文档文本内容
第 01 讲 分类加法计数原理与分步乘法
计数原理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：分类加法计数原理的应用
题型二：分步乘法计数原理
题型三：两个计数原理的综合应用
角度1：与数字有关的问题
角度2：与几何有关的问题
角度3：涂色问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法，
那么完成这件事共有 种不同的方法.
知识点二：分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法.
知识点三：分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广
（1）完成一件事有 类不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方
法,
……,在第 类方案中有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
（2）完成一件事需要 个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法,……,做第 步
有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：分类加法计数原理的应用典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）若一个 、 均为非负整数的有序数对 ，在做 的加法
时，各位均不进位，则称 为“简单的有序实数对”， 称为有序实数对 之值，则值为2004
的“简单的有序实数对”的个数是（ ）．
A．10 B．15 C．20 D．25
例题2．（2022·全国·高二课时练习）为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫
健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗
接种，则不同接种点的选法共有（ ）
A．11种 B．19种 C．30种 D．209种
例题3．（2022·吉林油田第十一中学高二期末）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本
不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.
同类题型归类练
1．（2022·广东清远·高二期末）从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选
择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．8
2．（2022·浙江省杭州学军中学高三期中）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学
习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（ ）
A．24 B．36 C．60 D．240
3．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学
到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中 ， 两人不能分在同一个社团，则不同的
安排方案数是（ ）
A．56 B．28 C．24 D．12
题型二：分步乘法计数原理
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，用不同的五种颜色分别为 ， ， ， ， 五部
分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则复合这些要求的不同
着色的方法共有（ ）
A．500种 B．520种 C．540种 D．560种例题2．（2022·四川·成都市第二十中学校高三期中）将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别
安排到甲、乙、丙三个新增便民核酸采样点参加核酸检测相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿
者组成，则不同的安排方案共有（ ）
A．90种 B．540种 C．1620种 D．3240种
例题3．（2022·河北邢台·高二阶段练习）回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可
顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味，相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一
副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读
与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6
可以组成3位“回文数”的个数为（ ）
A．30 B．36 C．360 D．1296
例题4．（2022·全国·高三专题练习）某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活
跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变
原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
例题5．（2022·上海徐汇·高二期末）将 展开后有______项．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞
蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动
课程不全相同的选法有（ ）
A．120种 B．150种 C．210种 D．216种
2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））甲、乙、丙共三名学生报名参加夏季运动
会，每人报名一个项目，目前有100米短跑和3000米长跑这两个项目可供选择，则他们报名同一个项目的
概率为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重
门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不
同），第三重门的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作
室的不同的取法共有（ ）
A．10种 B．24种 C．36种 D．120种
4．（2022·北京通州·高二期中）已知集合 ， ．现从集合A中取一个元素作为
点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．6个5．（2022·广东·大埔县田家炳实验中学高二阶段练习）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某
食堂提供的3种主食、4种素菜、2种大荤、3种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙
食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有______种．
题型三：两个计数原理的综合应用
角度1：与数字有关的问题
典型例题
例题1．（2022·天津·南开中学高二期中）用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三
位数的个数是（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56
例题2．（2022·浙江·效实中学高二期中）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数
中，各位数字之和为奇数的共有
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
例题3．（2022·重庆·高二阶段练习）由数字 组成无重复数字的五位数.
(1)一共可以组成多少个五位偶数？
(2)在组成的所有五位数中，比32145大的五位数有几个？
例题4．（2022·江苏连云港·高二期中）用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的
(1)三位数？
(2)无重复数字的三位数？
(3)小于500且没有重复数字的自然数？
同类题型归类练
1．（2022·吉林油田第十一中学高二期末）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比
20000大的五位偶数共有（ ）
A．288个 B．240个 C．144个 D．126个
2．（2022·全国·高三专题练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合
数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )
A．18个 B．15个
C．12个 D．9个
3．（2022·全国·高二课时练习）设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0 (m，n∈A)至少有一个
根x ∈A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为( )
0
A．13 B．15C．17 D．19
4．（2022·全国·高二课时练习）已知集合 ， ，从A中取一个数作为十位数字，
从B中取一个数作为个位数字，能组成______个不同的两位数，能组成______个十位数字小于个位数字的
两位数．
角度2：与几何有关的问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因
此又名足球烯， 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状
为正五边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个.
A．10 B．12
C．16 D．20
例题2．（2022·全国·高二期末）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（
）.
A．105种 B．225种 C．315种 D．420种
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）若一个正方体绕着某直线 旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直
线 的条数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被
剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成
数个“L”形骨牌，则（ ）
A．至多能剪成19块“L”形骨牌
B．至多能剪成20块“L”形骨牌
C．最多能剪成21块“L”形骨牌D．前三个答案都不对
3．（2022·上海交大附中高二期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法
角度3：涂色问题
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）用4种不同颜色给如图所示的地图上色，
要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
例题2．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）用5种不同颜色给右图所示的五个圆环
涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不同的涂色方案．
A．1140 B．1520 C．1400 D．1280
例题3．（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（理））如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，
现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种
法总数为_______．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）现有4种不同颜色要对如图的四个部分进行着色，要求有公共边
界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有______种.同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能
涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是
A．12 B．24 C．30 D．36
2．（2022·全国·高二课时练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年
由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家
着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色
问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（
）
A．36种 B．72种 C．48种 D．24种
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使
用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）
4．（2022·广东·罗定邦中学高二期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共
边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为 ______．
