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25 秋季版八年级数学下册
寒假预习：课内重要知识点归纳
第十六章 分式
一、分式
1. 分式：如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么
式子叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零，分式值
为零的条件分子为零且分母不为零 )
2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除)以一个不
等于0 的整式，分式的值不变。用式子表示如下：
（C≠0） 其中A,B,C 是整式
3．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分
母，它叫做最简公分母。
4．通分：分子和分母同乘最简公分母，不改变分式值，把几
个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。（分母为多项
式时要分解因式）
5．约分：约去分子和分母的公因式，不改变分式值，这个过
程叫约分。
二、分式的运算
1．分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，
分母的积作为分母。
2．分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒
位置后，与被除式相乘。
上述法则可以用式子表
示：
3. 分式乘方法则：一般地，当n 为正整数
时
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4．分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分
子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加
减。
上述法则可用以下式子表示：
5．整数指数幂
任何一个不等于0 的数的0 次幂等于1， 即；
当n 为正整数时， 也就是说an(a≠0)是a-n 的倒数。
正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整
数)
（1）同底数的幂的乘法：；
（2）幂的乘方：;
（3）积的乘方：；
（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；
（5）商的乘方：( n 是正整数)；(b≠0)
三、分式方程
1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。
(解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式
（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，
方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样
就产生了增根，因此分式方程一定要验根。)
2．解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同
乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根。
3．分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如
果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
否则，这个解不是原分式方程的解。
四、列方程应用题
1．列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)
解；(5)答。
2．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：
(1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间
而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
(2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效
(4)顺水逆水问题 v 顺水=v 静水+v 水． v 逆水=v 静水
-v 水．
五、科学记数法：
把一个数表示成的形式（其中，n 是整数）的记数方法叫做科
学记数法。
用科学记数法表示绝对值大于10 的n 位整数时，其中10 的
指数是n-1。
用科学记数法表示绝对值小于1 的正小数时,其中10 的指数是
第一个非0 数字前面0 的个数的负数(包括小数点前面的一个
0)。
第十七章 反比例函数
一、反比例函数
1．反比例函数：一般地，函数（k 是常数，k0）叫做反比例
函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x 的取
值范围是x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
其他形式xy=k
2．反比例函数的图象和性质
①图像：反比例函数的图像属于双曲线。
它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限
接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
②性质:当k＞0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在
每个象限内y 值随x 值的增大而减小；当k＜0 时双曲线的两
支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大
而增大。 ③|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两
坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。K=xy
二、实际问题与反比例函数
由于在反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要一对
对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k (K=xy)的值，
从而确定其反比例函数解析式。一般用待定系数法。
第十八章 勾股定理
一、勾股定理
1.勾股定理：命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a，
b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a2＋
b2=c2。那么这个三角形是直角三角形。2.经过证明被确认正
确的命题叫做定理。
3．逆命题：我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆
命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命
题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
第十九章 四边形
19.1 平行四边行
19.1.1 平行四边形的性质
1.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行
四边形。
2.平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边
形的对角相等。③平行四边形的对角线互相平分。
19.1.2 平行四边形的判定
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
5．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。三角形的
中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
19.2 特殊的平行四边形
19.2.1 矩形
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线
平分且相等。AC=BD
3．矩形判定定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。 ③有三个角是直角的四
边形是矩形。
4．黄金矩形：宽和长的比是（约为0.618）的矩形叫做。
19.2.2 菱形
1．菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2．菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角
线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3．菱形的判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。③四条边相等的四边
形是菱形。
S 菱形=1/2×ab（a、b 为两条对角线）
19.2.3 正方形
1．正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
2．正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。
3．正方形判定定理：①邻边相等的矩形是正方形。②有一个
角是直角的菱形是正方形。
19.3 梯形
1．梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯
形。
2．直角梯形：有一个角是直角的梯形
3．等腰梯形：两腰相等的梯形。
4．等腰梯形的性质：①等腰梯形同一底边上的两个角相等；
②等腰梯形的两条对角线相等。
5．等腰梯形判定定理：①同一底上两个角相等的梯形是等腰
梯形。
6．解梯形问题常用的辅助线：如图
19.4 课题学习 重心
重心：是物体的质量中心，能够保持物体平衡的点就是重心。
(是一个平衡点)①线段的重心就是线段的中点。② 平行四边
形的重心是它的两条对角线的交点。③三角形的三条中线交于
一点，这一点就是三角形的重心。
第二十章 数据的分析
20.1 数据的代表
20.1.1 平均数：包括加权平均数和算术平均数。加权平均数
与算术平均数类似，不同点在于，数据中的每个点对于平均数
的贡献并不是相等的，有些点要比其他的点更加重要。加权平
均数的概念在描述统计学中具有重要的意义，并且在其他数学
领域产生了更一般的形式。如果所有的权重相同，那么加权平
均数与算术平均数相同。加权平均数作为算术平均数的更广义
的表现形式
1.加权平均数：加权平均数的计算公式。
权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。学会权
没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分
布表求加权平均数的方法。
20.1.2 中位数和众数
1.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数
据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数。
2.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
20.2.数据的波动
20.2.1 极差
1．极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数
据的极差。
20.2.2 方差
方差的定义：衡量一组数据的波动大小的一个数据s2，其计
算方法如下：
备注：方差等于各数据与平均数的差的平方的平均数
1.方差：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动
越小，就越稳定。
2. 平均数：平均数受极端值的影响，众数不受极端值的影响，
这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。
20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析
7.数据的收集与整理的步骤：1.收集数据 2.整理数据
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3.描述数据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.交
流
