部分区高三二模）已知
，函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，设
的导函数为
，若
恒成立，求证：存在
，使得
；
(3)设
，若存在
，使得
，证明：
．
【解析】（1）由函数
，可得其定义域为
，
当
时，可得
，则
，
当
时，可得
，
单调递减；当
时，可得
，
单调递增，
函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
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（2）当
时，可得
，则
，
恒成立，即
恒成立，令
，
若
，则
，存在
，使得
，
即
，不符合题意，
，
取
，则
，可得
，即存在
，使得
．
（3）由函数
，可得
，
设
，由
，可得
，
则
，
又由
，可得
，
函数
为单调递增函数，
，即
，
，
设
，可得
，
当
时，
，即
，
，
即
，
，
代入可得：
，
则
，
．
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【例4】（2024 届四川省百师联盟高三联考三）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设函数
有两个不同的极值点
，
.证明：
.
【解析】（1）当
时
，
，
，
，
则切线方程为
，化简得
.
（2）证明：由题
，
函数
有两个极值点
，
，即
在
上有两个不等实根，
令
，只需故
，故
.
又
，
，
所以
.
若证
，
即证
，即
.
令
，
，
，则
在
上递增，且有
，
当
时，
，所以
在
上递减；
当
时，
，所以
在
上递增；
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所以
，
.
即
得证.
【例5】（2024 陕西省西安八校高三下学期联考）已知函数
e
ln
1
R ,
x
f x
m x
x
m
f x
的图象在
1,
1
f
处的切线过原点．
(1)求m 的值；
(2)设
2
,
2
g x
f x
x h x
x
x
a
，若对
1
0,
x
总
2x
R ，使
1
g x
2
h x
成立，求整数a 的最
大值．
【解析】（1）易知
f x
的定义域为
0,
,
1
e
f
，
又
e
1,
1
e
1
x
m
f
x
f
m
x
，
f x
的图象在
1,
1
f
处的切线方程为
e
e
1
1
y
m
x
，
将
0,
0
x
y
代入，得
1
m ；
（2）
2
2
2
(
1)
1
h x
x
x
a
x
a
．
当
1
x 时，
h x
取得最小值，
min
[
]
1
1
h x
h
a
．由（1）知，
1
m ．
e
ln
1
x
f x
x
x
，得
e
ln
1,
x
g x
x
g x
的定义域为
0,
．
则
1
ex
g
x
x
，易知
1
e
0
x
y
x
x
单调递增，
又
1
e
2 0,
1
e 1 0
2
g
g
．
即
0
g
x
在
1 ,1
2
上有唯一解
0x ，故
0
0
0
0
1
1
e
,
e
x
x
x
x
．
于是当
0
0
x
x
时，
0,
g
x
g x
在
0
0, x
上单调递减；
当
0
x
x
时，
0,
g
x
g x
在
0,
x
上单调递增．
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g x
在
0
x
x
处取得极小值也是最小值．
则
0
0
0
min
0
1
5
e
ln
1
1
2, 2
x
g x
x
x
x
，
对
1
0,
x
总
2x
R ，使
1
2
g x
h x
成立，
只需1
1
a
，得
2
a
．故整数a 的最大值为2 ．
1．（2024 届广东省汕头市第二次模拟）设
是由满足下列条件的函数
构成的集合：①方程
有实根；②
在定义域区间
上可导，且
满足
.
(1)判断
，
是否是集合
中的元素，并说明理由；
(2)设函数
为集合
中的任意一个元素，证明：对其定义域区间
中的任意
、
，都有
.
2．（2024 届山东省滨州市高三下学期二模）定义：函数
满足对于任意不同的
，都有
，则称
为
上的“ 类函数”．
(1)若
，判断
是否为
上的“2 类函数”；
(2)若
为
上的“3 类函数”，求实数a 的取值范围；
(3)若
为
上的“2 类函数”，且
，证明：
，
，
．
3．（2024 届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三最后一卷）设函数
的两个极值点分别为
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．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式
恒成立，求正数
的取值范围（其中
为自然对数的底数）．
4．（2024 届湖南省高三“一起考”大联考下学期模拟）已知函数
，
，函数
，
有两条不同的公切线（与
，
均相切的直线），.
(1)求实数的取值范围；
(2)记，在
轴上的截距分别为
，
，证明：
.
5．（2024 届天津市民族中学高三下学期4 月模拟）已知函数
．
(1)当
时，试求函数图象在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个极值点
、
；
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）不等式
恒成立，试求实数m 的取值范围．
6．（2024 届陕西省部分学校（菁师联盟）高三下学期5 月份高考适应性考试）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，且
.求证：
.
7．（2024 届广东省广州市二模）已知函数
．
(1)讨论
的零点个数；
(2)若
存在两个极值点，记
为
的极大值点，
为
的零点，证明：
．
8．（2024 届重庆市名校联盟高三下学期全真模拟）T 性质是一类重要的函数性质，具有T 性质的函数被
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称为T 函数，它可以从不同角度定义与研究.人们探究发现，当
的图像是一条连续不断的曲线时，
下列两个关于T 函数的定义是等价关系．
定义一：若
为区间
上的可导函数，且
为区间
上的增函数，则称
为区
间
上的T 函数．
定义二：若对
，
，都有
恒成立，则称
为区间
上的T 函数．请根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知函数
．
①判断
是否为
上的T 函数，并说明理由；
②若
且
，求
的最小值
(2)设
，当
时，证明：
．
9．（2024 届河南省九师联盟高三下学期5 月联考）已知函数
．
(1)若
对
恒成立，求的取值范围；
(2)当
时，若关于的方程
有三个不相等的实数根
，
，
，且
，
求的取值范围，并证明：
．
10．（2024 届湖北省宜荆荆随恩高三5 月联考）设函数
2
4ln
4
2
f x
x
ax
a x
，aR
(1)讨论
f
x
的单调性．
(2)若函数
f
x
存在极值，对任意的
1
2
0
x
x
，存在正实数
0x ，使得
2
1
0
2
1
f x
f x
f
x
x
x
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（ⅰ）证明不等式
2
1
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
．
（ⅱ）判断并证明
1
2
2
x
x
与
0x 的大小．
11．（2024 届江西省上饶市六校高三5 月第二次联合考试）已知函数
ln
,
,
0
f x
x
a
x
b a b
a
R
．
(1)若
1
a
b
，求
f
x
的极值；
(2)若
0
f x
，求ab 的最大值．
12．（2024 届山西省临汾市高三下学期考前适应性训练）已知函数
2
1
ln
1
2
f
x
x
x ．
(1)求
f
x
在
0
x
处的切线方程；
(2)若曲线
y
f x
与直线
y
ax
有且仅有一个交点，求a 的取值范围；
(3)若曲线
y
f x
在
,
0
m f m
m
处的切线与曲线
y
f x
交于另外一点
,n f n
，求证：
2
1
m
m
n
m
．
13．（2024 届江苏省扬州市仪征市四校高三下学期4 月联合学情检测）已知函数
ln
0
f x
mx
x m
．
(1)若
0
f x
恒成立，求m 的取值范围；
(2)若
f
x
有两个不同的零点
1
2
,
x x ，证明
1
2
2
x
x
．
14．（2024 届河北省保定市高三下学期第二次模拟）已知函数
( )
ln ,
( )
f x
ax
x
x f
x
为其导函数．
(1)若
( )
1
f x
恒成立，求
a
的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数
1
2
,
x x ，使得
1
2
f x
f x
，证明：
1
2
0
f
x x
．
15．（2024 届云南省高中毕业生第二次复习统一检测）已知常数
0
a
，函数
2
2
1
( )
2
ln
2
f x
x
ax
a
x
.
(1)若
2
0,
( )
4
x
f x
a
，求a 的取值范围;
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(2)若
1
x
、
2
x
是
( )
f x 的零点，且
1
2
x
x
，证明:
1
2
4
x
x
a
.
