解析几何中的同构技巧
【知识拓展】
1.数学中的同构式是指变量不同,但结构相同的两个表达式.解析几何中,常有一些点、直线、方程
具有相同的特征,将这些“形”的共性坐标化,根据式子结构的相似性,对其进行代数变形的统一构
造处理,就是同构.
2.解析几何中的同构主要有:(1)点、直线的同构,(2)方程的同构.
3.同构的关键在于发现代数式子结构的相似性.
【类型突破】
类型一 一次式同构
例1 如图,设点P(x0,y0)在直线x＝m(y≠±m,0<m<1)上,过点P 作双曲线x2－y2＝1 的两条切线
PA,PB,切点为A,B,求证:直线AB 过某一个定点.
证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),PA 的斜率为k,
则PA:y－y1＝k(x－x1),
联立{
y −y1＝k( x−x1),
x
2−y
2＝1,
消去y 可得
x2－[kx＋(－kx1＋y1)]2＝1,
整理可得(1－k2)x2－2k(y1－kx1)x－(y1－kx1)2－1＝0,
∵PA 与双曲线相切,
∴Δ＝4k2(y1－kx1)2＋4(1－k2)(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0,
∴4(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0,
∴k2x1
2－2kx1y1＋y1
2＋1－k2＝0,
即(x1
2－1)k2－2kx1y1＋(y1
2＋1)＝0.
又x1
2－y1
2＝1,
∴x1
2－1＝y1
2,y1
2＋1＝x1
2,
代入可得y1
2k2－2x1y1k＋x1
2＝0,
即(y1k－x1)2＝0,即k＝
x1
y1
,
∴PA:y－y1＝
x1
y1
(x－x1),
∴y1y＝x1x－1,
同理,切线PB 的方程为y2y＝x2x－1.
∵P(m,y0)在切线PA,PB 上,
∴有{
y0 y1＝m x1−1,
y0 y2＝m x2−1,
∴A,B 满足直线方程y0y＝mx－1,是两点唯一确定的一条直线,
∴AB:y0y＝mx－1,
∴当{
x＝1
m ,
y ＝0
时,无论y0为何值,等式均成立;
∴点(
1
m ,0)恒在直线AB 上,故无论P 在何处,AB 恒过定点(
1
m ,0).
规律方法 点A(x1,y1),B(x2,y2)满足方程{
A x1＋B y1＋C ＝0,
A x2＋B y2＋C ＝0,则直线AB 的方程为Ax＋By＋C＝0.
训练1 (2025·昆明诊断)已知抛物线C:x2＝4y 和圆M:x2＋(y＋4)2＝1.若点P 在圆M 上,PA,PB 是C
的两条切线,A,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.
解 抛物线C 的方程为x2＝4y,即y＝x
2
4 ,
对该函数求导得y'＝x
2.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
则直线PA 的方程为y－y1＝x1
2 (x－x1),
即y＝x1 x
2 －y1,即x1x－2y1－2y＝0.
同理,可知直线PB 的方程为x2x－2y2－2y＝0.
由于点P 为这两条直线的公共点,
则{
x1 x0−2 y1−2 y0＝0,
x2 x0−2 y2−2 y0＝0,
所以点A,B 的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0,
所以直线AB 的方程为x0x－2y－2y0＝0.
联立{
x0 x−2 y −2 y0＝0,
y ＝x
2
4 ,
可得x2－2x0x＋4y0＝0,
则x1＋x2＝2x0,x1x2＝4y0,
所以|AB|＝√
1＋(
x0
2 )
2
·√( x1＋x2)
2−4 x1 x2＝√
1＋(
x0
2 )
2
·√4 x0
2−16 y0
＝√( x0
2＋4)( x0
2−4 y0),
点P 到直线AB 的距离为d＝
| x0
2−4 y0|
√x0
2＋4
,
所以S△PAB＝1
2|AB|·d
＝1
2 √( x0
2＋4)( x0
2−4 y0)·
| x0
2−4 y0|
√x0
2＋4
＝1
2(x0
2－4y0)
3
2.
因为x0
2－4y0＝1－(y0＋4)2－4y0＝－y0
2－12y0－15＝－(y0＋6)2＋21,－5≤y0≤－3,
所以当y0＝－5 时,△PAB 的面积取最大值1
2×20
3
2＝20√5.
类型二 二次同构
例2 (2025·南京模拟改编)已知椭圆C: x
2
4 ＋y
2
2 ＝1,当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同
点A,B 时,在线段AB 上取点Q,满足|⃗AP|·|⃗QB|＝|⃗AQ|·|⃗PB|,证明:点Q 总在某定直线上.
证明 设点Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
由题设,|⃗PA|,|⃗PB|,|⃗AQ|,|⃗QB|均非零,
|⃗PA|∶|⃗AQ|＝|⃗PB|∶|⃗QB|,
又P,A,Q,B 四点共线,可设⃗PA＝λ1⃗AQ,⃗
PB＝λ2⃗BQ,则λ1＋λ2＝0,
于是x1＝
4＋λ1 x
1＋λ1
,y1＝
1＋λ1 y
1＋λ1
,
由于A(x1,y1)在椭圆C 上,将其代入C 的方程x2＋2y2＝4,
整理得(x2＋2y2－4)λ1
2＋4(2x＋y－2)λ1＋14＝0,
同理有(x2＋2y2－4)λ2
2＋4(2x＋y－2)λ2＋14＝0,
即λ1,λ2为方程(x2＋2y2－4)λ2＋4(2x＋y－2)λ＋14＝0 的两根,
于是λ1＋λ2＝－4(2 x＋y −2)
x
2＋2 y
2−4 ＝0,
即2x＋y－2＝0,点Q(x,y)总在定直线2x＋y－2＝0 上.
规律方法 1.若出现两个结构相同的一元二次方程时,说明此两方程的未知数是对应的一元二次方
程的两根.
2.根据两同构方程未知数(即元)的意义,常见的二次方程同构有两点坐标同构、两直线斜率同构、
截距同构、定比分点同构等.
训练2 (2025·北京朝阳区模拟改编)如图所示,已知抛物线x2＝4y 的焦点为F,过F 的直线交抛物线
于A,B 两点,A 在y 轴左侧且AB 的斜率大于0.已知P(1,0)为x 轴上一点,若直线PA,PB 分别交抛物
线于C,D 两点,问是否存在实数λ 使得⃗AB＝λ⃗CD,若存在,求出λ 的值;若不存在,说明理由.
解 存在λ＝5 满足条件,理由如下:
设A(x1, x1
2
4 ),B(x2, x2
2
4 ),C(x3,y3),D(x4,y4),直线AB 的方程为y＝kx＋1,
联立{
y ＝kx ＋1,
x
2＝4 y ,
得x2－4kx－4＝0,x1＋x2＝4k,x1x2＝－4,
若⃗AB＝λ⃗CD,则AB∥CD,且| AB|
|CD| ＝λ,
于是| PA |
| PC | ＝| AB|
|CD| ＝λ,从而⃗PA＝λ⃗PC,
即(x1−1, x1
2
4 )＝λ(x3－1,y3),
{
x1−1＝λ( x3−1),
x1
2
4 ＝λ y3,
于是{
x3＝x1＋λ−1
λ
,
y3＝x1
2
4 λ ,
即C(
x1＋λ−1
λ
, x1
2
4 λ),同理D(
x2＋λ−1
λ
, x2
2
4 λ),
将C 坐标代入x2＝4y,
整理得( x1＋λ−1)
2＝λx1
2,
即(λ－1)x1
2－2(λ－1)x1－(λ－1)2＝0,
∵λ≠1,∴x1
2－2x1＋1－λ＝0,
同理有x2
2－2x2＋1－λ＝0,
于是x1,x2是方程x2－2x＋1－λ＝0 的两根,∴x1x2＝1－λ,
故1－λ＝－4,λ＝5.
【精准强化练】
1.如图,已知抛物线C:x2＝4y,P(1,－2)为抛物线外一点,过点P 向抛物线引两条切线,切点分别为
A,B,求直线AB 的方程.
解 设A(x1,y1),B(x2,y2),y'＝x
2,
故直线AP:y－y1＝x1
2 (x－x1),
化简可得AP:x1x－2y－2y1＝0,
同理可得直线BP:x2x－2y－2y2＝0,
又因为P(1,－2)在直线PA,PB 上,
所以{
x1−2 y1＋4＝0,
x2−2 y2＋4＝0,即A(x1,y1),B(x2,y2)在直线x－2y＋4＝0 上,
故直线AB 的方程为x－2y＋4＝0.
2.已知直线l:y＝k(x－1)(k≥0)与椭圆C: x
2
8 ＋y
2
4 ＝1 相交于A,B 两点,过C 上的点P 作x 轴的平行线
交线段AB 于点Q,直线OP 的斜率为k'(O 为坐标原点),△APQ 的面积为S1,△BPQ 的面积为S2,若|
AP|·S2＝|BP|·S1,判断k·k'是否为定值?并说明理由.
解 k·k'为定值,且k·k'＝1
2,证明如下:
由|AP|·S2＝|BP|·S1,
得| AP|
|BP| ＝S1
S2
＝
1
2 | AP|| PQ|sin ∠APQ
1
2 |BP|| PQ|sin ∠BPQ
＝| AP|sin ∠APQ
|BP|sin ∠BPQ ,
因此sin∠APQ＝sin∠BPQ,
而∠APQ＋∠BPQ＝∠ABP∈(0,π),
有∠APQ＝∠BPQ,
于是PQ 平分∠APB,直线AP,BP 的斜率kAP,kBP互为相反数,
即kAP＋kBP＝0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
由{
x
2
8 ＋y
2
4 ＝1,
y ＝k( x−1),
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0,
即有{
x1＋x2＝
4 k
2
2k
2＋1
,
x1· x2＝2k
2−8
2k
2＋1
,
而kAP＋kBP＝
y1−y0
x1−x0
＋y2−y0
x2−x0
＝0,
∴
( y1
2−y0
2)( x1＋x0)
( x1
2−x0
2)( y1＋y0)
＋y2−y0
x2−x0 ＝0,
∴1
2·
x1＋x0
y1＋y0
＝y2−y0
x2−x0 ,
∴x1x2＋x0x2－x1x0－x0
2＝2y1y2＋2y0y2－2y1y0－2y0
2,①
同理,x2x1＋x0x1－x2x0－x0
2＝2y2y1＋2y0y1－2y2y0－2y0
2,②
由①－②得2x0(x2－x1)＝4y0(y2－y1),
则k·k'＝
( y2−y1)
( x2−x1) ·
y0
x0
＝1
2
