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平面直角坐标系（提高）
【学习目标】
1.了解确定位置的方法，用有序数对或用方向和距离来确定物体的位置.
2.理解平面直角坐标系概念，能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.
3.会用确定坐标、描点、连线的方法在直角坐标系中作出简单图形.
【要点梳理】
要点一、确定位置的方法
有序数对：把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
要点诠释：
有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的
座位是6 排7 号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7 排6 号．
可以用有序数对确定物体的位置，也可以用方向和距离来确定物体的位置（或称方位）.
要点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
1.平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x 轴
或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标
轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.
2.点的坐标
平面内任意一点P，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a，b 分
别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P 的坐标，记作:P(a,b)，如图2.
要点诠释：
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（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y 轴的距离；|b|表示点到x 轴的距离.
(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意
一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序
数对是一一对应的．
要点三、坐标平面
1. 象限
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四
个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．
要点诠释：
（1）坐标轴x 轴与y 轴上的点(包括原点)不属于任何象限．
（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第
四象限在右下方.
2.各个象限内和坐标轴上点的坐标的符号特征
要点诠释：
（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.
（2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为0；y 轴上的点的横坐标为0．
（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平
面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．
【典型例题】
类型一、确定物体的位置
1．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示、例如，北偏东30°方
向45 千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，
那么这个地点就用代码010045 来表示、按这种表示方式，南偏东30°方向78 千米的位置，
可用代码表示为__________.
【思路点拨】根据题目的叙述可知：代码的前四位表示时间，前两位是几点，中间两位表示多
少分，后两位是指距离，时间表示方向角，即正对钟表时按：上北，下南，左西，右东的方向，
以钟面圆心为基准，时针指向所对应的时间．
【答案】050078
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【解析】
解：南偏东30°方向，时针正好指到5 点00 分，因而代码前4 位是：0500，78 千米的位置则代
码的后两位是78．则代码是：050078．故答案填：050078．
【总结升华】正确读懂题目的含义，是解决题目的关键，这一题目就是训练学生审题，理解题
目的能力．
举一反三：
【变式】下列数据不能表示物体位置的是（ ）．
A．5 楼6 号 B．北偏东30° C．希望路20 号 D．东经118°，北纬36°
【答案】B （提示A. 5 楼6 号，是有序数对，能确定物体的位置；B.北偏东30°，不是有序数
对，不能确定物体的位置；C.希望路20 号，“希望路”相当于一个数据，是有序数对，能确定
物体的位置；D.东经118°北纬36°，是有序数对，能确定物体的位置．）
类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念
2.有一个长方形ABCD，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下求出
A，B，C，D 各点的坐标.
【答案与解析】
解：本题答案不唯一，现列举三种解法.
解法一：以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，边AD 所在直线为y 轴，建立平面直
角坐标系，如图（1）：
A（0，0），B（5，0）， C（5，3）， D （0，3）.
解法二：以边AB 的中点为坐标
原点，边AB 所在的直线
为x 轴，AB 的中点和CD 的中点所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：
A（﹣2.5，0），B（2.5，0）， C（2.5，3）， D （－2.5，3）.
解法三：以两组对边中点所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，如图（3）：
A（﹣2.5，－1.5），B（2.5，－1.5）， C（2.5，1.5）， D （－2.5，1.5）.
【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，
即只要原点、x 轴和y 轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x 轴、y 轴改变，每一个
点的位置也相对应地改变.
举一反三：
【变式】点A(m，n)到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，则点A 的坐标为________．
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【答案】(2，3)或(－2，3)或(－2，－3)或(2，－3).
3.平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(－3，－1)，B(1，3)，C(2，
－3)．求△ABC 的面积．
【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的
面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积．
【答案与解析】
解：如图所示，
过点A、C 分别作平行于y 轴的直线与过B 点平行于x
轴的直线交于点D、E，则四边形ACED 为梯形，根据
点A(－3，－1)、B(1，3)、C(2，－3)可求得AD＝4，CE
＝6，DB＝4，BE＝1，DE＝5，所以△ABC 的面积为：
．
【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，
就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求
解．
举一反三：
【变式】如图所示，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)，A6(2，
2)……，则点A2008的坐标为________．
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【答案】(－502，－502)．
类型三、坐标平面及点的特征
4.平面直角坐标系内，点A（n，1－n）一定不在 .
【思路点拨】确定横纵坐标的符号.
【答案】第三象限和原点.
【解析】
解：由题意可得：
、
、
、
可得：
无解，
因而点A 的横坐标是负数，纵坐标也是负数，不能同时成立，即点A 一定不在第三象限．
又n 和1－n 不能同时为0，故也一定不在原点．
故答案为：第三象限和原点．
【总结升华】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为
不等式的问题．
举一反三：
【变式1】点P(－m,n)在第三象限，则m，n 的取值范围是________.
【答案】
．
【变式2】在平面直角坐标系中，横、纵坐标满足下面条件的点，分别在第几象限．
(1)点P(x，y)的坐标满足xy＞0．
(2)点P(x，y)的坐标满足xy＜0．
（3）点P(x，y)的坐标满足xy＝0．
【答案】(1)点P 在第一、三象限；(2)点P 在第二、四象限；（3）x 轴或y 轴.
【变式3】若点C(x,y)满足x＋y＜0，xy＞0，则点C 在第_____象限.
【答案】三．
5.一个正方形的一边上的两个顶点O、A 的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶点
的坐标是什么．
【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确
定，所以应按不同位置分类去求．
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【答案与解析】
解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC 是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且
OC∥AB，OA∥BC，则：
(1)当顶点B 在第一象限时，如图所示，显然 B 点坐标为(4，4)，C 点坐标为(0，4)．
(2)当顶点B 在第四象限时，如图所示，显然B 点坐标为(4，－4)，C 点坐标为(0，－4)．
【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，如果m·n＞0，那么(m，|n|)一定在( )．
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第四象限 D．第三象限或第四象限
【答案】A．
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