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第七章 平面直角坐标系
7.2 坐标方法的简单应用（能力提升）
【要点梳理】
要点一、用坐标表示地理位置
根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立
了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起．
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：
（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴，y 轴的正方向；
（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
要点诠释：
(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的位置比较
容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角坐标系的
方法是不唯一的．所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．
(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．
要点二、用坐标表示平移
1.点的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a 个单位长度，可以得到对应点(x
＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b 个单位长度，可以得到对应点(x，y＋
b)或(x，y－b)．
要点诠释：
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x 轴平移纵坐标不变,沿y 轴平移横坐标
不
变．
2.图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，
相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都
加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度．
要点诠释：
（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的
平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
【典型例题】
类型一、用坐标表示地理位置
例1．小明写信给他的朋友介绍学校的有关情况：校门正北方100 米处是教学楼，从
校门向东50 米，再向北50 米是科教楼，从校门向西100 米，再向北150 米是宿舍楼……
请画出适当的平面直角坐标系表示校门、教学楼、科技楼、宿舍楼的位置，并写出这
四个点的坐标．
【思路点拨】选取校门所在的位置为原点，并以正东，正北方向为x 轴、y 轴的正方
向，可以容易地写出三个建筑物的坐标．否则就较复杂．
【答案与解析】
解：(1)平面直角坐标系及学校的建筑物位置如图所示，比例尺为1:10000．
(2)校门的坐标为(0，0)；教学楼的坐标为(0，100)；科技楼的坐标是(50，50)；
宿舍楼的坐标为(-100，150)．
【总结升华】选取的坐标原点不同，各个据点的坐标也不同，不论是哪个点表示原点，
都要让人一听一看就清楚所描述的位置．
举一反三：
【变式】一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O 出发，向东
1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．
(1)画出坐标系确定宝藏的位置；
(2)确定点P 的坐标．
【答案】
解：根据数据的特点，选择250 作为单位长度，以大圆石O 为原点，建立平面直角坐
标系．
(1)如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P 的位置如图所示．
(2)点P 的坐标是(500，250)
例2.如图是一所学校的平面示意图，已知国旗杆的坐标为(-1，1)，写出其他几个建
筑物位置的坐标．若国旗杆的坐标为(3，1)，则其他几个建筑物位置的坐标是否发生改变?
若改变，请写出坐标，若不改变，请说明理由．
【答案与解析】
解：当国旗杆的坐标是(-1，1)时，校门的坐标是(-4，1)，实验楼的坐标是(2，-2)，
教学楼的坐标是(2，1)，图书馆的坐标是(1，4)；若国旗杆的坐标是(3，1)，则校门的坐
标是(0，1)，实验楼的坐标是(6，-2)，教学楼的坐标是(6，1)，图书馆的坐标是(5，4)．
【总结升华】根据已知点确定平面直角坐标系，进一步求得要求点的坐标．
举一反三：
【变式】如图，是象棋棋盘的一部分．若
位于点（1，﹣2）上，
位于点（3，
﹣2）上，则
位于点
上．
【答案】（﹣2，1）．
解：∵
位于点（1，﹣2）上，
位于点（3，﹣2）上，∴
位于点（﹣2，1）
上．
类型二、用坐标表示平移
例3. 如如图，直角坐标系中，△ABC 的顶点都在网格点上，其中，C 点坐标为（1，
2）．
（1）写出点A、B 的坐标：
A（ ， ）、B（ ， ）
（2）将△ABC 先向左平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到△A′B′C′，
则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（ ， ）、B′（ ， ）、C′（ ，
）．
（3）△ABC 的面积为 ．
【思路点拨】（1）A 在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B 的第一象
限，横纵坐标均为正；
（2）让三个点的横坐标减2，纵坐标加1 即为平移后的坐标；
（3）△ABC 的面积等于边长为3，4 的长方形的面积减去2 个边长为1，3
和一个边长为2，4 的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解．
【答案与解析】
解：（1）写出点A、B 的坐标：A（2，﹣1）、B（4，3）
（2）将△ABC 先向左平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到
△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（0，0）、B′（2，4）、C′（﹣
1，3）．
（3）△ABC 的面积=3×4
2×
﹣
×1×3﹣×2×4=5．
【总结升华】用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；
上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；格点中的三角形的面积通常用长方形
的面积减去若干直角三角形的面积表示．
举一反三：
【变式】已知三角形ABC 三个顶点的坐标为A(-2，3)，B(-4，-1)，C(2，0)．三角形
ABC 中任意一点P(x0，y0)经平移后对应点为P1(x0+5，y0+3)．将三角形ABC 作同样的平移得
到三角形A1B1C1：
（1）求A1B1C1的坐标．
（2）求三角形ABC 和△A1B1C1的面积大小．
【答案】
解：（1）A1(3，6)，B1(1，2)，C1(7，3)．
(2)
＝24-4-3-6＝11．
类型三、综合应用
例4.在A 市北300km 处有B 市，以A 市为原点，东西方向的直线为x 轴，南北方向的
直线为y 轴，并以50km 为1 个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7 号台风
中心位置现在C(10，6)处，并以40 千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为
200km，问经几小时后，B 市将受到台风影响?并画出示意图．
【思路点拨】当台风中心移动到据B 点200 千米时，B 市将受到台风影响，从而求出台
风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．
【答案与解析】
解：∵台风影响范围半径为200km，
∴当台风中心移动到点（4，6）时，B 市将受到台风的影响．
所用的时间为：50×（10-4）÷40=7.5（小时）．
所以经过7.5 小时后，B 市将受到台风的影响．
（注：图中的单位1 表示50km）
【总结升华】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题
需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左
减，上加下减”来确定坐标．
举一反三：
【变式】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原
点和较长边平行的直线为x 轴，和较短边平行的直线为y 轴，并取50m 为1 个单位．住宅
小区内和附近有5 处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－
3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在
小区内．
【答案】在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.
【提升练习】
一、选择题
1．如图所示，某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片，依稀可见，一号暗堡的坐标为
(4，2)，四号暗堡的坐标为(-2，4)，原有情报得知：敌军指挥部的坐标为(0，0)，你
认为敌军指挥部的位置大约是( )．
A．A 处 B．B 处 C．C 处 D．D 处
2．某镇初级中学在镇政府的南偏西60°方向上，且距离镇政府1500m，则如图所示的
表示法正确的是( )．
3. 已知△ABC 顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC
平移后顶点A 的对应点A1的坐标是（4，10），则点B 的对应点B1的坐标为（ ）
A．（7，1） B．（1，7）
C．（1，1） D．（2，1）
4. 点P（﹣2，﹣3）向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位，则所得到的点的坐标
为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣1，6）
C．（﹣3，﹣6）
D．（﹣1，0）
5．如图所示，△ABC 的顶点坐标分别为A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，将B 点向
右平移2 个单位长度后，再向上平移4 个单位长度，到达B1点．若设△ABC 的面积为S1，
△AB1C 的面积为S2，则S1，S2的大小关系为( )．
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
6．如图所示，海上二救护中心收到一艘遇难船只的求救信号后，发现该船位于点
A(5，-4)，并且正以缓慢的速度向北漂移，同时发现在点B(5，2)和C(-1，-4)处各有一
艘救护船．如果救护船的速度相同，问救护中心应派哪处的救护船前去救护可以在最短时
间内靠近遇难船只? ( )
A．派C 处 B．派B 处 C．派C 或B 处 D．无法确定
二、填空题
7. 以足球场中心O 为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，1 个单
位表示1 米，10 号队员在足球场中心O 处，向东传给10 米远的5 号队员，5 号队员接着又
向北传给20 米远的9 号队员，9 号队员又向东传给15 米远的15 号队员，则此时足球位置
的坐标为________．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），
将线段AB 平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为
．
9．如图，某宾馆在重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺上某种红色地毯，已知这种地
毯每平方米售价30 元，主楼梯道宽2 米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要
元．
10.在数轴上，用有序数对表示点的平移，若（2，1）得到的数为1，（1，－2）得到
的数为3，则（3，5）是将表示数_____的点向_____平移_____个单位长度，得到的数为
______.
11．某飞行监控中心发现某飞机从某个飞机场起飞后沿正南方向飞行100 千米，然后
向正西方向飞行300 千米，又测得该机场的位置位于监控中心的西100 千米，北300 千米
的地方，若以监控中心为坐标原点，以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，请指出该飞
机现在的位置________(用坐标表示)．
12．初二三年级某班有54 名学生，所在教室有6 行9 列座位．用(m，n)表示第m 行
第n 列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m，n)，如果调整后的座
位为(i，j)，则称该生作了平移[a，b]＝[m-i，n-j]，并称a+b 为该生的位置数，若某生的位
置数为10，则当m+n 取最小时，mn 的最大值为______．
三、解答题
13.小明要在电话中告诉小敏同学如图所示的图形，为了描述清楚，他使用了直角坐标
系的知识，叙述得一清二楚，你知道小明是怎样描述的吗?
14．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公
园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x 轴、y 轴．只知道游乐园D
的坐标为（2，﹣2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗？
15．已知甲运动方式为：先竖直向上运动1 个单位长度后，再水平向右运动2 个单位
长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2 个单位长度后，再水平向左运动3 个单位长度．
在平面直角坐标系中，现有一动点P 第1 次从原O 出发按甲方式运动到点P1，第2 次从点
P1出发按乙方式运动到点P2，第3 次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4 次从点P3出
发再按乙方式运动到点P4，……，依此运动规律，则经过第11 次运动后，动点P 所在位置
P11的坐标是什么?请你画出运动的路线．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B；
【解析】根据点的坐标分为横坐标和纵坐标，横坐标是点到y 轴的距离，纵坐标是
点到x 轴的距离，即可确定原点的位置．
2. 【答案】A；
3. 【答案】C；
【解析】∵点A（0，6）平移后的对应点A1为（4，10），4
0=4
﹣
，10
6=4
﹣
，
∴△ABC 向右平移了4 个单位长度，向上平移了4 个单位长度，
∴点B 的对应点B1的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）．
4. 【答案】A．
5. 【答案】B；
【解析】解：△ABC 的面积为S1=
，
将B 点平移后得到B1点的坐标是（2，1），此时△AB1C 的面积为S2=
，
所以S1=S2．故选B．
6. 【答案】B．
二.填空题
7. 【答案】(25，20)；
【解析】10+15＝25，
8. 【答案】（1，3）或（5，1）．
【解析】①如图1，当A 平移到点C 时，
∵C（3，2），A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），
∴点A 的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B 坐标为（1，3）；
②如图2，当B 平移到点C 时，
∵C（3，2），A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），
∴点B 的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A 坐标为（5，1）；
故答案为：（1，3）或（5，1）．
9. 【答案】504；
【解析】
（元）.
10．【答案】3,左，5，-2；
【解析】由（2，1）得到的数为1，（1，－2）得到的数为3，可得在数轴上，用
有序数对表示点的平移的规律：第一个数表示数轴上点的开始位置，第二个数表示在数轴
上平移的方向和距离．
11.【答案】(-400，200)；
12．【答案】36；
【解析】依题意，
，所以
，又1≤
≤6，1≤
≤6，，当m+n 取最小值时，即i+j 最小，而当
时，取到最小值2，可
得m+n 的最小值为12，所以当
时，
有最大值36．
三.解答题
13.【解析】
解：以O 为坐标原点，以OA、OE 所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，A(8，
0)，B(8，2)，C(3，2)，D(3，5)，E(0，5)，O(0，0)．
14.【解析】
解：由题意可知，本题是以点F 为坐标原点（0,0），FA 为y 轴的正半轴，建立平面直
角坐标系，则A、B、C、E 的坐标分别为：A（0，4）；B（-3，2）；C（-2，-1）；E
（3，3）.
15.【解析】
解：由题意：动点P 经过第11 次运动，那么按甲运动了6 次，按乙运动了5 次，
横坐标为：2×6-3×5=-3，纵坐标为：1×6-2×5=-4，
∴P11的坐标是（-3，-4）．
故答案为：（-3，-4）．
图略．
