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§2.14 函数模型的应用
分值：80 分
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知a，b，c，d 四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x 的函数关系分别是
f1(x)=x2，f2(x)=x
1
2 ，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是( )
A.a
B.b
C.c
D.d
2.一组实验数据及对应散点图如图所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )
x
10
20
29
41
50
58
70
y
1
2
3.8
7.4
11
15
21.8
A.y=Alogax+p
B.y=A·ax+p
C.y=ax2+bx+c
D.y=kx+b
3.输血是外伤人员救治的重要手段，血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液
中ATP 含量.已知血液中ATP 浓度S(单位：μmol/gHb)随温度λ(单位：℃)、时间t(单位：天)、及起始浓度
S0变化的近似函数关系式为S=S0t1.08λe-1.30λ(e 为自然对数的底数，e≈2.718 28).由此可知，当血液在20℃恒温
条件下，保存5 天后的ATP 浓度大约相当于血液在4℃恒温条件下保存 天后的ATP 浓度(参考数
据：ln 5≈1.6)( )
A.16
B.20
C.25
D.30
4.(2025·宜宾模拟)根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型y=
N
1+(
N
y0
-1)e
- px
，
其中y(单
位：万辆)为第x 年年底新能源汽车的保有量，p 为年增长率，N 为饱和度，y0为初始值.若2023 年年底该市
新能源汽车的保有量是20 万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1 300 万辆，那么
2033 年年底该市新能源汽车的保有量约为(结果四舍五入保留整数，参考数据：ln 0.887≈-0.12，ln
0.30≈-1.2)( )
A.65 万辆
B.64 万辆
C.63 万辆
D.62 万辆
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.已知函数y1=x2，y2=2x，y3=x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是( )
A.在[0，+∞)上，随着x 的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2
B.在[0，+∞)上，随着x 的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度一直快于y3
D.当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度有时快于y2
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正
常，排气4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4 分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验
知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R 为常数，
e 是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确
的是( )
A.a=128
B.R=1
4 ln 2
C.排气12 分钟后浓度为16 ppm
D.排气32 分钟后，人可以安全进入车库
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.函数y=x 与函数y=x·ln x 在区间(4，+∞)上增长较快的一个是 .
8.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式k=Ae
- Ea
RT 中的参量Ea提出的，是通过实验数据求得，又叫
实验活化能，公式中的k 为反应速率常数，R 为摩尔气体常量，T 为热力学温度(单位为开尔文，简称开)，
A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10 开，反应速率常数k 变为原来的2 倍，则当温度
从300 开上升到400 开时，估计Ea
R 的值为 .(结果精确到百位，参考数据：ln 2≈0.7)
四、解答题(共27 分)
9.(13 分)研究表明：在一节40 分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲
线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数
y=log0.8(x+a)+80 图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68 时，称学生处于“欠佳听课状态”.
(1)求函数y=f(x)的解析式；(6 分)
(2)在一节40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8-12≈14.6，精确到1
分钟)(7 分)
10.(14 分)用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，第一次注射的血药浓度(血药浓度是指药物吸收后
在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)=N0(1-2-kt)，其函数图象如图所示，其中N0为与环境相关的
常数，此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4 到15 之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后
血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)=c·2-kt，其中c 为停药时的人体血药浓度.
(1)求出函数c1(t)的解析式；(5 分)
(2)一病患开始第一次注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第
二次注射？(如果计算结果不是整数，保留小数点后一位，参考数据：lg 3≈0.48，lg 2≈0.30)(9 分)
11 题5 分，12 题6 分，共11 分
11.已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型y=k0·e1.4e-0.125t(k0>0，当t=0 时表示2023 年初的种群数
量).自2023 年初起，经过n 年后(n∈N*)，当该物种的种群数量不足2023 年初的10%时，n 的最小值为(参
考数据：ln 10≈2.3)( )
A.16
B.17
C.18
D.19
12.(多选)(2024·长春模拟)声强级LI(单位：dB)由公式LI=a+blg I 给出，其中I 为声强(单位：W/m2)，相应不
同声的声强级如表所示，则( )
I(W/m2)
LI(dB)
正常人能忍受的最高声强
1
120
正常人能听到的最低声强
10-12
0
正常人交谈时的声强
10-6
L 正常
某人谈话声强
IT
80
A.LI=10lg I
10
12
B.I=(
10√10)
LI -120
C.L 正常=60
D.IT=10-4
答案精析
1.D 2.C
3.C [设所求为t 天，由题意得S0×51.08×20e-1.30×20
=S0×t1.08×4e-1.30×4，
解得t4.32=5
21.6
e
20.8 ，
取对数为ln t=21.6 ln5-20.8
4.32
≈3.2≈2ln 5=ln 25，所以t≈25.]
4.B [根据题中所给模型，代入有关数据，
则2033 年年底该市新能源汽车的保有量为y=
1 300
1+(
1 300
20
-1)e
-0.12×10
= 1 300
1+64 e
-1.2 ，
因为ln 0.30≈-1.2，所以e-1.2≈0.30，
所以y= 1 300
1+64 e
-1.2≈
1 300
1+64×0.30≈64，
所以2033 年年底该市新能源汽车的保有量约为64 万辆.]
5.BD [在同一平面直角坐标系中画出函数y1=x2，y2=2x，y3=x 的图象，如图所示.
对于A，B，
在[0，+∞)上，随着x 的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1，故A 错误，B 正确；
对于C，当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度不是一直快于y3的，故C 错误；
对于D，当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度有时快于y2，故D 正确.]
6.ACD [设f(t)=aeRt，
由题意得{
ae
4 R=64，
ae
8 R=32，
解得{
a=128，
R =- 1
4 ln 2，A 正确，B 错误；
此时f(t)=128(e
R)
t=27·(2
- 1
4 )
t=2
7- t
4 ，所以f(12)=24=16(ppm)，C 正确；
当f(t)≤0.5 时，2
7- t
4≤0.5=2-1，得7- t
4 ≤-1，所以t≥32，所以排气32 分钟后，人可以安全进入车库，D 正
确.]
7.y=x·ln x
解析 当x∈(4，+∞)时，x·ln x-x=x(ln x-1)>x(ln 4-1)>0，所以函数y=x·ln x 在区间(4，+∞)上增长较函数y=x
快.
8.8 400
解析 根据题意，温度每增加10 开，反应速率常数k 变为原来的2 倍，则当温度从300 开上升到400 开时，
反应速率常数k 变为300 开时的210倍，
由k=Ae
- Ea
RT ，
当T=300 开时，k1=Ae
-
Ea
300 R ，
当T=400 开时，k2=Ae
-
Ea
400 R ，
所以
k2
k1
= A e
-
Ea
400 R
A e
-
Ea
300 R
=210，
即e
Ea
300 R -
Ea
400 R=210，
e
Ea
1 200 R=210，
Ea
1 200 R =10ln 2，
Ea
R =12 000ln 2≈12 000×0.7
=8 400.
9.解 (1)当x∈[0，16]时，
设函数f(x)=b(x-12)2+84(b<0)，
因为f(16)=b(16-12)2+84=80，
所以b=-1
4 ，
所以f(x)=-1
4 (x-12)2+84；
当x∈[16，40]时，
f(x)=log0.8(x+a)+80，
由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=-15，
所以f(x)=log0.8(x-15)+80，
综上，f(x)
={
- 1
4 ( x -12)
2+84，x∈[0，16]，
lo g0.8( x -15)+80，x∈[16，40].
(2)当x∈[0，16]时，
令f(x)=-1
4 (x-12)2+84≤68，
即(x-12)2≥64，
解得x≤4 或x≥20(舍去)，
所以x∈[0，4]；
当x∈[16，40]时，
令f(x)=log0.8(x-15)+80≤68，
得x≥15+0.8-12≈29.6，
所以x∈[30，40]，
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4-0+40-30=14(分钟).
10.解 (1)由图象可知，图象经过(4，8)，(8，12)两点，将两点坐标代入c1(t)=N0(1-2-kt)，
则{
N 0(1-2
- 4 k)=8，
N 0(1-2
-8k)=12，
解得{
N 0=16，
k = 1
4 ，
所以c1(t)=16×(1-2
- 1
4 t).
(2)由题意，可知有治疗效果的浓度在4 到15 之间，
所以浓度为15 时为最迟停止注射时间，
由c1(t)=16×(1-2
- 1
4 t)=15，
解得t=16，
浓度从15 降到4 为最长间隔时间，
故c2(t)=15×2
- 1
4 t=4，
即2
- 1
4 t= 4
15 ，
等号两边同时取以2 为底的对数，
则log22
- 1
4 t=log2 4
15 ，
即- t
4 =log24-log215=2-lg15
lg2
=2-lg(3×10× 1
2)
lg2
=2-lg3+1-lg2
lg2
≈2-0.48+1-0.3
0.3
≈-1.93，
所以t≈1.93×4≈7.7，
所以开始第一次注射后，最迟隔16 小时停止注射，为保证治疗效果，
最多再隔7.7 小时开始进行第二次注射.
11.D [由题意可知2023 年初的种群数量为t=0 时的函数值k0·e1.4e，
故令y=k0·e1.4e-0.125t<10%·k0·e1.4e，
即e-0.125t< 1
10 ，
则0.125t>ln 10，
∴t> ln10
0.125=8ln 10≈8×2.3=18.4，
由于n∈N*，故n 的最小值为19.]
12.BCD [由表格得a+blg 1=120，所以a=120，
又因为120+blg 10-12=120-12b=0，得b=10，
所以LI=120+10lg I=10(12+lg I)=10lg(1012I)，A 错误；
lg I= LI -120
10
，
则I=10
LI -120
10 =(
10√10)
LI -120，B 正确；
当I=10-6时，L 正常=120+10lg 10-6=60，C 正确；
当LI=80 时，IT=10
80-120
10
=10-4，D 正确.]
