文档文本内容
2024 届大题强化训练及变式训练（19）
1．在三棱柱 中，四边形 是菱形， 是等边三角形，点 是线段 的中点，
．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
变式：如图，在三棱柱 中，侧面 和 均为正方形， ，平面
⊥平面 ，点M是 的中点，N为线段AC上的动点；
（1）若直线 平面BCM，求证：N为线段AC的中点；
（2）若直线 与平面 所成角 正弦值为 ，求线段 的长．
的
2．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ．(1)证明： ；
(2)若 是钝角， ，求 面积的取值范围．
变式：在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 .
(1)求角A；
(2)若 为锐角三角形，边 ，求 面积的取值范围.
3．为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和
复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方
图，如图所示.（1）根据频率分布直方图，求 的值及样本平均数的估计值；
（2）若所有学生的初试成绩 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值，
.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道
数学题的概率均为 ，答对物理题的概率为 .若小明全部答对的概率为 ，答对两道题的概率为 ，
求概率 的最小值.
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
.
变式：根据社会人口学研究发现，一个家庭有 个孩子的概率模型为：
1 2 3 0（其中 ）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件 表示一个家庭有 个孩子
，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
(1)若 ，求 ，并根据全概率公式 求 ；
(2)是否存在 值，使得 ，请说明理由.
4．已知椭圆E： 过点 ，离心率为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的右焦点F作斜率为 的直线l交椭圆E于点A，B，直线l交直线 于点P，
过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求证：点F为线段CD的中
点．变式：已知椭圆 的离心率为 ， 分别是 的上、下顶点， ，
分别是 的左、右顶点．
（1）求 的方程；
（2）设 为第二象限内 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点
，求证： ．
5．如果数列 ，其中 ，对任意正整数 都有 ，则称数列 为数列
的“接近数列”．已知数列 为数列 的“接近数列”．
（1）若 ，求 的值；
（2）若数列 是等差数列，且公差为 ，求证：数列 是等差数列；
（3）若数列 满足 ，且 ，记数列 的前 项和分别为
，试判断是否存在正整数 ，使得 ？若存在，请求出正整数 的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据： ）
变式：已知 是无穷数列，对于k， ，给出三个性质：
① （ ）；
② （ ）；
③ （ ）
（1）当 时，若 （ ），直接写出m的一个值，使数列 满足
性质②，若满足求出 的值；
（2）若 和 时，数列 同时满足条件②③，证明： 是等差数列；
（3）当 ， 时，数列 同时满足条件①③，求证：数列 为常数列．
