第6讲 空间线段以及线段之和最值问题
一、单选题
1．（2025·高三·北京·开学考试）长方体 中， 为线段 的中点，
是棱 上的动点，若点 为线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：
根据题意，截面 是边长为 的正方形， 为 的中点.
点在 上，在线段 上取点 ，使得 .
根据正方形的对称性，则 ，所以 ，
表示点 沿着折线 到直线 的距离.
取 的中点 ，则 ，根据垂线段最短可得： .
所以 的最小值为 .故选：A
2．（2025·高三·辽宁·期中）已知高为 的正四棱台 的所有顶点都在球 的球面上，
， 为 内部（含边界）的动点，则（ ）
A．平面 与平面 的夹角为
B．球 的体积为
C． 的最小值为
D． 与平面 所成角度数的最大值为
【答案】D
【解析】
对于 ：取 中点为 ，连接 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角为 ，
因为 ，所以 ， ，又高为 ，所以 ，
所以 ，即平面 与平面 的夹角为 .故 错误；
对于 ： ，所以点 到各个顶点的距离都为 ，
所以点 即为正四棱台 的外接球的球心，
所以球的半径为 ，所以球 的体积为 ，故 错误；
对于 ：易得 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ，
连接 ，交 于点 ，连接 ，则四边形 为菱形，
所以 ， ，又 平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 ，连接 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当点 与 重合时等号成立，故 错误；
对于 ：因为 平面 ，垂足为 ，
平面 ，所以 为直线 到平面 的距离，
所以点 到平面 的距离为 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当点 与 重合时等号成立，
所以 与平面 所成角度数的最大值为 ，故 正确.
故选：
3．（2025·陕西商洛·模拟预测）如图， 为圆锥 的底面圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的动
点， ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥 的侧面积为
B．三棱锥 的体积的最大值为
C． 的取值范围是
D．若 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为
【答案】D
【解析】在 中， ，则圆锥的母线长 ，半径 ，
对于A，圆锥 的侧面积为： ，故A错误；对于B，当 时， 的面积最大，此时 ，
则三棱锥 体积的最大值为 ，故B错误；
对于C，因为 为等腰三角形， ，又 ，所以 ，
当点 与点 重合时， 为最小角，当点 与点 重合时 ，达到最大值，
又因为 与 不重合，则 ，又 ，可得 ，故C错误；
对于D，由 ，得 ，又 ，
则 为等边三角形，则 ， 将 以 为轴旋转到与 共面，得到 ，
则 为等边三角形， ，如图可知 ，
因为 ，
，
则 ，故D正确；
故选：D.
4．（2025·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气
体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面
都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面
体 的棱长为 ，下列说法中正确的个数有（ ）①异面直线 与 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ；
③若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 ；
④若点 为四边形 的中心，点 为此八面体表面上动点，且 ，则动点 的轨迹长度为
.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对①：连接 ，取 中点 ，连接 、 ，
由题意可得 、 为同一直线， 、 、 、 四点共面，
又 ，故四边形 为菱形，
故 ，故异面直线 与 所成的角等于直线 与 所成的角，
即异面直线 与 所成的角等于 ，故①错误；
对②：由四边形 为正方形，有 ，
故四边形 亦为正方形，即点 到各顶点距离相等，即此八面体的外接球球心为 ，半径为 ，
设此八面体的内切球半径为 ，
则有 ，化简得 ，
则此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ，故②正确；
对③：将 延 折叠至平面 中，如图所示：
则在新的平面中， 、 、 三点共线时， 有最小值，
则 ，故③错误.
对于④，设三角形 的内切圆半径为 ，则由等面积法，有 ，
解得 ，
由②可知，点 到平面 的距离为 ，
所以 ，
这表明当点 在平面 内时，点 在三角形 的内切圆上运动，
它的周长是 ，根据对称性可知动点 的轨迹长度为 ，故④正确.
正确的编号有②④.
故选：B.
5．（2025·高一·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全
相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而
成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段 ， 上，则 的最
小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将该半正多面体展开为平面，且 在线段 两侧（两线段在两点之间），如下图所示，
由半正多面体中，棱长为2，得 ， ，
且 ，故 ，
所以 ，当且仅当在展开图中 共线时等号成立.
故选：D.6．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥 ，底面 是边长为2的正三角形，且 平面
为 的中点， 为平面 内一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】
平面 平面 平面 平面 .
如图，设点 关于平面 对称的点为 ，连接 ， ，
则四边形 为平行四边形且 .
连接 （当且仅当 三点共线时取等号）.
取 的中点 ，连接 ，
则 平面 平面 .
在 中，由余弦定理，得 ，
， 的最小值为 .
故选：A.
7．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）正方体 的棱长为2， 是棱 上的一个动点（含
端点），则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．【答案】C
【解析】由正方体的性质可得 为等边三角形，边长为 ，
为等腰直角三角形，其直角边长为 ，
将下图中 绕 翻折至与 共平面，
因为 ， ，所以 ， ， 共线时，
最小，此时 为 中点，则 最小值为 ．
故选：C
8．（2025·北京·模拟预测）如图所示，已知正四棱柱 的上下底面的边长为3，高为4，点
M，N分别在线段 和 上，且满足 ，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线
段 和MN上的动点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
过点 作 ，交 于点 ，连接 ，
取 中点 ，连接 ，
根据题意，因为 ，
所以当 三点共线，且 时，
，且有最小值，如图所示，
在 中， ， ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，
故选：A.9．（2025·高三·河南开封·期末）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面
， ， ，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图1，取AD的中点F，连接EF，PF，过点M作PF的垂线，垂足为H.由 ， ，
四边形ABCD为矩形，可得 ，由平面 平面ABCD，可得 平面PAD.在 中，由
， ，可得 .由 平面PAD，可得 平面PAD，可得
.将 和 所在平面折叠在一个平面内，过点B作PF的垂线，垂足为T，如
图2所示，易知 .记 ，由 ， ，可得 ， ，
， ， ，可得 ， ， ，则，故 的最小值为
.
故选： .
10．（2025·高三·河南·期末）已知正方体 的棱长为2，E，F，G分别是棱 ，AB，BC
的中点，P是底面ABCD内（包括边界）的动点， 平面EFG，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接 ，
因为E，F，G分别是棱 ，AB，BC的中点，
所以 ， ∥ ，
因为 ， ∥ ，
所以 ， ∥ ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ， ∥平面 ，
因为 ，所以平面 ∥平面 ，
所以点 在 上移动时， 平而EFG，
所以当 时， 取得最小值，
因为 为等边三角形，
所以当 为 的中点时， ，
因为正方体 的核长为2，
所以 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，
故选：C
11．（2025·高二·北京·期末）如图，在长方体 中， ，点M在平面上，则线段 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意问题转化为求点B到平面ACD 的距离 ，
1
因为
所以 ， ，
所以 边上的高 ，
故三角形ACD 的面积为 ，
1
又三棱锥的体积 ，
所以 ，
故选: D
12．（2025·高三·云南昆明·阶段练习）已知底面边长为2的正四棱锥O-ABCD的侧棱长为 ，E，F分别
为AB，BC的中点，点P，Q在底面ABCD内，且Q在线段DE上，过顶点O平行于底面ABCD的平面为
，F在平面 内的射影为 ， 长度为 ，则PQ长度的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得正四棱锥 的高为2，
故可将正四棱锥 放置在棱长为2的正方体 中，
如图所示，易得线段 的中点即为 点，连接 ，则 ，
进而， ，
所以在平面 内，点 的轨迹是以 为圆心､以1为半径的圆，
作 ，垂足为 . ，
，所以 ，
所以 长度的最小值为 .
故选：D.二、多选题
13．（2025·高三·重庆·阶段练习）在棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动（包括
端点），点 平面 ，且 与 所成角是 ，则下列正确的选项有（ ）
A．
B．点 的轨迹是双曲线
C． 的最小值为4
D．直线 与平面 所成角的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A项，连接 ，
在正方体 中， ，
由 且 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，故 ，故A正确.
对于B项， 与 所成角是 ，所以 与 所成角是 ，
M在以 为轴的圆锥的表面上， 平面 ，平面 截圆锥的图形为双曲线，故B正确；
对于C项，把 往上翻折到与平面 共面，
又因为 ，即 往上翻折成 ，即在四边形 中求 ，
所以可得最小值为 ，故C不正确；
对于D项，连接 ，再连接 ，
在正方体 ，易得 平面 ，
所以 即为直线 与平面 所成角，
在 中， ，当点 与点 重合时 最大，最大值为
，
直线 与平面 所成角的正切的最小值为 ，
所以直线 与平面 所成角的最小值为 ，所以D正确.
故选：ABD14．（2025·山西临汾·一模）已知正方体 的棱长为3， 在棱 上，且满足 ，
动点 在 内（包括边界）移动，动点 在正方体内（包括边界）移动，且 ，则（ ）
A． 的最小值为
B．动点 在面 内运动轨迹的长度为
C．动点 的轨迹与动点 的轨迹的交线是椭圆的一部分
D．在正四面体 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4
【答案】BD
【解析】以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设 关于平面 的对称点为 ，则 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
又点 ，点 到平面 的距离相等，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ，
所以 ，故A错误；因为 平面 ，若动点 在平面 内时，则 ，
又 ，则 ，可得 的轨迹是以 为圆心，3为半径的圆弧，
且在四边形 的圆弧是圆的 ，
所以动点 在面 内运动轨迹的长度为 ，故B正确；
动点 的轨迹是以 为轴， 为顶点的圆锥在正方体 内的部分，
底面半径为 ，
易得 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 是圆锥的母线，所以平面 与圆锥的交线是抛物线的一部分，故C错误；
设正四面体 的底面正三角形 的中心为 ，
由正四面体的性质可得 平面 ，
由正弦定理可得 ，
所以正四面体的高为 ，设正四面体的内切球的半径为 ，
则 ，所以 ，
设半径是 的球的内接正四面体的边长为 ，则可将内接正四面体补形成边长为
的正方体，
则 ，解得 ，
在正四面体 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4，故D正确．
故选：BD.
15．（2025·高三·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 ， 上
的动点， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱 的体积为
B．直三棱柱 外接球的表面积为
C．若 ， 分别是棱 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为D． 取得最小值时，
【答案】BCD
【解析】对于A，由 ， ，得直三棱柱 为正三棱柱，
则 ，A错误；
对于B，令 和 外接圆的圆心分别为 和 ，连接 ， 的中点为 ，连接 ，
则 ， 为直三棱柱 的外接球半径，
且 ，该球的表面积为 ，B正确；
对于C，取 的中点 ，连接 ，由 是棱 的中点，
得 ，则四边形 为平行四边形， ，同理 ，
即异面直线 与 所成角或其补角， ，连接 ，则 ， ，
因此异面直线 与 所成角的余弦值为 ，C正确；
对于D，将直三棱柱 的侧面展开得到平面展开图，连接 ，分别交 于点 ，
于是 的最小值为 ，由 ，得 ，D正确．
故选：BCD
16．（2025·江西上饶·一模）在棱长为2的正方体 中，点 满足 ，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时， 的最小值为
D．当 ， 时，若点 为四边形A B C D （含边界）内一动点，且 ，则点 的轨迹长
1 1 1 1
度为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图所示，当 时，点 的轨迹为线段 ，连接 、 ，可得 ，
，所以 平面 ，所以 ，同理可证得 ，所以 平面 ，所以 ，
所以选项A正确；
对于B，如图所示，取 、 的中点 、 ，当 时，
点 的轨迹为线段 ， ， ，
因为 平面 ，所以 到平面 的距离 ，
所以三棱锥 的体积为定值，所以选项B正确；
对于C，如图所示，当 时，点 的轨迹为线段 ，将三角形 旋转至平面 内，
可知 ，
由余弦定理可得 ，
所以选项C错误；对于D，如图所示，当 ， 时，点 为 的中点， ， ，
所以 ，即点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的 圆，所以点 的轨迹长度为 ，
所以选项D正确.
故选：ABD.
17．（2025·山东聊城·模拟预测）棱长为2的正方体 中， 分别是 的
中点，点 在线段 上，点 在底面 内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（ ）
A．当点 在棱 上移动时，总存在点 ，使得 成立
B．当点 在棱 上移动时，存在点 和 ，使得 成立
C．三棱锥 体积的最大值是
D． 的最小值是
【答案】ACD
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
则有 ，
设 ，则 ，
则 ，
对于A，若 ，则 ，
解得 ，所以当点 为 的中点时，满足题意，故A正确；
对于B，若 ，则 ，且 ，
， ，故B错误；
对于C，点 在棱 上时， 的面积 最大，
此时， ，故C正确；
对于D，在平面 内作 关于 的对称点 ，取 中点 ，连接 ,则有 ， 三点共线.
A B C D A B C D
由于 平面 1 1 1 1， 平面 1 1 1 1，则 ，
故只需 三点共线且 时， 取最小值.
由于 平面 ，这样可使 平面 ，
又 平面 ，从而 ，此时 取最小值，
由 ， ,则 ，
则 ，故D正确.
故选：ACD.
18．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在直棱柱 中，底面ABCD为菱形，且
， ， 为线段 的中点， 为线段 的中点，点 满足 （
， ），则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则三棱锥 的体积为定值
B．若 ，则有且仅有一个点P，使得
C．若 ，则 的最小值为6
D．若 ， ，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为
【答案】ACD
【解析】对于选项 ：当 时， ，故点 在 上运动，
而 平面 ， 所以三棱锥 的体积为定值.
故 正确；
对于选项 ：当 时，取 中点记为 ，连接 ，易得点 在 上运动，
当点 与点 重合时，因为底面 为菱形，且 ，
所以 ，又因为 为 中点，所以 ，
又 ，所以 ，又由已知此棱柱为直棱柱，所以 面 .
则 ，所以 ，
又 ，所以 ，即
所以 ，即 .
当点 与点 重合时，因为 ，又 ，所以 ，则 ，即 ，
所以 ，即 .
故 错误；
对于选项 ：当 时，取 中点记为 ，取 中点记为 ，
连接 ， 则点 在线段 上运动，易得点 关于直线 的对称点为 ，
连接 ，此时点 、 、 三点共线，
故点 与点 重合时， 取得最小值为 ，
故 正确；
对于选项 ：当 ， 时， 为 的中点，
A B C D
因为由直棱柱性质可知，面 面 ，面 面 1 1 1 1，
则平面 截该直棱柱交 于 ，交 于 .
且由定理可得
，所以易得 与 相似， 与 相似，易知 ， ，
所以 ， ，
，
，
易得平面 截该直棱柱所得截面周长为 ，
故 正确.
故选：ACD
19．（2025·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在直四棱柱 中，底面 为菱形，
，P为 的中点，点 满足 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．若 ，则四面体 的体积为定值B．若 ，则点 的轨迹为一段圆弧
C．若 的外心为O，则 为定值2
D．若 且 ，则存在点E在线段 上，使得 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图，取 靠近 的三等分点为 ， 靠近 的三等分点为 ，
连接 ，
因为 ，所以 ，
令 ，而 ，
则 ，得到 ，
因为 靠近 的三等分点为 ， 靠近 的三等分点为 ，所以 ，
而由直四棱柱性质得 ，
而 ，由勾股定理得 ，
在直四棱柱 中， ， ，
得到四边形 是平行四边形，故 ，
则 ，由题意得 为 的中点，则 的面积是定值，
而 面 ， 面 ，所以 面 ，结合 ，由线面平行性质得 到面 的距离为定值，
即四面体 的体积为定值，故A正确，
A B C D
对于B，如图，在面 1 1 1 1中，过 作 ，连接 ，
A B C D
由直四棱柱性质得 面 1 1 1 1，则 ，
而 ， 面 ，
故 面 ，则 ，
A B C D
1 1 1 1
而面 为菱形，则面 为菱形，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
由锐角三角函数定义得 ，解得 ，由勾股定理得 ，
因为 ，所以由勾股定理得 ，
则 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设该圆与 交于 ，与 交于 ，
由三角函数定义得 ，则 ，即点 的轨迹为一段圆弧，故B正确，
对于C，如图，作 ，由题意得 的外心为 ，故 是 的中点，
由已知得 ，因为 ，所以 ，
而 ，
，故C错误，
对于D，若 且 ，此时 ，
因为P为 的中点，所以 ，
由向量加法法则得 ，故 ，
则点 与点 重合，此时把 沿着 翻折，
如图，使得 四点共面，此时 有最小值 ，
此时的点均为翻折过的点，因为P为 的中点，所以 ，
由勾股定理得 ，如图，连接 ，由已知得 ，则 ，
由余弦定理得 ，解得 ，
A B C D
由直四棱柱性质得 面 1 1 1 1，则 ，
则由勾股定理得 ，
则 ，故 ，
而 ，则 ，得到 ，
由余弦定理得 ，解得 ，故D正确.
故选：ABD
20．（2025·高三·江苏宿迁·开学考试）在棱长为3的正方体 中，点M是线段 的中点，
点F满足 ，其中 ，则 （ ）
A．平面 平面
B．对于任意 ， 三棱锥 的体积为定值
C． 周长的最小值为
D．当 时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
对于选项A：因为 ， ， ，
设平面 法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
因为 ，则 ，
所以平面 平面 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，则 ，
可知 与 不垂直，则 与平面 不平行，
所以当 在 运动时， 到平面 的距离不是定值，
且底面 的面积为定值，则三棱锥 的体积不是定值，故B错误；
对于选项C：因为 ，将平面 沿 旋转至与平面 共面，
则 ，可得 ，
所以 周长的最小值为 ，故C正确；
对于选项D：因为正方体的球心 ，球的半径 ，
当 时，则 ，可得 ， ，
设平面 法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
则球心 到平面 的距离 ，
设平面 截该正方体的外接球所得截面圆的半径为 ，
则 ，
所以平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为 ，故D正确.
故选：ACD.
21．（2025·高三·重庆·阶段练习）已知直棱柱 的所有棱长均为 ， ，动点 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若直线 与直线 所成角为定值，则 点轨迹为圆的一部分
C．当 时，三棱锥 的外接球的体积为
D．记点 到直线 的距离为 ，当 时，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为 ，
所以点M在平面 内，因为底面 为菱形，所以 ,
又因为直棱柱，所以 ,又因为 平面 ,
平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，故A正确；
对于选项C，
当 时，点M在体对角线交点处，故点M在与底面 垂直且到底面距离为1，因为 ,所以 的外接圆半径
为 ，设外接球半径为 ，球心到平面 的距离为h，
则 ,
即 ，两式联立得 ，
故外接球体积为 ，故C正确；
对于选项D，
当 时，则 三点共线，即点M在线段 上，如图建立空间直角坐标系，
则 , ,
则 ，
故 ,则 ,
又 得
， ,
故 ，当且仅当 时， ，故D正确；对于选项B， ， ， ，
，
由（1）可知，平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
设 ，由于 是直线 与平面 内所有直线中所成角的最小值，
所以， ，由 ，
化简可得 ，且 ，
易知点 为平面 内的一点，
当 时，则 ，此时，点 的轨迹为平面 内的一条线段；
当 时，则 ，此时，点 的轨迹为平面 内的一条线段；
当 时，化简可得 或 ，
此时，点 的轨迹为平面 内的两条线段，故B错误.
故选：ACD.
22．（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 上的动点，
则下列说法正确的是（ ）A．点 到平面 的距离为定值
B．直线 与 所成角的取值范围为
C． 的最小值为
D．若 为线段 上的动点，且 平面 ，则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】选项A：如图1，由题易知 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以动点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，为定值，A正确.
选项B：直线 与 所成的角即直线 与 所成的角，
当 为 的中点时，所成的角最大，为 ，
当 与 （或 ）重合时，所成的角最小，为 ，
所以 与 所成角的取值范围为 ，B正确.
选项C：将 沿直线 翻折，使其与平面 共面，
记翻折后点 对应的点为 ，连接 ，如图2，则 ，在 中，由余弦定理可得：
，
即 的最小值为 ，C错误.
选项D：如图3，过 作 于点 ，连接 ，
则 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ， ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，所以 .
设 ，则 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，D正确.
故选；ABD
23．（2025·河南安阳·一模）已知直三棱柱 的底面为等腰直角三角形， ，则
下列说法正确的是（ ）
A．三棱柱 的体积为4B．以 为球心，体积为 的球面与侧面 的交线的长度为
C．若 ， 分别为 ， 的中点，点 在平面 上，则 的最小值为
D．若空间中的一点 满足 ，则 的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A，由直三棱柱 的底面为等腰直角三角形， ，
所以 ，所以 ，故A正确；
对于B，设体积为 的球的半径为 ，所以 ，解得 ，
取 中点 ，由 ，所以 ， ，
由直三棱柱 的性质可得 平面 ，
设 为球面与侧面 的交线上的任一点，所以 ，
所以 ，所以 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
又点 在侧面 内，故体积为 的球面与侧面 的交线的长度为 ，故B错误；
对于C，取 关于平面 的对称点 ，连接 交 于线段 的中点，又点 在平面 上，故点 为线段 的中点时，
的最小值为 ，
此时 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ，故C错误；
对于D，点 满足 ，
所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆绕长轴旋转形成的椭球面，且 ，
所以 ，
又 ，所以 在椭圆的短轴所在直线上，又 ，
所以 到椭圆的中心的距离为 ，
所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：AD.
24．（2025·高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱 的所有棱长均为4，点 在棱 上运动，
点 在四边形 内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为B．若 为 的中点，则 到平面 的距离为
C． 的周长的最小值为
D．若 ，则点 的轨迹的长度为
【答案】ACD
【解析】正三棱柱 的所有棱长均为4，
对于A，点 到平面 的距离即为正 边 上的高 ，
则 ，A正确；
对于B，在 中， ，由 为 的中点，得 ，
的面积为 ，由选项A得三棱锥 的体积为 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，解得 ，B错误；
对于C，将正三棱柱的侧面 和侧面 沿 展开到一个平面内，
当且仅当 三点共线时， 取得最小值， ，
又 ，因此 的周长的最小值为 ，C正确；
对于D，取 的中点 ，连接 ，由三棱柱 是正三棱柱，得 侧面 ，，连接 ，由 ，得 ，
因此点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的半圆弧，点 的轨迹的长度为 ，D正确.
故选：ACD
25．（2025·高三·广西·期中）如图，四棱柱 的底面是边长为 的正方形，侧棱 底
面 ，三棱锥 的体积为 ，底面 和 的中心分别是 和 是 的中点，
A B C D
1 1 1 1
过点 的平面 分别交 于点F、N、M，且 平面 是线段MN上任意一点（含端
点）， 是线段 上任意一点（含端点），则下列说法正确的是（）
A．侧棱 的长为
B．四棱柱 的外接球的表面积是
C．当 时，平面 截四棱柱的截面是五边形D．当 和 变化时， 的最小值为5
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为三棱锥 的体积是 ，解
得 ，故选项A正确；
对于选项B，外接球的半径满足 ，故外接球的表面积 ，
故选项B错误；
对于选项C，如图，延长 交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，在平面 内作
交 于 ，连接 ,
在四棱柱中，易知 ,因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,因为平面 经过 的中点 ,
所以 分别为 的中点，
所以 ，此时 ，
所以平面 截四棱柱的截面是五边形 ，故选项C正确；
对于选项D，由C选项可知 ，又因为四边形 是正方形， ，所以 ，
因为侧棱 底面 底面 ，所以 ，
又 ,所以 平面 ，垂足是 ，
故对任意的 都有 ，
又因为 ，故 ，故选项D正确，
故选：ACD.
26．（2025·高三·江西·开学考试）如图，棱长为 的正方体 为底面 的中心，
为棱 的中点， 是线段 上的动点， 为平面 内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 平面 B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】BCD
【解析】以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又 ，所以 ，
所以 不平行于平面 ，故A错误；
又 ，所以 ，故B正确；
将 绕 旋转使 与 在一个平面内，如图所示：
易求得 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
的最小值即为 ，故C正确；
设 关于平面 的对称点为 ，
的中点为 ，所以 ，
则 ，因为 ， ，
所以 ， ，
解得 ，所以 ，
所以 ，
的最小值即为 ，故D正确.
故选：BCD.
27．（2025·高三·全国·专题练习）已知一个各棱长均为4（单位： ）的正三棱柱容器 （容
器壁厚度忽略不计），则（ ）
A．能够将直径为2 的球体放入该容器
B．能够将棱长为3.9 的正四面体放入该容器
C．能够将棱长为1.6 的正八面体放入该容器
D．若点P为线段 的中点，则沿该容器的表面从点A到达点P路程的最小值超过5.6
【答案】ABC
【解析】对于A，设正三棱柱底面的内切圆半径为r，则由等面积法得 ，所以 ， ，
故直径为2dm的球体可以放入该正三棱柱容器，A正确；
对于B，棱长为3.9dm的正四面体其高显然小于其棱长，
故可将该正四面体的底面放置于该容器的底面上，则其顶点在该容器内，
即能够将棱长为3.9dm的正四面体放入该容器，B正确；
对于C，如图1为一个边长为4dm的正 ，
正方形DEFG的各顶点在 的边上，
设正方形的边长为2x，则 ， ，则 ，
即 ，解得 ，
而棱长为1.6dm的正八面体的面对角线长为 ，
所以能够将棱长为1.6dm的正八面体放入该容器，C正确；
对于D，正三棱柱 如图2所示.当按照图3所示展开，
过P作 于 ，可知 ， ，
由勾股定理可得 ；
当按照图4所示展开，连接AP交BC于点O，可知 ， ，所以 ，
因为 ，故点A到点P的路程最小值 ，D错误.
故选：ABC.
28．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体 中，E，F分别是棱
A B C D
的中点，P是正方形
1 1 1 1
内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 平面CEF，则点P的轨迹长度为
B．若 ，则点P的轨迹长度为
A B C D
1 1 1 1
C．若P是正方形 的中心，Q在线段EF上，则 的最小值为
D．若P是棱 的中点，三棱锥 的外接球球心为O，则平面 截球O所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】如图，取 的中点为N，M，连接MN，DN，BD，BM，NE， ，所以 ，又E，F分别是棱 的中点，
所以 ，所以 ，
平面CEF， 平面CEF，
∴ 平面CEF，
因为N，E分别是棱 的中点，所以 ，且 ，
所以四边形CDNE为平行四边形，
所以 ，又 平面CEF， 平面CEF，
∴ 平面CEF，
又 ，MN， 平面BDNM，
所以平面 平面CEF，
A B C D
1 1 1 1
点P是正方形 内的动点，且 平面CEF，
所以点P的轨迹为线段MN，由勾股定理得 ，故A正确；
如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，
由题意得 ，设 ，
，所以 ，所以点P的轨迹为 为圆心，半径为1的 个圆，
所以点P的轨迹长度为 ，故B错误：
A B C D
1 1 1 1
如图，将平面CEF翻折到与平面 共面，
连接PC，与EF交于点Q，此时 取到最小值，
∵ ，且 ，
所以点Q为EF的中点，所以 ，
所以 ，
即 的最小值为 ，故C正确：
如图，连接PF，交 于点 ，连接PE，设三棱锥 的外接球的半径为 ，
若P是棱 的中点，则 ，
所以FP是 外接圆的一条直径，所以 是 外接圆的圆心，
过点 作平面ABCD的垂线，则三棱锥 的外接球的球心O一定在该垂线上，连接OP，设 ，则 ，
连接OC， ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
点 到平面 的距离为 ，
则球心 到平面 的距离为 ，
则截面圆的半径为 ，
所以截面的面积为 ，故D正确；
故选：ACD．
29．（2025·高三·江西·阶段练习）如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到正八面体
，则（ ）
A．四边形 为正方形
B． 平面
C．异面直线 与 所成的角为90°
D．若动点P在棱 上运动，则 的最小值为
【答案】ABD
【解析】由正方体及正八面体的关系可知，正八面体各棱均相等，故四边形 是菱形，
易求得 ， ，所以 ，即四边形 为正方形，A正确；同理可证得四边形 为正方形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，B正确；
由 ，可知 是异面直线 与 所成的角，
而由 为等边三角形可知 ，即异面直线 与 所成的角为60°，C错误；
将 沿着 翻折，使得 与 在同一平面内，则可得菱形 ，
此时 与 的交点P即为使 取最小值的点P，
此时 ，
即 的最小值为 ，D正确.
故选:ABD.
30．（2025·高二·辽宁·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面
体），如六氟化硫（化学式 ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体
（如图1），已知正八面体 的（如图2）棱长为4，则（ ）
A．正八面体 的外接球体积为
B．正八面体 的内切球表面积为
C．若点 为棱 上的动点，则 的最小值为
D．若点 为棱 上的动点，则三棱锥 的体积为定值
【答案】BCD
【解析】对于A项，设该正八面体外接球的半径为 ，由图知， 是正方形，,
在 中， ，利用对称性知 ，故点 为正八面体外接球的球心，则
，
所以正八面体外接球的体积为 ，故A项错误；
对于B项，设该正八面体内切球的半径为 ，由内切球的性质可知正八面体的体积
，
解得 ，故它的内切球表面积为 ，故B项正确；
对于C项，如图，因 与 是边长为4的全等的正三角形，可将 翻折到 ，使其与
共面，从而得到一个菱形 .
连接 与 相交于点 ，此时 ，则 ，因此 取得最
小值为 ，故C项正确；
对于D项，易知 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，故D项正确.
故选：BCD.31．（2025·广西柳州·模拟预测）如图.直四棱柱 的底面是梯形，
， 是棱 的中点， 是棱 上一动点（不包含端点），则
（ ）
A． 与平面 有可能平行
B． 与平面 有可能平行
C．三角形 周长的最小值为
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】ACD
【解析】对于A，连接 ，当Q为 的中点时， ，
因为 ， ∥ ， ∥ ， ，
所以 ， ∥ ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 与 互相平分，设 与 交于点 ，连接 ，
因为P是棱 的中点，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面BPQ，故A正确；对于B， ，又 平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交，
所以 与平面BPQ只能相交，故B错；
对于C， ，把 沿 展开与 在同一平面（如图），
则当B，P，Q共线时， 有最小值，
在直角梯形 中， ， ， ， ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以三角形BPQ周长的最小值为 ，故C正确；
对于D， ，因 为定值，因为 ∥ ， ∥ ，
所以 ∥ ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以 为定值．所以D正确，
故选：ACD．
三、填空题
32．（2025·高二·河北邯郸·期末）如图，正方体 的棱长为2，点M为侧面 内的动
点， ，点N在对角线 上且 ，则MN的最小值为 ．
【答案】
【解析】点M在侧面 内的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆弧 ．
以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
当 时， 最小，最小值为 ．
故答案为：
33．（2025·高三·北京通州·期末）如图，正方形 和正方形 所在的平面互相垂直. 为 中
点， 为正方形 内一点（包括边界），且满足 ， 为正方形 内一点（包括边
界），设 ，给出下列四个结论：
① ，使 ；
② ，使 ；
③点 到 的最小值为 ；
④四棱锥 体积的最大值为 .
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】根据题意，正方形 和正方形 所在的平面互相垂直，
平面 平面 ， 为正方形 内一点，
所以 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 、 均为直角三角形，
因为 ，
所以 ，又因为 为 中点， ,
所以 ,
如图，以D为原点， 所在直线分别作 ， 轴，建立平面直角坐标系，
因为 ，所以 ， ， ，设 ，
由 可得 ，
化简可得 ，点 的轨迹为以圆心 半径为 的圆的一部分，如图所示，
当 与 重合， 在点 时，此时 平面 ， 平面 ，所以 ，故①正确；
当 与 重合， 在点 时， 最大，即 ，
，
，所以在 中， ，
因为 ,故不存在 ，使 ，故②错误；
设 到 的距离为 ，点 到 的距离最小值为 - ，
在 中，利用等面积法可得： ，即 ，解得 ，所以点 到 的距离最小值为 ，故③正确；
四边形 的面积 ， ，
当 在点 时，四棱锥 体积有最大值， ，故④正确.
故答案为：①③④
34．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知正方体 的棱长为1，点M，N分别在线段
上运动，若 与底面 所成角为 ，则线段 长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
由题意可设， ，
其中 ，
所以 ，
显然 为平面 的法向量，
所以 ，显然 （否则 矛盾）， 从而 ，
注意到 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 上的最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
35．（2025·高二·河南开封·阶段练习）如图，在正方体 中， ，点 分别为
的中点，则平面 截正方体所得截面面积为 ，动点 满足 ，
且 ，则 的最小值为
【答案】
【解析】如图所示，连接显然， ,，则梯形 是平面 截正方体所得截面；
由题易知，
所以截面面积为 ；
由题可知，
由柯西不等式 ，当且仅当 时等号成立，
可知
得 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为：18；
36．（2025·安徽·模拟预测）已知正方体 的体积为8，且 ，则当
取得最小值时，三棱锥 的外接球体积为 .
【答案】 /
【解析】由题意得， ，将平面 展成与平面 同一平面，当点 共线时，此时 最小，
在展开图中作 ，垂足为N，
因为 为等腰直角三角形，所以 ， ，
由 得， ，解得 ，
在正方体 ，过点 作 ，垂足为 ，则 ，
如图，以D为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 ，
所以三棱锥 外接球的球心在 上，
设球心为 ，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，即 ，所以外接球 ，
所以三棱锥 外接球的体积 ，
故答案为： .
37．（2025·高一·山西太原·期末）如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， ，
分别为线段 和棱 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 是 的中点， ，
所以 ，则 .
对任一点 ， 的最小值是 到直线 的距离，
过 作 ，交 于 ，
过 作 ，交 于 ，连接 ，
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
由于 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
由于 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
则 ，易得 .
， ，
，
所以 ，
当 三点共线，且 是 的中点， 是 与 的交点，
此时 取得最小值为 ，所以 的最小值为 .
故答案为：
38．（2025·高一·吉林·期末）在棱长为4的正方体 中， 分别为线段 上的动点，
点 为侧面 的中心，则 的周长的最小值为 .
【答案】
【解析】如图①，设侧面 的中心为 ，根据正方体的结构特征可得 ，
则 周长的最小值即 的最小值.
将侧面 绕着 旋转至与平面 在同一平面上，
将平面 绕着 旋转至与平面 在同一平面上，过点 作 ⊥ 于点 ，则 ，其中 ，
如图②，则 ，
故 的周长的最小值为 .
故答案为：
39．（2025·高一·浙江金华·阶段练习）在长方体 中， ，分别在对角
线 上取点 ，使得直线 平面 ，则线段 长的最小值为 ．
【答案】
【解析】作 于点 ，作 于点 ，
则 ，即 共面；
平面 , 平面 ,故 平面 ,
∵线段 平行于对角面 ， , 平面 ,故平面 平面 ,
又平面 平面 ，
平面 平面 ， ，
由于 ，故 为等腰直角三角形，
由于 ， ，则 ， ；
故设 ，则 ，
在直角梯形 中， ，
故 ，
∴当 时， 取最小值 ，则 的最小值为 ，
故答案为：
40．（2025·河南·一模）三棱锥 中， ， ， ， ，点M，
N分别在线段 ， 上运动.若二面角 的大小为 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】依题意，将三棱锥 补形成直三棱柱 ，
此时易知 ， ，满足题意，
又 ，所以 为二面角 的平面角，即 ，
在 中， ， ，则 ，
在 中， ，则 ，
又 ，所以 是正三角形，要求 的最小值，即求异面直线 ， 的距离，
以 点为原点，建立空间直角坐标系如图，
则 ，
故 ，
设 同时垂直于 ，则 ，
取 ，则 ，故 ，
所以 的最小值为 .
41．（2025·高二·上海·期末）已知在直三棱柱 中，底面为直角三角形， ， ，
，P是 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】【解析】由题意知， 在几何体内部，但在面 内，
把面 沿 展开与 在一个平面上如图，连接 ，
则 的长度即为 的最小值，
因为在直三棱柱 中， 平面 ，
而 平面 ，则 ，
因为 ，则 ，即 ，
又 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，所以 ，即 ，
因为 ，易知 ，所以
所以 ，
而 ， ，
所以在 中， ，
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为： .
42．（2025·高三·河北承德·期中）如图，在直三棱柱 中， ，
若 为空间一动点，且 ，则满足条件的所有点 围成的几何体的体积为 ；若动点在侧面 内运动，且 ，则线段 长的最小值为 ．
【答案】
【解析】由 可得点 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的球面，
所以围成的球的体积为 ，
过 作 ，
由 ，则由等面积法可得 ,
由于在直三棱柱 中， 平面 平面 故 ,
由于 平面 ，故 平面 ，
由于 平面 ，故 ,
所以 ,
由于 到平面 的距离和点 到平面 的距离相等，均为 ，
又 ，所以点 的轨迹为以 为圆心，以 为半径的球与侧面 的截面圆，该截面圆的半
径为 ,圆心为 ,且满足 ，
因此点 的最小距离为 ，
故 ，故答案为： ，
43．（2025·高二·四川内江·期中）如图，在三棱锥 中， ，
，过点 作截面 ，则 周长的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，
沿着侧棱 把正三棱锥 展开在同一个平面内，原来的点 被分到两处 ，
则线段 的长度即为 周长的最小值.
在 中， ， ，
故 ，所以 .故答案为：.
