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数据的分析——知识讲解
【学习目标】
1、了解加权平均数的意义和求法，会求一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均
数的思想．
2、了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的
不同的数据特征．
3、了解极差、方差和标准差的意义及求法，体会它们在刻画数据波动时的不同特征．体会用
样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．
4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统
计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯.
【要点梳理】
要点一、算术平均数和加权平均数
一般地，对于n 个数
1
2
3
n
x
x
x
x
、、、…
，我们把
1
2
3
1
n
x x
x
x
n
+ + +
+
叫做这n 个数的
算术平均数，简称平均数，记作x .计算公式为
1
2
3
1
n
x
x x
x
x
n
+ + +
+
.
要点诠释：
平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数a 附近上、下波动时，一般选用简化计算
公式x
x
a
.其中x为新数据的平均数，a 为取定的接近这组数据的平均数的较“整”
的数.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平
均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
若n 个数
1
2
n
x
x
x
、、…
的权分别是
1
2
n
w
w
w
、
、… 、
，则
1
1
2
2
1
2
...
...
n
n
n
x w
x w
x w
w
w
w
叫做
这n 个数的加权平均数.
要点诠释：
（1）相同数据
ix 的个数
iw 叫做权，
iw 越大，表示
ix 的个数越多，“权”就越重. 数据的权能
够反映数据的相对“重要程度”.
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.
要点二、中位数和众数
1.中位数
一般地，n 个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的
平均数）叫做这组数据的中位数.
要点诠释：
（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
要点诠释：
（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
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要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，
当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数
则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各
数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.
要点四、极差、方差和标准差
1.极差
一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.
要点诠释：
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越
小，这组数据就越稳定.
2.方差
方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差
2s 的计算公式是：
2
2
2
2
1
2
)
(
...
)
(
1
x
x
x
x
x
x
n
S
n
，其中，x 是
1x ，
2
x ，…
n
x 的平均数.
要点诠释：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据
的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的
2
k 倍.
3.标准差
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号s 表示，即：
；标准差的数量单位与原数据一致.
4.极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组
数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一
般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
要点五、用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近
似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释：
（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必
须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考
虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
【典型例题】
类型一、平均数、中位数、众数
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1、某电冰箱专卖店出售容积为182L、185L、228L、268L 四种型号的同一品牌的冰箱，每
出售一台，售货员就作一个记录，月底得到一组由15 个268，66 个228，18 个185 和11 个182
组成的数据．
(1)这组数据的平均数有实际意义吗?
(2)这组数据的中位数、众数分别是多少?
(3)专卖店总经理关心的是中位数还是众数?
【答案与解析】
解：(1)这组数据的平均数没有实际意义，对专卖店经营没有任何参考价值．
(2)这组数据共有110 个，中位数为228，众数为228．
(3)专卖店经理最关心的是众数，众数是228，说明容积为228L 型号的冰箱销售量最大，
它能为专卖店带来较多的利润，所以这种型号的冰箱要多进些．
【总结升华】一组数据中出现次数最多的数据是众数，它是我们关心的一种集中趋势，通常选
择众数进行决策．
举一反三：
【变式】若数据3.2，3.4，3.2，x ，3.9，3.7 的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是
________．
【答案】3.2；3.5；
解：由题意
3.4
3.5,
3.6
2
x
x
，所以众数是3.2，平均数是3.5.
2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项
测试成绩满分均为100 分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2 的比例确定每
人的成绩，谁将被录用，说明理由．
【思路点拨】（1）运用求平均数公式
1
2
3
1
n
x x
x
x
n
+ + +
+
即可求出三人的平均成绩，比较得
出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.
【答案与解析】
解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
∴丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴甲将被录用．
【总结升华】5、3、2 即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权
平均数来录用．
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举一反三：
【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89 分，测验二得78 分，测验三
得85 分，期中考试得90 分，期末考试得87 分，如果按照平时、期中、期末的10％、
30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?
【答案】
解：小王平时测试的平均成绩
89
78
85
84
3
x
（分）．
所以84 10%
90 30%
87 60%
87.6
10%
30%
60%
（分）．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6 分．
3、下表是七年级(2)班30 名学生期中考试数学成绩表(已破损)．
已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76 分．
(1)求该班80 分和90 分的人数分别是多少?
(2)设此班30 名学生成绩的众数为a ，中位数为b ，求a
b
的值．
【答案与解析】
解：(1)设该班得80 分的有x 人，得90 分的有y 人．
根据题意和平均数的定义，得
2
5
7
3
30,
76 30
50 2
60 5
70 7
80
90
100 3,
x
y
x
y
整理得
13,
8
9
109,
x
y
x
y
解得
8,
5.
x
y
即该班得80 分的有8 人，得90 分的有5 人．
(2)因为80 分出现8 次且出现次数最多．所以a ＝80，第15、16 两个数均为80 分，所以
b ＝80，则a
b
＝80＋80＝160．
【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，
建立等量关系.
举一反三：
【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50 名学生每人一周内的零花
钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．
零花钱数额（元）
5
10
15
20
学生个数（个）
a
15
20
5
请根据图表中的信息，回答以下问题.
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(1)求a 的值；
(2)求这50 名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．
【答案】
解：(1) a ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为1
50 (5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
类型二、极差、方差和标准差
4、某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5 箭，他们的
总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩
的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
（1）a ＝_____；
＝_______；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法，
计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【思路点拨】（1）根据他们的总成绩相同，得出a ＝30－7－7－5－7＝4，进而得出
＝
30÷5＝6；（2）根据（1）中所求得出a 的值进而得出折线图即可；（3）①观察图，即可得出乙
的成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳
定，所以乙将被选中．
【答案与解析】
解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则a ＝30－7－7－5－7＝4，
＝30÷5＝6，
故答案为：4，6；
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（2）如图所示：
；
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
2
2
2
2
2
2
1
=
7
6
7
6
6
7
6
=1.6
5
s
乙
（
）（5-6）（
）（4
）（
）
由于
2s 乙＜
2s 甲，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将
被选中．
【总结升华】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a 的值
进而利用方差的意义比较稳定性即可．
举一反三：
【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测
试成绩中随机抽取8 次，数据如下(单位：分)
甲
95
82
88
81
93
79
84
78
乙
83
75
80
80
90
85
92
95
(1)请你计算这两组数据的平均数、中位数；
(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人
参加合适?请说明理由．
【答案】
解：
1 (95
82
88
81 93
79
84
78)
85
8
x
甲
(分)，
1 (83
75
80
80
90
85
92
95)
85
8
x
乙
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83 分、84 分．
(2)由(1)知
85
x
x
甲
乙
分，所以
2
2
2
2
1[(95
85)
(82
85)
(78
85) ]
35.5
8
s
甲
，
2
2
2
2
1[(83 85)
(75
85)
(95
85) ]
41
8
s
乙
．
①从平均数看，甲、乙均为85 分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
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③从方差来看，因为x
x
甲
乙，
2
2
s
s
乙
甲
，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85 分以上（含85 分）的次数，甲有3 次，而乙有4 次，故乙的成绩
好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等
方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
类型三、统计思想
5、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所
在班的50 名同学中，随机调查了10 名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结
果绘成了如图所示的条形统计图．
(1)求这10 个样本数据的平均数、众数和中位数；
(2)根据样本数据，估计小刚所在班50 名同学家庭中月均用水量不超过7t 的约有多少
户．
【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加
权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量
不超过7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体．
【答案与解析】
解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是
6 2
6.5 4
7 1 7.5 2
8 1
6.8
10
x
．
∴这组样本数据的平均数为6.8．
∴在这组样本数据中，6.5 出现了4 次，出现的次数最多．
∴这组数据的众数是6.5．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有
6.5
6.5
6.5
2
．
∴这组数据的中位数是6.5．
(2)∵10 户中月均用水量不超过7t 的有7 户，有
7
50
35
10
．
∴根据样本数据，可以估计出小刚所在班50 名同学家庭中月均用水量不超过7t 的
约有35 户．
【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解
决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的
计算方法．
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