文档文本内容
2025 年高考押题预测卷
数学（新高考Ⅰ卷03）·全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
或
，
，所以
或
.
故选D
2．在复平面内，复数
对应的点坐标为
，则实数
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】因为
，则复数
在复平面内对应的点为
，
又复数
对应的点坐标为
，所以
.故选：D
3．已知向量
,
满足
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
，解得
．故选：A.
4．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】因为
，所以
，且
，
所以
，又因为
，
由
，可得
，
所以
．故选：A．
5．设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由指数函数
的单调性可知：
，
又
，所以
，故选：B
6．若抛物线
的准线为直线，则截圆
所得的弦长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】抛物线
的准线方程为
，圆
的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为
，
所以，截圆
所得的弦长为
，故选：A.
7．白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白
如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外
形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为
，则该茶杯容量
（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，
cm，
cm，
过点
分别作
⊥
，
⊥
于点
，则
cm，
cm，
其中圆台的高为
cm，
故圆台体积为
.故选：D
8．已知函数
是定义在
上的偶函数，函数
的图象关于点
中心对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
的图像关于点
中心对称可知，
所以函数
为奇函数，
所以
，即
，
可得
，由已知函数
的定义域为
，
令
可得，
，由
，可得
，
因为
为
上的偶函数，所以
，
可得
.
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数
的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．函数
在区间
上单调递增
【答案】AC
【解析】由函数
的图象可知
解得
设函数
的最小正周期为
，由函数
的图象可知，
，
所以
，所以
.
由
，得
，又
，所以
，
所以
.故选项A 正确，选项B 错误.
令
，解得
，当
时，
，
所以函数
的图象关于点
对称.故C 正确.
令
，得
，
所以
的单调递增区间为
.
因为
，所以函数
在区间
上不单调.故选项D 错误.
故选：AC.
10．已知函数
，则（ ）
A．
的极小值为
B．
有两个零点
C．存在
使得关于
的方程
有三个不同的实根
D．
的解集为
【答案】AC
【解析】函数
的定义域为
，
，
由
得
或
；由
得
，
有极大值
，极小值
，
A 正确；
由极大值和极小值均小于0 知
最多一个零点，
B 不正确；
当
时，
，当
时，
，
当
时，
有三个不同的
实根，
C 正确；
当
时，
，此时
，
D 不正确．
故选：AC．
11．已知曲线
，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线
关于
轴对称
B．曲线
上的点到
轴的距离的最大值为1
C．若
，且点
在
上，则
D．若曲线
与圆
只有2 个公共点，则
的取值范围为
【答案】ABC
【解析】把点
关于
轴对称的点
代入轨迹方程成立，A 正确．
因为
，所以
，所以曲线
上的点到
轴的距离的最大值为1，
正确．
因为
，所以
．
当
时，因为点
在
上，
所以
．
因为
，所以
，即
．
当
时，因为点
在
上，所以
．
因为
，所以
．故
1，C 正确．
联立
得
．
当
时，
，当
时，
，即
是曲线
与圆
的2 个公共点．
因为曲线
与圆
只有2 个公共点，所以方程
除
外没有其他解．
因为
，所以
4，所以
，D 错误．
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．某地区高三年级2000 名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩
服从正态分布
（试卷满分150 分），统计结果显示，有320 名学生的数学成绩低于80 分，则数学分数属于闭
区间
的学生人数约为 ．
【答案】
【解析】根据已知条件有数学成绩低于
分的概率为
，
又
，所以数学分数属于闭区间
的概率为
，
所以数学分数属于闭区间
的学生人数约为
人.
13．甲、乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲、乙两人击中无人机的概率分别为
、
，且甲、
乙射击互不影响.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为
；若恰好被两人击中，则被击落的概率
为
，那么无人机被击落的概率为 .
【答案】
/
【解析】若无人机被一人击中，则该无人机被击落的概率为
，
若无人机被两人都击中，则该无人机被击落的概率为
.
综上所述，无人机被击落的概率为
.
14．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆
的两条相互垂直的切线的交点的轨迹
是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为
.已知椭圆
的焦点在
轴上，
、
为椭圆
上任意两点，动点
在直线
上.若
恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则
椭圆
离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知
，圆
即为椭圆
蒙日圆，
因为
、
为椭圆
上任意两点，动点
满足
恒为锐角，
则点
在圆
外，
又因为动点
在直线
上，则直线
与圆
相离，
所以，
，解得
，
则
，即
，
因此，椭圆
的离心率的取值范围是
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13 分）在
中，角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，
为
的中点，求
．
【解】（1）法一：因为
，
由余弦定理：
， …………………………2 分
得：
，
则
， …………………………4 分
因为
，所以
． …………………………6 分
法二：因为
，由正弦定理得：
，
， …………………………2 分
，
， …………………………4 分
因为
，所以
，
因为
，所以
． …………………………6 分
（2）在
中，由余弦定理得：
，
得：
， …………………………8 分
法一：
， …………………………10 分
在
中，由余弦定理得：
，
得：
． …………………………13 分
法二：因为
，所以
，
所以
， …………………………8 分
所以
， …………………………10 分
解得：
． …………………………13 分
法三：因为
，
所以
， …………………………9 分
， ………………………10 分
所以
． …………………………13 分
16．（本小题满分15 分）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，点
在棱
上.
(1)当
为
上靠近点
的四等分点时，求证：
平面
；
(2)若直线
与平面
所成的角为
，当
为
的中点时，求二面角
的余弦值.
【解】（1）如图，连接
交
于点
，连接
.
因为
，所以
∽
，所以
. …………………………2 分
因为
为
上靠近点
的四等分点，所以
.
因为
，所以
. …………………………4 分
因为
平面
平面
，所以
平面
. …………………………6 分
（2）因为
平面
，所以
为
与底面
所成的角，
所以
.因为
，所以
.
由题意得
，又
平面
，所以
两两垂直. …………………………7 分
故以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
所以
. …………………………9 分
设平面
的法向量为
，则
，
即
，令
，则
. …………………………11 分
设平面
的法向量为
，则
，
即
， 令
，则
. …………………………13 分
因为
， …………………………14 分
又二面角
的平面角为锐角，
所以二面角
的余弦值为
. …………………………15 分
17．（本小题满分15 分）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围.
【解】（1）
的定义域为
，
…………………………1 分
若
，则
，则
在
单调递减； …………………………2 分
若
，则由
得
.
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增. …………………………4 分
综上，当
时，
在
单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增. ……………………5 分
（2）若
，由（1）知，
至多有一个零点. …………………………6 分
若
，由（1）知，
当
时，
取得最小值，最小值为
. ………………………7 分
①当
时，由于
，故
只有一个零点； …………………………8 分
②当
时，因为
单调递增，
单调递增，所以
单调递增，
所以
，
，故
没有零点；…………………10 分
③当
时，由于
，即
，
又
，
故
在
有一个零点. …………………………12 分
设正整数
满足
，
则
， …………………………14 分
故
在
有一个零点.
综上，
的取值范围为
. …………………………15 分
18．（本小题满分17 分）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各
种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek 从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的
“好参谋，好助手”，AI 大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对
DeepSeek 的使用情况，随机调查了200 人，得到如下数据：
单位：人
学历
使用情况
合
计
经常使
用
不经常使
用
本科及以
上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200
(1)依据小概率值
的独立性检验，能否认为DeepSeek 的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3 道题目，甲、乙同时
依次作答，3 道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0 分；若
一人答对另一人答错，答对的得10 分，答错的得
分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立
答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为
，
．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1 道题的概率．
附：
，其中
．
0.1
0.05
0.01
0.00
5
0.001
2.70
6
3.84
1
6.63
5
7.87
9
10.82
8
【解】（1）零假设为
：DeepSeek 的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得
， …………………………3 分
依据小概率值
的独立性检验，没有充分证据推断
不成立，
因此可以认为
成立，即认为DeepSeek 的使用情况与学历无关； …………………………5 分
（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第
道题时，甲得分为
，
，
，
， …………………………8 分
比赛结束甲获胜时的得分
可能的取值为10，20，30，
则
，
，
， …………………………11 分
所以比赛结束后甲获胜的概率
；
…………………………13 分
（ⅱ）设
“比赛结束后甲获胜”，
“比赛结束后乙答对一道题”，
， …………………15 分
则
，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1 道题的概率为
． …………………………17 分
19．（本小题满分17 分）我们把焦点在x 轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系
），记
的方程为
，左、右顶点为
．已知双曲线系
中曲线
经过
两点．
(1)求双曲线系
的离心率；
(2)已知
是双曲线系
上的动点，其中
在第二象限，
在第三象限，依次构造点
满足
当三点
共线时，直线
的斜率与直线
的斜率之比恒为常数
．
（ⅰ）证明：数列
是以
为公比的等比数列；
（ⅱ）定义：无穷等比递减数列
的所有项之和为
，其中
为
的首项，q 为
的公比，且
．设O 是坐标原点，
的面积
的最小值为
，求数列
的所有项之和T．
【解】（1）双曲线系
中曲线
经过
两点
由题意，得
，
， …………………………1 分
则
， …………………………2 分
所以双曲线
的离心率为
，
所以双曲线系
的离心率为
； …………………………4 分
（2）（ⅰ）由（1）及题意，知
，
，
．
设
，
．
设直线
的方程为
，其中
在第二象限，
在第三象限，
联立得方程组
，
消去
并整理，得
，
则
，
，
， …………………………6 分
所以
， …………………………7 分
则
， …………………………9 分
所以
，则
．
故数列
是以
为公比的等比数列． …………………………10 分
（ⅱ）由（ⅰ）知
，直线
也恒过定点
， ………………11 分
因此
， …………………………13 分
设
，则
，
则
，当
时，则
，
，
…………………………15 分
所以数列
的所有项之和
. …………………………17 分
