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第七章立体几何与空间向量
§7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
【考情分析·探规律】
考点
3 年考情（2021-2024）
命题趋势
考点2 求几何体的
体积
2024·全国新Ⅰ卷、2024·天津卷
2024·全国甲卷、2024·北京卷
2023·全国甲卷、2023·全国乙卷
2023·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷
2023·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅱ卷
2022·天津卷、2022·全国甲卷
2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷
2021·全国新Ⅱ卷2021·北京卷
2021·全国新Ⅰ卷
了解柱、锥、台体及
简单组合体的结构特征及其
相关性质，会运用柱体、锥
体、台体等组合体的表面积
和体积的计算公式求解相关
问题，该内容是新高考卷的
常考内容，一般给定柱、
锥、台体及简单组合体，求
对应的表面积与体积，需强
化复习。
考点3 求几何体的
侧面积、表面积
2023·全国甲卷、2021·全国新Ⅰ卷、
2021·全国甲卷
【知识梳理】
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面
形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相
等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
2.直观图
(1)画法：常用斜二测画法.
(2)规则：
①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x 轴和z
轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度在直观图中变为原
来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧=2π
rl
S 圆锥侧=π rl
S 圆台侧=π(
r 1+ r 2) l
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体
S 表=S 侧+2S 底
V=Sh
锥体
S 表=S 侧+S 底
V=1
3Sh
台体
S 表=S 侧+S 上+S 下
V=1
3( S 上+ S 下 +❑√S上S下) h
球
S 表=4π
R 2
V=4
3 π R 3
【名师点拨】
1.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).
2.直观图与原平面图形面积间的关系S 直观图＝S 原图形.
【随堂练习】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.(
)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)菱形的直观图仍是菱形.( )
(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( )
2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，则该三棱柱的体积为( )
A.4❑√3
B.3❑√3
C.2❑√3
D.❑√3
3.用斜二测画法作一个水平放置的边长为6 的正方形的直观图，则直观图的面积为(
)
A.36
B.18❑√2
C.9❑√2
D.9 ❑√2
2
4.已知圆锥PO 的母线长为2，O 为底面的圆心，其侧面积等于2❑√3π，则该圆锥的体积
为 .
【名师点拨】
1.掌握三个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)(祖暅原理)等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
(3)直观图与原平面图形面积间的关系：S 直观图=
❑√2
4 S 原图形，S 原图形=2❑√2S 直观图.
2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点
(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
【必练核心题型】
题型一 基本立体图形
命题点1 结构特征
【典例】1.(多选)下列说法中正确的是( )
A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B.长方体是直四棱柱
C.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面
命题点2 直观图
【典例】2.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC 的直观图为如图所示
的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'=1
3O'A'，A'B'⊥O'A'，若原平面图形OABC 的面积为
3❑√2，则O'A'的长为( )
A.2
B.❑√2
C.❑√3
D.3
2
命题点3 展开图
【典例】3.(2025·大同模拟)已知圆台的上、下底面的圆心分别为O1，O2，母线
AB=1(点A 位于上底面)，且BO2=2AO1，圆O2的周长为2π
3 ，一只蚂蚁从点A 出发沿
着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为( )
A.1
B.❑√3
C.2
D.❑√5
【变式训练】
变式1.下列说法正确的是( )
A.棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱
B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C.有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
D.直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体不一定是圆锥
变式2.如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2 的菱
形A'B'C'D'，且O'D'=2，则原平面图形的周长为( )
A.4❑√2+4
B.4❑√6+4
C.8❑√2
D.8
变式3.如图在一根高为11 cm，外圆周长为6 cm 的圆柱体外表面缠绕一根细铁丝，
组成10 个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝长度的
最小值为( )
A.61 cm
B.❑√157 cm
C.❑√2 021 cm
D.❑√1 037 cm
题型二 表面积与体积
命题点1 表面积
【典例】1.以边长为2 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所
得圆柱的侧面积等于( )
A.8π
B.4π
C.8
D.4
【典例】2.(2025·枣庄模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为1 和3，侧面展开图是
半个圆环，则圆台的侧面积为( )
A.6π
B.16π
C.26π
D.32π
命题点2 体积
【典例】1.(2024·武汉模拟)“极目一号”Ⅲ型浮空艇(如图1)是中国科学院空天信息
研究院自主研发的，它曾多次成功完成大气科学观测，彰显了中国的实力.“极目一
号”Ⅲ型浮空艇长55 m，高19 m，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台
的组合体，正视图如图2 所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(参考数据：
9.52≈90，9.53≈857，315×1 005≈316 600，π≈3.14)( )
A.9 064 m3
B.9 004 m3
C.8 944 m3
D.8 884 m3
【典例】2.木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足.
如图为一个木楔子，其中四边形ABCD 是边长为1 的正方形，且△ADE，△BCF 均
为正三角形，EF∥CD，EF=2，则该木楔子的体积为( )
A.4 ❑√2
3
B.❑√2
C.2❑√2
3
D.
❑√2
3
【变式训练】
变式1(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们
的高均为❑√3，则圆锥的体积为( )
A.2❑√3π
B.3❑√3π
C.6❑√3π
D.9❑√3π
变式2.(多选)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=3，CC1=4，且
AB⊥BC，P 为BC1的中点，则( )
A.三棱锥A-BCC1的体积为4
B.三棱锥C-APC1的体积为5
2
C.四棱锥C1-ABB1A1的体积为8
D.三棱锥C1-ABC 的表面积为14+2❑√13
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.下面关于空间几何体叙述不正确的是( )
A.正四棱柱都是长方体
B.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
D.有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平
行的几何体是棱柱
2.已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.8 π
3
B.3π
C.10 π
3
D.6π
3.已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD 水平放置的直观图(由斜二测画法得到)是
边长为2 的正方形，则这个直四棱柱的表面积为( )
A.40
B.32+16❑√2
C.64+16❑√2
D.64+16❑√3
4.(2025·新乡模拟)已知某圆锥的轴截面是顶角为α 的等腰三角形，侧面展开图是圆心角
为β 的扇形，若β=3α，则β 等于( )
A.π
3
B.π
2
C.2π
3
D.π
5.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的机械益智玩具.
魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久不衰，每年都会举办大小赛事，
是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶魔方，由27 个单位正方体组成，如图是把魔方的
中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是( )
A.54
B.108-36❑√2
C.162-72❑√2
D.81-18❑√2
6.多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E 与面数F 满足V+F-E=2 的数学关
系.请运用欧拉定理解决问题：碳60(C60)具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强
磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图
所示.碳60(C60)的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32 个面构成的凸多面
体，60 个碳原子处于多面体的60 个顶点位置，则32 个面中正六边形面的个数是( )
A.22
B.20
C.18
D.16
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
∠APB=120°，PA=2，点C 在底面圆周上，且二面角P-AC-O 为45°，则( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4❑√3π
C.AC=2❑√2
D.△PAC 的面积为❑√3
8.(2025·喀什模拟)如图是圆台O1O2，在轴截面ABCD 中，AB=AD=BC=1
2CD=2，下列说
法正确的是( )
A.线段AC=2❑√3
B.该圆台的表面积为11π
C.该圆台的体积为7❑√3π
D.沿着该圆台的表面从点C 到AD 中点的最短距离为5
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2023·新高考全国Ⅰ)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=❑√2，则该
棱台的体积为 .
10.如图1 中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧
面三棱柱”，图2 是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角
形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得
到的，如图3，若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧
面积为 .
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)如图，AB 是圆柱的底面直径，AP 是圆柱的母线且AB=AP=4，点C 是圆柱底
面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积；(5 分)
(2)若AC=2，D 是PB 的中点，点E 在线段AP 上，求CE+DE 的最小值.(8 分)
12.(14 分)如图，矩形O'A'B'C'是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC
的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1.
(1)求平面四边形OABC 的面积；(4 分)
(2)若四边形OABC 以AO 为轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.(10 分)
【尖子生加餐特训】13 题6 分，14 题5 分，共11 分
13.(多选)中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该
几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如
图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1=5，底面扇环所对的圆心角为π
2 ，弧AD 的长度
是弧BC 长度的3 倍，CD=2，则下列说法正确的是( )
A.弧AD 的长度为3 π
2
B.曲池的体积为10 π
3
C.曲池的表面积为20+14π
D.三棱锥A-CC1D 的体积为5
14.如图所示，在边长为5 ❑√2
2
+1 的正方形铁皮上剪下一个最大的扇形和一个圆，使之恰
好围成一个圆锥，则圆锥的高为( )
A.❑√13
B.❑√15
C.❑√17
D.❑√19
